旋转图案设计教学知识

教学知识要点1旋转的概念在平面内，将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角，得到图形F，图形的这种变换就叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，角叫做旋转角。2旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。（3）旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变。3设计图案所能应用的变换类型（1）平移变换；（2）旋转变换；（3）轴反射变换；（4）旋转变换与平移变换的组合；（5）旋转变换与轴对称变换的组合；（6）轴对称变换与平移变换的组合。【典型例题】基础知识题例1如图1所示，点C在线段BE上，ABC与DCE均为等边三角形，观察图形，指出BCD是由哪个三角形旋转而成的，并指出旋转中心及旋转的角度。分析（1）先根据已知及图形，探寻符合旋转的两个三角形（其中BCD是已知的），然后根据定义及旋转的特征加以判断。（2）旋转过程中保持不动的点为旋转中心，故C点为旋转中心。（3）旋转的角度应是一对对应点与旋转中心连线所夹的角。此题中点D与点E是对应点，故DCE的度数是旋转的角度60，而不是BCD120，这一点请同学们一定要注意。解由已知ABC与DCE是等边三角形，得ACB60，DCE60BCD120，ACE120又ACBC，CDCE可判断BCD是由ACE旋转而成的。BCD是由ACE绕点C逆时针旋转而成的，旋转中心是点C，旋转的角度是60。例2如图2所示，四边形AOBC绕O点旋转得到四边形DOEF，说出这个旋转过程中（1）旋转中心是什么旋转角是什么（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置（3）相等的线段有哪些（4）相等的角有哪些解（1）四边形AOBC绕O点旋转得到四边形DOEF，所以很显然旋转中心是O点。又因为B和E点是对应点，所以BOE是旋转角。（2）观察图形可知，点A、点B、点C分别移动到D点、E点、F点。（3）相等的线段有AODO，BOEOACDF，BCEF（4）相等的角有AOBDOE，CFBE，AD能力提高题例3如图3所示，AB是长为8CM的线段，且CDAB于O，你能借助旋转的方法求出图形中阴影部分的面积吗说说你的做法。解（1）我们可以把最里边的圆按顺时针方向旋转90，把最外边大圆环按逆时针方向旋转90，而中间圆环保持不动，这样阴影部分便拼成了一个半径为4CM的扇形。（2）所以阴影部分的面积为SABCM414222强调此题借助了旋转和拼接的方法。例4如图4是由三个正三角形拼成的，它可以看作是由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的解有三种方式（1）可看作是由ABC绕点B顺时针旋转60，120得到的。（2）还可看作是由EDB绕B点逆时针旋转60，120得到的。（3）还可看作是由CBD沿CB所在直线作轴对称和沿DB所在直线作轴对称得到的。创新应用题例5如图5所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，将ABE旋转后得到CBF。（1）指出旋转中心及旋转的角度。（2）判断AE与CF的位置关系。（3）如果正方形的面积是18CM2，BCF的面积是5CM2，问四边形AECD的面积是多少分析本题要充分运用旋转的特征，即几何图形的旋转不变性来解决上述问题。解（1）由于ABE旋转到CBF的位置时，点B保持不动，故B点是旋转中心。又由ABC90，旋转角度为90。（2）由于AEBBAE90FAEBBAEF90AECF（3）由旋转的特征，ABE和CBF的形状和大小相同，故ABE与CBF的面积相等所以SCMABECF52四边形正方形SDABDABE1832C四边形SAEC2例6在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于点P，若四边形ABCD的面积是36，求DP的长。