量子力学_答案_曾谨言

第一章量子力学的诞生11设质量为M的粒子在一维无限深势阱中运动，AXXV0,试用DEBROGLIE的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解据驻波条件，有,3212NA（1）/又据DEBROGLIE关系（2）/HP而能量（3）22/1,234EMHNNA12设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。CB,解除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向ZYX,ZYX,的运动分开处理。利用量子化条件，对于X方向，有,321,XNHDP即（一来一回为一个周期）AX2A,NX/同理可得，,BHPYCHNPZ2/321,ZX粒子能量2222CNBAMPMEZYXZYXNZYX,31,ZYX13设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2XV提示利用,2,VEPNHXDP解能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）AX其中由下式决定。0A21XVMAAX由此得，（2）2/E即为粒子运动的转折点。由量子化条件XHNAMADXADXDXPA22221得（3）MNHA22代入（2），解出（4）,1,EN积分公式CAUUADUARSIN22214设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示利用是平面转子的角动量。转子的能量。,1,20NHPPIPE2/解平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件I,321,220MHPDX，因而平面转子的能量，IIPEM2/2,31VX第二章波函数与SCHRDINGER方程21设质量为的粒子在势场中运动。MRV（A）证明粒子的能量平均值为，WDE3（能量密度）W2（B）证明能量守恒公式0ST（能流密度）2TTMS证（A）粒子的能量平均值为（设已归一化）（1）VTRDE32（势能平均值）（2）VRD33223值RDMT其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此T0（3）32RDT结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度（4）,2VMW且能量平均值。RDE3（B）由（4）式，得222222ESVMVMVTW（几率密度）TES（定态波函数，几率密度不随时间改变）所以。0STW22考虑单粒子的SCHRDINGER方程（1）TRIVRTMTRI,2,21与为实函数。1V2（A）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（B）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为3232RDVSIMRDTS证（A）式（1）取复共轭，得（2）212IVTI（1）（2）,得222IVMTI（3）2IT即，0VJT此即几率不守恒的微分表达式。（B）式（3）对空间体积积分，得23332RVDSIMIRDTS上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（），而第二项代表体积中SDJ“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。23设和是SCHRDINGER方程的两个解，证明12。0,213TRRDT证（1）1VMTI（2）222TI取（1）之复共轭（3）121VMTI（3）（2）,得2121221TI对全空间积分21232213,RDMTRRDTI211221232M21232RD，（无穷远边界面上，）0221SDM0,21即。,213TRRDT24）设一维自由粒子的初态，求。/0,XIPET,解/20,TMXPIET25设一维自由粒子的初态，求。X0,2,T提示利用积分公式2SINCOS22DD或。4EXPEXP2II解作FOURIER变换，DIPX10,，212,21XEEXPIPIPX（）DTXETPXI/,M2（指数配方）EPXTMI21DPTXITTIX22令，则2TPMT42EXP212,4/222TMITETDTETXITIXITIMX。TTX,226设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，0,XTMXTIITM2EXP4E,式中是的FOURIER变换。DXKIK0,210,提示利用。EXII24/LIM证根据平面波的时间变化规律，TKXIIKXEMKE2任意时刻的波函数为DKEKTXMTXI2/21,（1）22/PTXTITIMX当时间足够长后（所谓），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取T，（2）2TXKU参照本题的解题提示，即得KDTMXKETMETXITIX4/21,（3）TXTTIXI2/4/（4）2,TMTX物理意义在足够长时间后，各不同K值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即XTMXK，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。MKTX2KTT12设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的0K02K2最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。0KTXMTX0K27写出动量表象中的不含时SCHRDINGER方程。解经典能量方程。RVMPE2在动量表象中，只要作变换，DPI所以在动量表象中，SCHRDINGER为。