高等数学-高等数学下册复习提纲

高等数学（下）自学、复习参考资料使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以综合练习为纲，仔细掌握其中的所有习题内容各章复习范围第一部分矢量代数与空间解析几何第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分多元函数微积分第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分级数论第十一章都要复习敬告学员本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请原谅另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。第九章二元函数微分法本章重点1、求定义域2、函数值（反过来求）3、求一阶、二阶偏导数一、二元函数的概念（了解）1、二元函数的定义及定义域设有三个变量X、Y、Z，如果变量X、Y在它的变化范围内每取定一对值时，变量Z按照一定的法则，总有确定的值与之对应，则变量Z叫做变量X、Y的二元函数，记作或,F,YXZ其中变量X、Y自变量，变量Z叫做因变量。自变量X、Y的变化范围叫做函数的定义域。二元函数在点处的函数值记为。,YXFZ,0YX,00YXFZ例1设XYYXF2,求。3,2F解12323,22F例2设YXXF1,2求,XYF解。1,2YXYXYF例3已知2,YXYXF求。,F解令则XYVUVUYX1VVUVVUF11,22。YXYF1,2例4求下列函数的定义域（1）LNXYZ解要函数有意义，必须0LNXY即XY1函数定义域为1,0|,XYX（2）221LNXYYZ解要函数有意义，必须012XY2函数的定义域为1|,2XYXY（3）XZARCSIN解要函数有意义，必须01XY即0XY函数的定义域为0,|,XY有关平面点集的一些概念（1）P0的邻域平面上以点P0为中心，为半径的圆的,0YX内部点的全体，即平面点集|,2020YXYX（2）内点设E为平面上的一个点集，如果点P及其某一邻域中的点都属于E，则称点P为集合E的内点。P74图91（3）边界点设E为平面上的一个点集，若点Q的任意一个邻域内，既有点集E的点，又有不属于点集E的点，则称点Q为平面E的边界点。平面E的全部边界点所组成的集合称为E的边界。（4）开集、闭集、开区域、闭区域、区域、有界区域、无界区域单连域、多连域等。（略，见P7475）2、二元函数的几何表示二元函授数的图形通常是空间的一张曲面。,YXFZ3、二元函数的极限设函数在点P0的某邻域内有定义（P0点可,YXFZ,0YX除外），点P（X，Y）是该邻域内异于P0的任何一点，如果当点P（X，Y）以任何方式趋近点P0时，对应的函数值,0YX无限接近于常数A，就称A是函数当,F,YXFZ时的极限，记作00,YXYXFYX,LIM0或,00YXAF显然，点P（X，Y）P0的方式是非常复杂的，,0YX如P83图915所示。（1）极限的定义（略，见P82）（2）二元函数的四则运算法则与一元函数类似。4、二元函数的连续性定义设二元函数在点P0的某邻域内有定义，,YXFZ,0YX若,0LIM0YXFYXFYX则称函数在点P0处连续。,YXFZ,连续函数的图形是一张无孔隙，无裂缝的曲面。可以证明，一切二元函数在其定义域区间内是连续的。二、偏导数与全微分（掌握）1、偏导数的概念（了解）定义（P87）（1）二元函数对某点的偏导数，记作,YXFZ,0YX对X的偏导数记为，。0|YX0|YXF0|/YXZ,0/YFX对X的偏导数记为，。0|YXZ0|YXF0|/YX,0/FYXFFYFXX,LIM,00/YYXFXFYXFYY,LI,0000/（2）函数的偏导数，记作,XFZ,/YXFYXFZYFYYX求偏导的方法求二元函数偏导数的方法与一元函数的求导方法完全一样，所有一元函数的求导公式和求导法则都能应用。