分析通过观察题目的已知条件，将RTADP绕D点逆时针旋转90，使DA与DC重合。P点落在P点的位置，这样将求不规则的四边形ABCD的面积转化为求规则图形DPBP的面积。解将RTADP绕D点逆时针旋转90，使DA与DC重合，ADP落在DCP的位置。DPBBP90四边形DPBP是正方形四边形正方形SPACDB236P36中考热点题例7试用两个圆、两个三角形、两条平行线段设计一些具有平移、旋转和轴对称关系的图案来，并说明你的设计意图。分析由于圆、线段既是轴对称图形，又是能绕圆心或中心旋转180重合的图形，只要所选用三角形为等边三角形或等腰三角形，便不难将三者有机结合，设计出一些合理的图案来。生活中具有平移、旋转、轴对称关系的图案有很多，应善于捕捉生活中这些美丽的图案，积累素材，才能为自己的图案设计提供很好的生活素材，打下基础。设计的图案要有丰富的现实意义，并能够用简洁的语言表述自己设计图案的意图。下面仅举几例，以供同学们参考。解（1）平移关系（2）旋转关系（3）轴对称关系【模拟试题】（答题时间30分钟）1判断题（1）一个图形只有绕旋转中心旋转360才有可能与它自己重合。（）（2）圆不管旋转多少度总是得到圆。（）（3）绕某点顺时针旋转N与绕同一点逆时针旋转360N实际得到的图形一致。（）（4）圆不管旋转多少度总是得到与它自己重合的圆。（）2填空题（1）正方形ABCD对角线AC与BD相交于O，正方形ABCD绕点O顺时针旋转180得到的像与原像的关系是_。（2）在下列数字与字母中，旋转90可与自身开头一样的有_，旋转180可与自己开头一样的有_。ABHIOM38XS（3）以等腰直角三角形ABC的直角边AB、AC向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，连结BN、CM，则下图甲中三角形ABN与三角形CAM可以通过以点A为旋转中心，旋转角为_度的旋转变换而互相得到。图甲（4）如下图乙可看作是一个_，绕_点，_时针，旋转_次，每次旋转_度而得到的。图乙3用一个圆，一个正三角形，利用平移、旋转和轴对称设计一个图案，并说明你所表达的含义（三种方法必须都采用）。4如图四边形ABCD中有P点，（1）作四边形绕P顺时针旋转90，所得四边形ABCD。（2）作BC绕P逆时针旋转45，所得BC。（3）作B绕D点逆时针旋转145。5请你用圆规三角板设计一个你喜欢的图案。【试题答案】1（1）（2）（3）（4）2（1）完全重合（2）O、X；H、I、O、X、S、8（3）60（4）正方形；O；顺；3；90、180、27034略5略【典型例题】例1观察下列图形，有什么感受，每个图形有什么特点1234分析先观察，每个图形沿着一条直线折叠，左右两部分或上下两部分是否重合，若重合，则为轴对称图形，这样的直线是它的对称轴。解通过观察，这些图形都给人一种对称美感受，图（1）是左右对称的图形，图（4）是左右对称的图形，它们都只有一条对称轴。图（2）有4条对称轴，可以上下对称，也可左右对称。图（3）有2条对称轴，可上下对称，也可左右对称。例2观察下列图形，哪一个图形不是轴对称图形1234解根据轴对称图形的特点可判定图（1）、（2）、（3）为轴对称图形。图（4）不是轴对称图形。例3如图所示左右对称的是（）ABDC分析要使左右对称，必须找到一条直线，沿这条直线对折，左右两边图形重合。解显然左右对称的是（B）。例4利用直尺、圆规和三角尺，怎样画出下面图案OA1BC2A分析图（1）是6个花瓣的花，图（2）是3个花瓣的花，仔细观察它们花瓣的尖到花心的距离相等，每两个相邻的花瓣尖之间的距离相等，每个花瓣的尖都可想到在以花心为圆心，花尖与花心的距离为半径的圆上。图（1）的6个花尖分布在这样的圆的6个6等分点上，图（2）的3个花尖分布在这样的圆的3个3等分点上，仔细看图（1），由2条蓝线圆弧，2条红线圆弧，2条铅笔线圆弧构成。2条蓝线圆弧是以B、B1为圆心，花尖到花心的距离为半径画的弧，2条红线圆弧以A、A1为圆心，2条铅笔线圆弧是以C、C1为圆心，半径一样长画的弧，关键要确定6个花尖的位置，要画一个以图（1）中花尖到花心的距离为半径的圆，把圆6等分，图（2）的画法与图（1）的画法类似。