EDPIVM2第三章一维定态问题31）设粒子处在二维无限深势阱中，其余区域,0,AXYXV求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何B解能量的本征值和本征函数为MEYXN22NAYX,21,SIIYXYXNNBBYX若，则BA22YXNMAEYXNYXNYXSII这时，若，则能级不简并若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如YXYX与）5,10XN2,1YXN32）设粒子限制在矩形匣子中运动，即其余区域,0,0,CZBYAXZYXV求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解能量本征值和本征波函数为,22CNBAMNEZYXZYX,31,SIISI8ZYXZYXNCZYX当时，CBA222ZYXMANEZYXAYNNZYXZYXSIISI3时，能级不简并；ZYXN三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。Z,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。ZYXN,如9,6310,520861207435233）设粒子处在一维无限深方势阱中，AX0,YXV证明处于定态的粒子N612X,22NAX讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。N证设粒子处于第N个本征态，其本征函数XANXSI（1）2SI2020AXDDAN分部42022XXNACOS1202ADXA（2）622N在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向A,0改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故XDADX，（3）20ADX，302（4）4222AXX当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。N34）设粒子处在一维无限深方势阱中，2,0,AXYXV处于基态，求粒子的动量分布。1N解基态波函数为,（参P57，（12）AXCOS1动量的几率分2COS22COS1S11212112322222PAQPAAEPIEPIADXEEADEPAPIAPIAPIAPIPAIPAIAXIXIIXAIPX布2CS4223PAAP35）设粒子处于半壁高的势场中（1）AXVX,0,求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解分区域写出EQS（2）AX,002“211XK其中（3）22KEEV方程的解为（4）KXKXIIDECBA21根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则20C当时，则0X01XBA于是（5）AX,0SIN2KXDEF在处，波函数及其一级导数连续，得AX（6）KAKADEKFCOS,SIN上两方程相比，得（7）TG即（7）EVVAT002若令（8）AKK,则由（7）和（3），我们将得到两个方程（10）式是以10920AVCTG为半径的圆。对于束缚态来说，AVR2000E结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚CTG态能级。当，即，亦即2R220AV（11）80时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解仅讨论分立能级的情况，即，20VEMDX2当时，故有X0EVMKXAEAKX222111,SIN,0,由在、处的连续条件，得DL0（1）KACTGKCTG21,由（1A）可得（2）1SINMV由于皆为正值，故由（1B），知为二，四象限的角。K,21KA因而（3）2SINA又由（1），余切函数的周期为，故由2式，CTG4112SINMVK由3，得52IKA结合4,5，得112122SINSINMVKMVK或（6）211IINKA,32一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级NNK（7）MEN2当时，仅当12V12SINVVA才有束缚态，故给定时，仅当（8）21,122SINM时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）V21A当给定时，由7式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为AV,21NNEVMKAXEMVKAXNAXKNNNKNNN222111,0SI,其中NNKAA21237）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。0E解势阱为0,0XVX在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故MEKCEBAXIKXI2,2011211由，得。01由，得。2CKBAK21从上二式消去C,得。1反射系数212KARR将代入运算，可得21,K0020402,16VEVEV38）利用HERMITE多项式的递推关系（附录A3。式（11），证明谐振子波函数满足下列关系2112122XNXNXNXN并由此证明，在态下，,0NEV证谐振子波函数（1）2XHEAXXNN其中，归一化常数（2）M,N的递推关系为（3）XHN02211XNXXN21212122121221111212112112222XNXXHENXHENXEXNXHEAXHEAXNNXNXNNXNNNXNNXN21121222112XNXNXNXNXNNNN011DDXXNNNN212212122NNNNEMDXXXV39）利用HERMITE多项式的求导公式。