求导时只要记住，对一个自变量求导时，将另一个自变量看作常量就行了。即，求时，将Y看作常量而对X求导；求时，将X看作常量而XZYZ对Y求导。例1求下列函数的一阶偏导数（1）YXEZ解YXYXYXEEEZ11YXYXEEYZ22（2）YZXU1YZXLN2YZXYUYZYXZUYZ1LN（3）设YXYXYFARCSIN1求，1,2/XF1,2/YF解YXYYFX1211/,2/XF211ARCSIN2/YXYXYXFY。421ARCSIN1,2/YF2、二阶偏导数设函数，记号,YXFZ，,/2YXFXZX，,/2YXFYXZZY，,/2YXFXYZZXY，,/2YFYZZYY其中，称为二阶混合偏导数。XZ2XZ2注意二阶混合偏导数和是不同的。YXZ2XZ2是先对X求偏导数，再对Y求偏导数。YXZ2是先对Y求偏导数，再对X求偏导数。2那么，二阶混合偏导数什么时候相等呢有如下定理定理若函数在区域D内的两个二阶混合偏导数,YXFZ及均为连续函数，则它们相等，即。YXZ2X2YXZ2XZ2求二阶偏导数的方法一阶一阶地求，注意不要搞错顺序。例1设，求二阶偏导数。LN22YXZ解2YXZ2YXYZ22222YXYXXXZ222224YXYXYXZ22222YXYXXYZ22222YXYXYZ例2设，求EZ、。2XZYZ2解YXEZ2YXZ2YYYEXEXYXZ12223、全微分函数的全微分可以写成,YXFZDYXFDYXFDZY,/求全微分的方法先求出偏导数再写成全微分的形式。4、全微分存在的必要条件与充分条件（1）对于二元函数来说，两个偏导数存在只是函数全,YXFZ微分的必要条件而不是充分条件。（2）全微分存在的充分条件是函数的偏导数、,YXFZXZ在处存在且连续（P99定理2）。YZ,X例1求函数YXZARCSIN的全微分。解22211XYXYYXXZ222221XYXYYXXYZ。12XDYYXYDYZXZD例2求函数在点（2，1）的全微分。XYEZ解XYEXZXYEYZXDYYEEDYZDXZDXXYXY2|21,2DZ三、复合函数求导法（掌握）在一元函数中，如果，则对复合函数,XUFY的导数有公式（复合函数求导公式）DXUYX二元函授数中，设，而，则,VFZ,YXVYXU,YXFZ是X、Y的复合函数。其中U、V是中间变量。这些变量之间的关系可二元复合函数求偏导公式XVZXUZXYVYUY以上给出求二元复合函数求偏导公式比较整齐，但实际计算时往往是比较复杂的，为了在求偏导数的过程中不致漏项，我们可以用下述的“变量关系图”来分清中间变量及自变量的关系。图中每一条线段表示一个偏导数，例如“ZU”表示。Z图示如下UXZVY这样，Z到自变量X有两条分线ZUX和ZVX，因此有；XVZXUZX同样，Z到自变量Y也有两条分线ZUY和ZVY，因此有。YVZYUZY复合函数的求导关键（1）搞清复合关系，认清有关各变量中哪些是中间变量，哪些是自变量。变量之间有哪些关系，必要时可以画出变量间的关系图。（2）分清对哪个变量求导，求导时应把哪些变量当作常量。（3）在求偏导数时，如果自变量或中间变量只有一个时，就要将相应的偏导数改写成导数。例1设,LN222YXVEUVZYX求、XY解变量关系图（考试时写在草稿上）UXZVYXVUEVUVZXUZXY21222222222XEYXEYXYXYX1222VUYEVUVZUZYX1424122222YXYXYXEYE例2设XZ1求、XY解令,1XYVXUVUZ变量关系图（考试时写在草稿上）UXZVYLN21XYUYVUVZXZXVL2V1LN112XYXYXYXUXVUVZZYV1LN1LV。1LN1XYXYXY例3设,SIN,32TYTXEZYX求。