解（1）图（1）的作图步骤为A以一点O为圆心，以图（1）中OA长为半径画圆。B过O作一直线A1B1，以A1为圆心，OA长为半径画弧交圆O于C、B，再以B1为圆心，OA长为半径画弧交O于A、C1，这时，A1、B、C1、B1、A、C为圆O六等分点。C以这6个等分点为圆心，OA长为半径画弧。6条弧构成图（1）的图案，如下图（要擦去辅助线）AB1CO（2）图（2）的作图步骤为A以O“为圆心，OA长为半径画圆。B以O“为圆心，作圆O“的直径，以与图（1）的第二步的方法一样作出圆O“的6个等分点，A1、B1、C1、D1、E1、F1，擦去B1、D1、F1。C以A1、C1、E1为圆心，OA长为半径画三条弧构成图（2）的图案，如下图（擦去辅助线）1O“ABC例5如图是一张88的棋盘纸，你能否只剪一刀就将棋盘剪成许多22的小纸块分析只剪一刀将棋盘剪成许多22的小纸块，如果不对折再剪根本不可能剪一刀达到目的，对折一次84，再对折一次44，再对折一次42，再对折一次22，要折四次再剪，若四次全为对折，剪下来的可出现三角形，因此第一次可以将四个角折起。解按下图所示过程剪将四角拼起沿虚线折再沿虚线对折再折再折剪开【模拟试题】（答题时间20分钟）1请举出你所见到的对称形式的实例两个，并画出来。2中央电视台开心辞典栏目有下列的问题，请从（1）（4）中选择适当的图形填入“”处12343你能画出如下图案吗4给下列图案取一个新颖的命名吧12【试题答案】1可以画树叶、花、建筑物、日用品、画图略。2（4）3略4（1）“笑口常开”等（答案不唯一）（2）“面面相觑”（答案不唯一）四教学知识要点1常见的平面图形有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形这些平面图形称为多边形、正三角形、正四边形、正五边形，它们都是各条边相等的多边形，统称为正多边形，常见的平面图形还有圆、扇形等。多边形是由线段围成的封闭图形，圆是由曲线围成的封闭图形，扇形是由曲线和线段围成的图形，每一个多边形都可以分割成若干个三角形。2空间图形有由平面图形围成的，常见的有六面体（长方体、正方体都是六面体，它们由六个平面图形长方形或正方形所围成）、正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这些空间图形称为多面体，常见的空间图形还有球、圆柱、圆锥、圆台等对于多面体有VFE2。3观察同一个物体，观察者距离物体的远近不同，观察到物体的形状是不同的。4观察同一个物体，观察物体的视线角度不同，观察到物体的形状也会有所不同。5光源发出的光照到不透明的物体上，在物体的背后形成一个光线照不到的或部分光线照不到的黑暗区域，成为物体的投影。【典型例题】例1指出下列图形的名称，它们是平面图形还是空间图形123456分析这些图形都是由线段或曲线在同一平面内围成的封闭图形，属于平面图形。解它们都是平面图形）为扇形图（）为圆图（）为正六边形图（）为梯形图（）为长方形图（）为三角形图（654321例2指出下列图形的名称，它们是平面图形还是空间图形124536分析这些图形由一些平面图形和曲面围成，属于空间图形。解图（1）为正四面体，图（2）为圆柱，图（3）为正方体，图（4）为圆锥，图（5）为三棱柱，图（6）为圆台。它们都是空间图形。例3如图所示是某些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称。12分析图（1）可以把四周的四个三角形折合封闭围成一个四棱锥或者说一个五面体，图（2）中可把有阴影的正方形不动，其余正方形折合封闭围成六面体或者说一个正方体。解图（1）是一个五面体的展开图。图（2）是一个正方体的展开图。例4填空（1）正四面体的顶点数V4，面数F4，棱数E6。（2）正六面体的顶点数V8，面数F6，棱数E12。（3）正八面体的顶点数V6，面数F8，棱数E12。多面体的顶点数用V表示，面数F表示，棱数E表示。则有一规律可用一个公式来表示（欧拉公式）即VFE2。分析把正四面体、正六面体、正八面体的图作出，再数顶点个数V，面数F，棱数E，再填空。