证明（参A3式（12）2222111NNNNNNNXD证A3式（12）DXH,11XHNNN2122211112122XNXXNXXHEHEAXDNNNNXNXNN22222211NNNNNNNNXD011DXIDXIPNNNNN21241241222222NNNNNNEMDXMDXT310）谐振子处于态下，计算N，21X21PPX解由题36），MNEVXX212,02由题37），TPPN,221212121212212121NPXMNPXX对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。,0311）荷电Q的谐振子，受到外电场的作用，（1）XQMXV21求能量本征值和本征函数。解（2）HPH022的本征函数为，02XEANXN本征值10EN现将的本征值记为，本症函数记为。HNXN式（1）的势能项可以写成2021XMV其中（3）20QX如作坐标平移，令（4）0X由于（5）PDIIP可表成（6）H202,21XMX（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项0H0HX，由此可知01XM（7）2001XMEN（8）XN即（9）,210,2122NMQNE1022QXHEAXNQXNN其中11,NN312）设粒子在下列势阱中运动，0,21,2XMXV求粒子能级。解既然粒子不能穿入的区域，则对应的SEQ的本征函数必须在处为零。另一方面，在的0X0X0X区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波H函数和谐振子的波函数满足同样的SEQ）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波12KN函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以KN2,0,3EK313）设粒子在下列势阱中运动，10,XARXV0,AR是否存在束缚定态求存在束缚定态的条件。解SEQ2EAXRDM2对于束缚态（），令30E则4022AXRDX积分,得跃变的条件A052AMRA在处，方程4化为X6022D边条件为束缚态0,因此7,AXAESHX再根据点连续条件及跃变条件5，分别得AX8ESHA92AMRCHA由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）A102COTHMRAA此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，所以,0E0利用,1LICOTHLI00ATA（10）式化为,2MR因此至少存在一条束缚态能级的条件为（11）12R纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）0X。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。MRL2条件（11）可改写为（12）2LA即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给A1COTHA出2MR即（13）2RE与势阱的结论完全相同。XRV令，则式（10）化为A（14）2COTH1MRA由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用COTH11，即可求出能级MEA2（15）2A第四章力学量用算符表达与表象变换41）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可ABBA21I21F分解为，与均为厄米算符，且IFFI,证）BAABABA21212121为厄米算符。）IIIBI21212121也为厄米算符。BAI）令，则，AF且定义（1）FIF21,21由），）得，即和皆为厄米算符。则由（1）式，不难解得I42）设是的整函数，证明,PXF,F,F,PIXXI整函数是指可以展开成。,PXF0,NMNCP证（1）先证。11,NMPIXXI1113132221,3,MMMMXIXIIPXIXXIPXP同理，12211,2,NNNNNNPIPXXIX现在，0,10,NMNMNMNPXICPXCF而。0,1NNIXIFXIP又0,10,NMNMNNPIXCPXCFX而0,1NNIPIF,PIX43）定义反对易式，证明BA,CCA,证BABCAAB,CBCA,44）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为BABAA,，为LEVICIVITA符号，试验证ZYX,（1）CBABAC（2）（3）证（1）式左端XYXZXZYZYZYXCBACBACBACB（1）式右端也可以化成。（1）式得证。（2）式左端（）CBACBA3,2（2）式CBACBA右端CBACBA故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。45）设与为矢量算符，为标量算符，证明ABF（1）BA,（2）证（1）式右端FFBAAB（1）式左端,（2）式右端FFBABA（2）式左端,46）设是由，构成的标量算符，证明FRP（1）RFIPIFL,证（2）KJIZYX,24,题YFZIPFIPIZIYIZIPZZYPYPLXZZYYY（3）XXRII同理可证，（4）YYYFIPFIL,（5）ZZZRII,将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。47）证明PILP2。I,证ZYZYZYZYXPLPLLP,利用基本对易式IP,即得。XXI2因此PLP其次，由于和对易，所以XXXYZYZYYZXZZXZXYYXYXZYXPLIPLIPLPLL,222因此，P,248）证明（1）PRIRL22（2）222PLPLPL（3）24（4）I证（1）利用公式，有CBAPRPRPPRRPL22其中RII22RR3因此PIPL222（2）利用公式，（）0L可得02,L22PPLPPLL202,L2PPPLP22L由，则（2）得证。