DTZ解变量关系图（考试时写在草稿上）YZTX2223COSTETEDTYZXZDTYXYX622SIN3TTCOS22SIN3TEDTZT四、隐函数求导法（了解）设由方程所确定的隐函数，则0,ZYXF,YXFZ当时，有0XZ，/ZXFZXXZ/ZYFZYYZ例1已知函数由方程确定，,YXFZZXYZLN求、XZY解令ZXYZXYZFLNLLN,则，X11YZF1XZZFX1。11ZZFY例2设函数由方程确定，,YXF02XYZZYX求DZ解令XYZZYXZYXF2,则，XYZXYZ121XYZYFXYZZF1XYZXYZYZZFX1。XYZXYZZFY212DYXYZDXYXZYZZD2第十章二重积分与曲线积分一、二重积分的概念、二重积分的性质（了解）（1）二重积分的定义见P135。函数在区域D上的二,YXF重积分记作DDYXF,其中称为被积函数，称为被积表达式，称,YXFXF,D为面积元素，X和Y称为积分变量，D称为积分区域。从定义知NIIIDFDYXF10,LM,可见二重积分是一个和式极限，所以它是一个数值。（2）二重积分的几何意义A）当时，二重积分在几何上就表0,YXFDDYXF,示以区域D为底，曲面为顶的曲顶柱体的体积；,YXFZB）当时，曲顶柱体位于平面的下方，二重积0,YXFXOY分的值是负的，因而二重积分的绝对值等于曲顶柱体的体积；C）如果在区域D的某些部分区域上为正的，而在其,YXF余部分区域为负的，我们把位于坐标面上方的曲顶柱体的体积XOY取正号，坐标面下方的曲顶柱体的体积取负号，于是XOY在区域D上的二重积分就是这些部分区域上曲顶柱体体积,F的代数和。（2）二重积分的性质性质1（K为常数）DDDYXFKDYXKF,性质2DYXGDYXFDYXGYXFDDD,性质3当时2121,DDDDYXFDYXFDYXF性质4若在D上，则,GFDYXDYXD,二、二重积分的计算方法（掌握）思路二重积分转化为两次定积分（1）在直角坐标系中的计算A）设积分区域可用不等式组表示，如图21XYXBAY1XYD2XYOABX（A）Y1XYD2XYOABX（B）那么，。BAXXDDYFDYXF21,上式右端是一个先对Y后对X的二次积分公式。计算时先把X看作是常数，因此是Y的一元函数，在区间,XF上对Y积分，得到一个X的函数，然后再在区间21YX上对X积分，第二次积分结果是一个常数。BAB）如果积分区域D可用不等式组21YXYDC表示，如图YD1YX2YXCOX（A）YD1YX2YXCOX（A）那么，DCYYDDXFYXF21,这是先对X积分，后对Y积分的二次积分公式。计算时先把Y看作是常数，因此是X的一元函数，在区间,F上对积分，得到一个Y的函数，然后再在区间21YXY上对Y积分，最后结果是一个常数。DCC）特别地，当积分区域为矩形区域DYCBXA时，就有（）BADCDCBADXYFYXF,DDYXF,D）在应用上述两个积分公式时，其积分区域D必须满足这样的条件用平行于X轴或Y轴的直线穿过区域D的内部时，直线与区域边界的交点不多于两个，但允许区域D的边界包含平行于坐标轴的线段。那么，如果区域D不满足上述条件，怎么办呢方法是可将区域D分成几个部分区域，使得每一部分区域都满足上述条件。如图YD2DD1D3OX则根据二重积分性质3，有312,DDDDDYXFDYXFDYXFDYXFE）二重积分化为二次积分的关键正确画出积分区域D的图形，（判别是那种类型的区域，）并写出表示这个区域D的不等式组。（这是求二重积分时首先要做的）例1将二重积分化为直角坐标系下的二次积分。（1）区域D由围成。1,2,XYX解画出积分区域D的图形YY2X（1，2）YX（1，1）O1XX1区域D可表示成XYX210XDDYFDYXF210,（2）区域D由围成。