正四面体CB正六面体CBADA正八面体AHDEFAG例5一个多面体的棱数E为30，顶点数V为20，它有多少个面解设面数为F，则2V即031答案它有12个面例6确定图中路灯的位置，画出第三根旗杆的影子。AO灯C第三根CB分析在图中相应的点上标上A，A，B，B，C，连AA，BB两线延长交于O，O点处为灯的位置，连OC，并延长交路上一点为C。图中C点到第三根旗杆脚的那条线段则为第三根旗杆的影子。例7观察一幢高层楼房，如果在你站的位置正好能看到楼房的一至三层，若想看到更高的几层楼你是应该由你站的位置向前走还是往后退分析如图所示不管你在哪个位置，你的视角不变的，若向前走，看的楼层少了，如（1）的位置，若往后退，退到（2）的位置，则看的楼层高些，多些。三层（1）（2）解若想看到更高的楼层，要往后退。【模拟试题】（答题时间25分钟）一填空题1正十二面体的顶点数V_，面数F_，棱数E_。2一个多面体的顶点数V，面数F，棱数E三者之间的关系式为_。3在同一平面内，由一些_围成的封闭图形称为平面图形。4圆柱是_图形，它的两个底是_，侧面为_。5把一个三棱锥切去一个角，看到的平面图形为_。二解答题1有一个正多面体，它的顶点数、面数、棱数的比为223，它是一个正几面体并画出它的图形。2一个正方体木块，六个面上分别写着1、2、3、4、5、6，从三个不同的角度观察的结果如图所示，这个正方体每两个相对的面上的数各是几345133有一个正方形花坛，现要把它分成面积相同的八块，分别种上不同颜色的花。（1）如果要求这样分成的八块形状相同，请设计几种方案来（2）如果要求八块中的每四块形状相同，应如何设计【试题答案】一填空题120，12，3022EFV3线段或曲线4空间，圆，曲面5三角形二解答题1解设XEFXV32，则3264V，所以它为正四面体，图形如下2解由图可知与“4”相对的面的数字不可能为3、5、1、6，所以与“4”相对的为“2”，同理可推与“3”相对的面的数字为“6”，与“5”相对的面的数字为“1”。3答案略。（答案不唯一）四教学知识要点1全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2全等三角形的有关概念两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。3全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。4三角形全等的判定定理（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。5三角形的稳定性三角形的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。6判定三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS，全等三角形的定义五种方法。7利用全等三角形证明线段相等或角相等的思路（1）观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中；（2）分析要证全等的两个三角形，已知什么条件，还缺什么条件；（3）设法得证所缺条件；（4）当待证线段和角不分布在两个三角形中，可考虑添加辅助线。【典型例题】基础知识题例1如图所示，ABCDEF，且B与E，C与F是对应顶点，问怎样“平移”和“翻转”可以使它们重合ABCEFD分析两个全等三角形是一定可以重合的，使两个图形完全重合的方法有三种一是平移，二是翻转，三是旋转，它们是图形变换中的常见形式。解本题只需把DEF沿EF翻转180成虚线组成的三角形，再往左平移|BE|个单位就能重合于ABC。能力提高题例2如图所示，在ABC中，AD是BC边上的中线，求证ABAC2AD。分析证明三边之间的关系，我们常常把三边集中到一个三角形中，利用三角形的任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边。而本题中要证明的ABAC2AD这个不等关系中的三边AB、AC、AD不在同一个三角形中，所以解题的关键就是想办法把它们通过等量变换，使它们集中到一个三角形中，为了达到这个目的，我们把中线AD延长一倍至E，构造出ECDABD，从而出现一些对应相等的线段和角，我们把这种添加辅助线的方法叫“倍长中线法”。