高等数学-华南理工大学高等数学统考试卷下1998

1998等数学下册统考试卷及解答一、试解下列各题1、4分设是由所确定的立体，试将化成ZYX22DVZYXF,2球面坐标下的三次积分。解在球坐标下为Z222COS,0COS,02补充，0从而2COS222200,IN,CSINFXYZDVFD2、4分设是在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明LLXDY1解当时由定理故有0221,YXYPQPQXLDYX012二、试解下列各题1、3分设，求YXZYXZ,解1,LNXY2、3分设，求XZ2XZ解LLXYY3、3分设可导，求PGFZFU,ZYXU,解,XYZFGPXFGP三、试解下列各题1、3分设单调减少，且收敛于0，问级数是否收敛NA1NA解不一定收敛。例如单调减少，且收敛于0，但发散；1N1NA1N而单调减少，且收敛于0，但收敛。2NA21N2、3分试证级数是发散的。1LN证令，LN1LXXFELNLN1IMLI0NIXXEE所以，从而级数是发散的。LIM0N1LN四、计算下列各题1、6分利用极坐标计算二重积分（）DXYDYAY0220A解20,DXAY在极坐标下为22COSSIN,SI,2RARRR24222008AYADXDD2、6分设为连续函数，交换二次积分,YXFDXYFDY120,的积分次序。DYXFDY01,解由上下限知积分区域D两部分为及21,0YYX，作图发现即为0,0YX22X故原式221,XDFYD3、6分计算，其中是立方体，DXYZYZX222AX0，表面的外侧，。AY0Z0A解222002AAXDYXDYXYZDVXYZD22233000AAAAZ或由对称2223006AAXDYZXZDYXYZDVXYZD五、解答下列各题1、5分求全微分方程的通解。4232YXY解原式即2323440,0XXYDXYDYXDYDY为通解22220,DXC另解法23344,1YXXYDXYDPQ,2233220,110,021XUDYDXYXY由此推出为通解2XYC2、5分已知，试问是否存在函数YXEPSIN,2YXQCOS,2，使得,YXUDDU解因为,COSYXY,2CS,XYPX所以不存在函数，使得QDU六、解答下列各题1、5分判别级数的敛散性。12NE解2211,LIMLINNNNUEUE故正项级数的收敛12N2、5分设在内有连续的导函数，且。已知展XF,LLFFXF成以为周期的傅立叶级数的系数为。试用表示L,21,0NBANBA,0的傅立叶级数的系数XF,0BAN解011LLAFXDFX1COSCOSSINLLNNNXXFFFXDL10SIN,12,LNXFDBL1ISICOSLLNXNXBFFFXDL10COS,2,LNNXFDAL注意用的展开式求导来推不给分因缺乏理论依据。FX七、解答下列各题1、7分利用二重积分计算由曲面所围成的曲顶矩22,01,XYZYXZ体的体积解21122263DXVXYDDD12460683351052、7分利用曲线积分计算椭圆圆周所围成的面积。2SINCOTBYAX解2011SINICSLSXDYBTTTDTABA3、7分试求在极坐标下由所确定图形的面积。CO0RA解由知1COSRA1S,224000COCOSDSDRDADAD24220318COS8ATA八、解答下列各题1、6分利用近似公式时，试估计当时所产生的2319XX05X最大误差。解在内收敛12331498XX1,13231498XX当时，05X350602、6分求微分方程的一条积分曲线，使其在点处有水平2Y1,0切线。解特征方程为通解21,2120,COSINXRRIEX由过点知1,00COSNE由在点处有水平切线知,。00222CSISICOS0,1YEE从而为所要求的特解ONXX3、6