,X解画出积分区域D的图形Y（1/2，2）YX（2，2）（1，1）XY1O1XX1区域D可表示成YXY12YYDDXFDYXF12,例2交换二次积分的积分次序XXDYFDYFDI02011,解DD1D2，作出D的图形，如图YYX1（1，1）D1D2O12XY2X区域D可表示成YXY210YYDXFDI210,例3求下列二重积分（1）DDYX23D由围成。0,0,YX解画出积分区域D的图形Y2O2XXY2区域D可表示成XY20XDDDYX203232020|3DXYX202XX2024DXX3201648|232XX（2）DDYX2D由围成。1,XYX解画出积分区域D的图形YYX（2，2）（1，1）（2，1/2）XY1O1XX2区域D可表示成XYX12DYXDYXD1222DXX|211DXX121213214|X。49242（3）DYXDX021解作积分区域D的图形，如图XY01YYX（1，1）O1XX1显然区域D也可表示为10XYDXDX021XYXY1201212210YXDYXDY41|413|32010101232YDYX（4）DXY20SIN解作积分区域D的图形，如图20XYYYX2,OX2X显然区域D也可表示为XY02DXY20SINDYX02SIN200|SIYXX。1|COSSIN2020XD（2）在极坐标中的计算如图XX,YRYOXY根据直角坐标与极坐标的关系式SINCORYX把直角坐标系中的二重积分化成极坐标中的二重积分，转化公式为DDRDRFDYXFSIN,CO,这里，分别为左右两端二重积分中的面积元素。R如何计算呢下面分三种情况说明A）如果积分区域不包含极点O，积分区域D可用不等式组21RR表示，如P165图1030所示，那么21SIN,COSIN,CORRDRDFDRRFB）如果积分区域D的边界曲线通过极点O，积分区域D可用不等式组0R表示，如P165图1031所示，那么0SIN,COSIN,CORDRDFDRRFC）如果积分区域D包含极点O，这时积分区域D可用不等式组02R表示，如P166图1032所示，那么02SIN,COSIN,CORDRDFDRRF利用极坐标计算二重积分的要点（步骤）A）把直角坐标的二重积分转化为极坐标的二重积分DDYXF,，注意面积元素换成；DRDRFSIN,CORDB）把积分区域D表示成；21RRC）将极坐标系中的二重积分化为二次积分；D）用定积分知识计算二次积分。例1将二重积分化为极坐标的二次积分，（1）DDXYF,其中D由围成。2,XY解作区域D的图形如图YYXO2X显然区域D也可表示为COS204RRDFDDXYFD24COS02,例2将极坐标下的二次积分变成极坐标下的二次积分。20202,XDYFDI4解作积分区域D的图形如下20XYYRO2X积分区域D可写成COS20R20COS20SIN,RDRRFDI常在极坐标下计算的二重积分1）当D是圆或者是圆的部分，或者D的边界由极坐标方程表示时；2）当F（X，Y）含有项或项时。2YXXYARCTN例3求下列二重积分（1）DDYX1LN22D。0,2YX解作区域D的图形YO1X2YXD102R2010222LNLNRDDDYXDDRRRRRD10222210221|LN14L（根据分部积分公式）。12LN4|2LN410R（2）DDXYARCT其中D由围成。0,412YY解作出区域D的图形，如图YO12XD210R2021ARCTNRDDXYD20212031|DDR。163|4220（3）DDYX22其中DY22解作出区域D的图形，如图Y2X2Y22YO12X显然，区域DSIN20RDDYX22DRRD|3SIN2000SIN200203COSCOS138SIND9321318|CSCS03三、对坐标的曲线积分的要领和计算方法（了解）1、曲线积分的形式，记作LDYXQDYXP,由定义NIIIIILYQXPDYXQDYXP10,LM,可知，对坐标的曲线积分实际上也是一个和式的极