证明延长AD到E，使DEADAD是BC边上的中线BDCD在ABD与ECD中ADEBCSAABEC（全等三角形对应边相等）又ECACAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD例3如图所示，已知AP/BC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D，求证ADBCAB。PPQD2EC3DECAF1BAB甲乙45分析要证明两线段之和等于第三条线段，我们常常需要通过等长线段转移，使三条线段集中到一条直线上，要达到这个目的，我们常采用“截长补短法”。如图甲所示，在AB上先截取AFAD，只要证FBBC即可，这种方法就是“截长法”。如图乙所示，在AP上截取AQAB，只要证DQBC即可，这种方法就是“补短”法。证明方法1如图甲所示，在AB上截取AFAD，连结EFAE平分PAB，AEAEDAEFAE（SAS）ADEF，12又，PBC/1又平分，EBEFASBCAD即证明方法2如图乙所示，在AP上截取AQAB，连结QE。AE平分PAB，AE公共AEQBS，34又平分C453APBD/，EQCASQB即ADB例4如图所示，ABCD，ADBC，求证AB/DC。DC21AB分析此题要证明两条直线平行，通常要证明角相等或互补，我们可以通过添加辅助线连结AC，构造出一对全等三角形，从而得到相等的线段或角，这是几何证题的一种重要思路。证明连结AC，在ABC与CDA中ABCD（已知）（已知）（公共边）S12（全等三角形对应角相等）ABDC/（内错角相等两直线平行）创新拓展题例5已知如图所示，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM/BN，请按下列步骤画图并回答（1）画MAB、NBA的平分线交于点E，AEB是什么角为什么（2）过点E任作一线段交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，有何发现证明其猜想。（3）试证明无论DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要DC经过E，ADBC的值都不变。AMADDMADM4464333EEE111BNBCCFNBCFN甲乙丙22257分析这是一道作图（正确画图）后通过独立思考与探索（测量）作出合理猜想，然后证明的“开放型题”，此题型着眼于培养学生的数学发现能力和创造力。（1）题是两条平行线的“三线八角”的基本图形，问题即可证如果两条平行线被第三条直线AB所截，那么一组同旁内角的平分线互相垂直。因此可以利用平行线性质和角平分线定义来证明。（2）题可利用特殊化的方法进行可靠的猜想，将点D移动到点A重合，易证ABECBE，所以DE（AE）CE。如图乙所示，同样方法，将点C移动到点B重合时，可得CE（BE）DE，因此可作猜想DECE。（3）题由（2）题中特殊化的方法可推出ADBCAB。解答（1）AEB90（如图甲所示）证明AM/BNMABABN180又AE、BE分别平分MAB、ABN12312ABNMAB，1809E801（2）DECE（如图乙所示）证明当D与A或C与B不重合时，延长AE交BN于F，由（1）知AEB90FB9在ABE和FBE中E12ABEFSAAEFE（全等三角形对应边相等）又AM/BN4567，在AEB和FEC中AFEDCASDECE（全等三角形对应边相等）当D与A重合或C与B重合时，只需证一次全等即可，方法同上，这里不再证明，请同学们自己完成。（3）ADBCAB证明由（2）知AEDFECADFC（全等三角形对应边相等）又由（2）知，AEBFEBABFB（全等三角形对应边相等）ADBCFB即AB是已知线段，所以长度是确定的命题得证。【模拟试题】（答题时间40分钟）1填空题（1）若，且，则MQ_。MNPQNCMPC87，（2）如图所示，四边形ABCD绕A点旋转45后与四边形ABCD重合，则ABC与ABC的关系是_。