（3）PIPLP1742224174LI（4）就此式的一个分量加以证明，由44）（2），CBACBA，XXXPLPLPL其中YZXXEIP（即）KIJIKJYZZY0,22PLIIPPLEIPLPLXXXZYZXX类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。YZ49）定义径向动量算符RPRPR121证明，RRARIBR1，IPCR,，RRDR2222121RPLPE证，ABCAR1212PRPPRRR即为厄米算符。RRIRIRIRIIRIIIPRRIPRRRB1132322112RIRRIRIPRC1,22BRPDR2211RRRRRR2112222据48）（1），。EPRIPRL22其中，IIPR因而RR222RPR22以左乘上式各项，即得2RRL122D94221RPL410利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解一维谐振子能量。221XMPEX又奇，02DXE0XP（由38、39题可知）,XP，XX由测不准关系，得。,2XX212MEX，得0823XDXMX211220MEX同理有，。0Y0ZE谐振子（三维）基态能量。2300ZYXE411利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。解类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成E（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径，在类氢原子中变为ZEU20UEA。A0类氢原子基态波函数，仅是的函数。ARE310而，故只考虑径向测不准关系，类氢原子径向能量为DREDRESINRP。ZUPER2而，如果只考虑基态，它可写为REH2，RZEUP2RDIR1与共轭，于是，RPR（1）RZEMZEUER22求极值R230由此得（玻尔半径；类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，AZER020A得基态能量，EME224运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。R1412证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。证设定态波函数的空间部分为，则有EH为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系PIX。UPVUPXHIJJII2,这里已用到最基本的对易关系，由此IJJI,0,IIIIIIIEXXIUHXUP这里用到了的厄米性。H这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在CABBAIC,或的本征态中，的平均值必为0。ABC413）证明在的本征态下，。YXL（提示利用，求平均。）YZYIL证设是的本征态，本征值为，即ZMZ，XLIYZYY,，YXZXZL011YYZZYZZYXLMLII同理有。0Y414设粒子处于状态下，求和,LMY2XL2Y解记本征态为，满足本征方程L，LL221LMLZLLZ利用基本对易式，LI可得算符关系XYZXZYXYZYXXI2XYZZZYLLILI2将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵LMZLMM消，因此22YXL又221MLZ2221LYX上题已证。0L22221MLLXXXX同理。1MLY415设体系处于状态（已归一化，即），求201YC121C（A）的可能测值及平均值ZL（B）的可能测值及相应的几率；2（C）的可能测值及相应的几率。X解，；1212YL20206YL，。ZZ（A）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为，。平均值。Z21C21CLZ（B）的可能测值为，相应的几率为，。2L2621（C）若，不为0，则（及）的可能测值为，0，。1C2XLY21）在的空间，对角化的表象中的矩阵是XLLZ,2012求本征矢并令，则，1CBA012得，。AB2BC21,0）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。0A,A102）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。1CB22）取，得，归一化后可得本征矢为。1CAB212在态下，取的振幅为，取的几率为；取011CYXL020211CCXL021CXL的振幅为，相应的几率为；211421取的振幅为，相应的几率为。总几率为。XL2011CC21C21C2）在的空间，对角化表象中的矩阵XLZL,利用121MJMJJX，。12XJ230XJ2310XJ12XJ，本征方程010230XLEDCBA010230，。ABBCCDDE23E2,），本征矢为。在态下，测得0BCA230DCE2310321801022CY的振幅为。几率为；0XL210318102CC42），本征矢为。在态下，测得的振幅为1AB0CBDE101220YCXL，几率为。011202C），本征矢为，在态下，测得几率为。1AB0CBDDE101220YCXL0），本征矢为，在态下，测得2ABC6AED2AC6126420YC的振幅为。几率为；2XL22461100CC283），本征矢为，在态下，测得的2ABC6AD2E1261420YC2XL几率为。283C。224183C在态中，测（和）的可能值及几率分别为201YCXLY221221128344830416）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归E123一的波函数。解11,A，122,22,，。3133,33,1是归一化的。