高数习题答案- 华南理工大学高等数学统考试卷下2008

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试20082009学年第二学期高等数学（下）试卷（A卷）注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上；3考试形式闭卷；4本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六得分总分评卷人题号七八九十十一十二得分评卷人一、填空题（每题4分，共24分）1函数在点处可微分是它在该点偏导数与连续的,YXFZ,XZY_条件（填必要、充分或充要）,又是它在该点有方向导数的_条件（填必要、充分或充要）2向量场的散度为_,KXZJYIAXY2COSE向量场旋度为_ZB323设,有连续偏导数,则_XYFVUFZD4交换二次积分的积分次序_20,YXF5设曲面为圆柱面介于平面与部分的外侧,则曲12X0Z1_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线面积分_,_YXD2SYXD26设,则它有极小值_YXF93,230二、（本题8分）设,求XYZE2三、（本题7分）设长方体的长、宽、高满足,求体YZ1ZYX积最小的长方体四、（本题7分）求球面含在圆柱面内部的那422ZYX22部分面积五、（本题7分）计算三重积分,其中是由单位球VZD2面围成的闭区域122ZYX六、（本题7分）计算曲面积分,其中是圆锥面YXZXZYZZDDD32位于平面之间下方部分的下侧2YX2七、（本题7分）计算曲线积分,其中表示第四象限内以LYX2L为起点为终点的光滑曲线1,0A0,B八、（本题7分）求微分方程的通解0DCOSE1DSINE3YXX九、（本题7分）求满足下述方程的可导函数SI2COS0XTTYXY十、（非化工类做）（本题6分）设且,试根据的值判定级数0AEA的敛散性1NA十一、（非化工类做）（本题6分）设是周期为的周期函数,它在XF2上的表达式为,试将展开成傅里叶级数,XF十二、（非化工类做）（本题7分）设,证明112NNXXF满足微分方程,并求XF4FXF十、（化工类做）（本题6分）求解初值问题102YX十一、（化工类做）（本题6分）设是曲线在点L622Z处的切向量,求函数在该点沿的方向导数12XYZXF,L十二、（化工类做）（本题7分）给定曲面,为0,CZBAFAC常数,其中有连续偏导数,证明曲面的切平面通过一个定点VUF高等数学下册试卷200971姓名学院与专业学号一、填空题共24分1、4分函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条,FXY,ZXY件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、4分向量场的散度为2COSXYAEIJXZKSIN2XYEXY向量场的旋度为3BZZY2,463、4分设有连续偏导数，则,FXYFUVDZ122FYDXFY4、4分交换二次积分的积分次序20,YDFX402,XF5、4分设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分21XYZ10，2XYDDS26、设，则它有极小值32,39,0FXYX,05F二、8分设，求ZE2Z解两边取微分，得ZDXYDYZX,ZZDYEDXYE从而，ZX221ZZXXZXXZ222223231111ZZZZXXXX三、7分设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。YZYZ解令1LXYZZ则，从而222110,0,0XYZXLXYXYZ再由即约束条件，可得，从而L3Z3Z由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。四、7分求球面含在圆柱面内部的那部分面积224XY2XY解上半球面的部分为21,ZD222,444XYZDSDXYXY112COS22088RSDXY五、7分计算三重积分，其中是由单位球面围成2ZDV221XYZ的闭区域解由对称性0XYDVX从而2122200SINZYZDVRDR115400042SINCOSRDR六、7分计算曲面积分，其中是圆锥面23ZXDYZDZXYD位于平面之间下方部分的下侧2ZXY解取上侧21,4D则原式1121323DVYDXVYDX20SIN2DRRD2222300008883ISIN4COS433D七7分计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点2LYDXL,1A为终点的光滑曲线。1,0B解由于，2243XYXYXY2431YXXY从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关Y取路径，1,0X112200LDDXX八、7分求微分方程的通解3SINCOSXEYEY解，COSIN1XYDCO3I1XD，L3LLNXESYE九、7分计算满足下述方程的可导函数，YX0COS2SIN1XYTDX解原方程两端求导得COSIN2SII1YX即，这是标准的一阶线性微分方程SIN1COSXYSIINLNCOSLNCOSCO1TANCOSXDXDXXEEEEX原方程令得，代入通解得，从而01YIY十、6分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设且，试根0AE据的值判定级数的敛散性A1NA解，从而NUA111LIMLILIMNNNNUAEA当，即时，级数收敛；当，即时，该级数发散1E1NA0十一、6分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设是周期为FX的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展开成傅2,FX立叶级数解，（奇函数在对称区间上积分）0110,COS0NAFXDAFXND100222SICOSNNBFDXDX从而1IN,1NFXXK十二、7分（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设，证明满足微分方程，并求211NNFXFX4FXFFX解22312,1NNNNXFFF从而21144NNFXFX而且0,FF解初值问题，4XF0,2FF，通解为21,2,FFRI12COSINFXX，由初值条件，12SINCOSXCXX120,SI2F十、6分（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题201YX解方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，2YX0Y21R特征根为，从而对应通解为1,2RI12COSINYX容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为2YXY12COSIN从而，由初值条件可得。COS2YXX123,C因此3CSI十一、6分（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在L2260XYZ点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数1,2,FXYZZL解方程组两端对求导，得260XYZ201Y把代入得，解得，于是在点处的切向量为1,21YZ0YZ1,2，单位切向量为,0TYZ,2T所求方向导数为1,211,0,02XYZFFT十二、7（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连