321,，0,1,121212，0,213213131331。,232123132332它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证它们仍对应于同一能级）。417）设有矩阵等，证明SCBA,，DETTDETASDETT1，TRTR1CABTRRBC表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。AT证（1）由定义，NNIIINAIPA211DET011其他情形的奇置换是当的偶置换是当IIPNN故上式可写成，NNIJIJINNAJPIA2111DET其中是的任意一个置换。NJ1NNIIINCIBC211ETTNNNIJIJIJIJBABAP1121NNNJIIJIJNJJIP112121NNNJIIJIJNNJJNBJPIAJP1121211BADET（2）ASSASDETDETTT1TT1（3）BTRABAABTRIKIIK（4）TRASRASSR1111（5）CBBACCCCRJKIIJKIJIJKIJKJ第五章力学量随时间的变化与对称性51）设力学量不显含，为本体系的HAMILTON量，证明ATHDT,2证若力学量不显含，则有,AIT1令CHA,则,HCIDTIT1,122AT,252）设力学量不显含，证明束缚定态，T0DT证束缚定态为。TIENNNERT,在束缚定态，有。R,TRTRIHN,其复共轭为。ETITTIENNNNDTAT,NNNAAT,NNNHIHIT1,1NNAIIAIT,。NNII,1,0,1I53）表示沿方向平移距离算符证明下列形式波函数（BLOCH波函数）XXIAPXADEPEPA,KIK是的本征态，相应的本征值为AXIKAE证XAXDKI,证毕。EEIKKIXIKA54）设表示的本征态（本征值为），证明MZLMEYZIKIK是角动量沿空间方向的分量,NLCOSSICOSINZYXLNL的本征态。证算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，YIKEZIKEZMZL本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室MZ轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征Z,NMYLN值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参钱剖析P327）55）设HAMILTON量。证明下列求和规则RVUPH2。UXENNM2是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。XRNNEH证（）XXXPUIPUH21,ANNME2EMNMXNNXN,2,1PXUNPUIXNNXPUI又ANMXNEMXNHN,NXPUI，2NXXPUINXPUI,I2。AENM2不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。ZY,56）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为PRF,（1）KFHKFENNK,21证式（1）左端令ANNKKFHNN（2）K,计算中用到了公式。1N由于是厄米算符，有下列算符关系FH,（3）FHFHF,式（2）取共轭，得到（4）AKK,K,3,K结合式（2）和（4），得FHFENNK,21证毕。57）证明SCHRDINGER方程变换在GALILEO变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运KK动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系X。（1）,TZYVT势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）TXVTXTV,证明SCHRDINGER方程在参照系中表为K2VXMTI在参照系中表为KVXTI2其中TTMXI,2EP证由波函数的统计解释，和的意义完全相同。，是时刻在点找到粒子的几率密度；TXWT,2TX，是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）,TXWT从（1）式有（6）TXWT,由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）TXETXETXTISIS,（7）TTI,由（1）式，,XTXVT2X（3）式变为2,TTVTM（8）,TXTITXI将（7）代入（8）式，可得TSXSMTITXVXSMIX222,TI（9）选择适当的，使得（9）（4），T,。（10）0XS（10）0222TSXSMI从（10）可得。（11）TFXS是的任意函数，将（11）代入（10），可得TF2TF积分，得。CTMTF为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到C0KS00C（12）TXMS2代入（7）式，最后得到波函数的变换规律（13）TMXI21EP逆变换为（13）2TIS相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。”，“，讨论的函数形式也可用下法求出TXS,因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定VKTX,沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为MP（14）22211MPEE据此，系和系中相应的平面波波函数为K，（15）ETPXIETEXPIE（1）、（14）代入（15），即得TMXI21P此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用KP于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。第六章中心力场61利用613节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量（1）212PMMRP总动量（2）1RP总轨迹角动量（3）PRPRRL221总动能（4）21PMPT反之，有（5）,1RRRRR2，（6）PP21PP12以上各式中，221,MMM证，（17），（18）21RR21R相对动量（1）2122112PMRMRP总动量（2）212121RMP总轨迹角动量PRL521MURU21221PMRPR2P由（17）、18可解出，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。21,R总动能221122621MPPPMPT212212121UUPMU21221212MPPMPM（4）2PM从（17），18式可解出（5）式；从（1），2式可解出（6）式62同上题，求坐标表象中、和的算术表示式PPL，RIRIPRP解（1）212212RRMMMP其中，111ZKYJXIR而，XXXX11同理，；YYMMY1ZZZ1（利用上题（17）（18）式。）；仿此可设（2）1RRR2RRRMM1代入（1）中，得RRRRMIP121221（3）RI（4）2121RPPRIRRL只要将（3）、（4）式中的、以相应的算符代入即可。P63）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱（A）电子偶素（POSITRONIUM，指束缚体系）E（B）U原子（MUONICATOM）（C）U子偶素（MUONIUM，指束缚体系）U解由氢原子光谱理论，能级表达式为,。241NUEENPEM（A）电子偶素能级，（）24N2EEU（B）U原子能级，（）241EEUNPUM（C）U子偶素能级，（）24MUN2UU64）对于氢原子基态，计算。PX解在求坐标系中，空间反演（）。R,氢原子基态波函数为（1）0213010AE宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以（2）0,XPX由于各向同性，呈球对称分布，显然有10（3）2231PPRZYXZYX容易算出（4）DR2102DREARARSIN0230203A2P10210102（5）D102DRRSIN10220A因此，（6）2X0A02AX，（7）203PX03PXX（8）X测不准关系的普遍结论是（9）2XP显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。3265）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。AR20VE解氢原子基态波函数为，RE13102UE相应的能量AUEE241动能RVRT1是经典不允许区。由上式解出为。0AR2因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）AARDEP2023SI66）对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算Z1,NLR（A）最可几半径；（B）平均半径；（C）涨落212RR解类氢原子中电子波函数可以表示为NLM（1）,LMLLLNLMYRUYRR（A）最可几半径由径向几率分布的极值条件（2）0RUDLN决定。时，。1L0RNAZRNECU,0代入（2）式，容易求得（4）02几这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（B）在态下，各之间有递推关系（KRAMERS公式）NLMR501241212212RZALZA（参钱伯初、曾谨言量子力学习题精选与剖析P197）在（5）式中令，注意到。可设00R6ANZRLM21依次再取，得到2,1（7）AZLNRNLM13212NLAZ（C）（8）22225LNL121NLAN因此，的涨落R（9）212RZAN423（10）122NNR可见，越大，越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。67）设电荷为的原子核突然发生衰变，核电荷变成，求衰变前原子中一个电子（轨迹ZEEZ1ZKS1上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子的轨迹的几率。1ZK解由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的电子，其波函数仍未（1）AZRERZ21310,而新原子中电子的波函数应为（2）KARZEAR2310,将按新原子的能量本征态作线形展开RZ,10（3）RZCNLMNL,则衰变前的电子在衰变后处于新原子的态的几率为SRNLM,1（4）2102PNLMNLLM因此，本题所求的几率为10212623210104DREAZZAZ（5）63632112ZZ展开时保留到第三项当，上式可近似取成（5）121043P例如，,；0Z9,。31068）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核满壳电子）的作用近似表为（）（1）2RAERV10为BOHR半径，求价电子的能级。A提示令，解出121LL2182LLL解取守恒量完全集为，其共同本征函数为ZLH,2（2）,LMYRRR,LMYRU满足径向方程RU（3）EURAEURLU22“21令（4）1LL式（3）就可以化为（3）UREULU2“21相当于氢原子径向方程中换成。所以式（3）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为L，（5）ANEE21LR,20RN将换成，即得价电子的能级L，（6）ANEL21LR通常令（7）LL（8）1LRL称为量子数和的“修正数”。由于，可以对式（4）作如下近似处理LLN1121LLL212LLL略去，即得（9）L2L由于，因此，