CBCADD（3）如图所示，A、B、C、D在同一直线上，且ACBD，12，要使AECDFB，则还需补充一个条件是_。ABCD12EF（4）已知如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_（不包括ABCD和ADBC）。EAODBC（5）已知，的周长为10CM，AB3CM，BC4CM，则ACA_CM，_CM，_CM。BA2选择题（1）如图所示，等形图ABCD是ABC经过一次轴反射得到ABD，下列结论不一定成立的是（）ABABCDACDCDB/CABD（2）下列关于两个全等三角形说法中，正确的是（）A面积相等B周长相等C对应边上的中线相等D以上都正确（3）下列各组条件下不能判定的是（）ABCEFAACDFBE，BD，CACDFBEAD，DCF，（4）下列说法正确的是（）A全等三角形是指形状相同的两个三角形B全等三角形是指面积相等的两个三角形C全等三角形的周长和面积分别相等D所有的等边三角形都全等3如图所示，D是ABC的边上BC的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线，求证AC2AE。ABEDC4如图所示，D是ABC的边BC的中点，DMDN，交AB于M，交AC于N，求证BMCNMN。ANMBDC5已知，AC平分DAB，若，求的CEA于AEBD12B度数。DCAEB【试题答案】1（1）7CM；（2）全等；（3）CEBF（4）OAOE或OBOD或ABED或CDED或BCBE或ADBE（5）3，4，32（1）D（2）D（3）B（4）C3证明延长AE到点F，使EFAE，连结DF，在ABE与FDE中AEBFDABC1又，DFAB在ADF与ADC中，有ADFCADFCE又2ABE1DCF4证明延长MD到E，使DEMD，连结NE、CE，在BDM和CDE中BDCMCDESAENNDNDS，在和中，90ME而在中，CEBNAMNBDCE5证明如图所示，延长EB到F，使EFAEAFAE2BD在ACE和FCE中ECAFSABCEDCSF90，ABCBFD180180即DCAEBF【知识要点】1图形的分割与拼接，得到各式各样的几何图形，生产和生活中常用图形分割与拼接组成各种各样的器械和用具，数学中也常常用图形割补来方便于图形的计算。2平面图形可以围成空间图形，空间图形也可以展开成平面图形。3观察物体，从正面、上面、侧面（左侧面或右侧面）三个不同方向看一个物体，描绘出三个方向看到的形状，得出三个图。我们把这三个图分别叫正视图、俯视图、侧视图（左视图或右视图），这三个图合在一起称物体的三视图。4三视图不是物体的真实形状，但由物体的三视图可以想像出物体的真实形状。【典型例题】例1自制七巧板，将七巧板拼成一条金鱼，再拼成一只帆船或一个矩形。解自制七巧板，如下图（1）那样，把正方形厚纸板分成七部分，再割开。1234567图将七巧板拼成一条金鱼如图（2）。图2将七巧板拼成一只帆船如图（3）。图3将七巧板拼成一个矩形如图（4）。或图4注意用七巧板拼摆实物图形，关键要熟悉七巧板的各部分组成及关系和有丰富的想像力。例2如图所示正方形边长为1分别计算阴影部分的面积。想一想，可得到怎样的结论。2342134分析计算如图阴影部分的面积可用“三角形面积底高”这个公式计12算，也可以用割补法，如第一个（左起）图可把三角形（2）补到三角形（1）上，三角形（）补到三角形（）上，得到一个小正方形面积为。34124左起第二个图三角形（2）补到三角形（1）上。左起第三个图三角形（1）补到三角形（2）上，三角形（2）与（3）补到三角形（）上，都得一小正方形面积为。414仔细观察，三个图中三个三角形阴影都可以大正方形边的为底，以大正12方形的一边长为三角形的高。等底等高的三角形面积相等。解三个图中的阴影部分面积（）124等底等高的三角形面积相等。例3设计一种用不同的正多边形地面砖平铺地面的图案。分析用不同的正多边形地面砖平铺地面必须使整数个（正整数）不同的正多边形的内角和为360，即这些正多边形的一个顶点发出的若干个内角和为360，这样平铺才不留缝隙，设计的方案有多种答案，如正方形与正三角形，正方形与正六边形、正三角形，正六边形与正三角形，正八边形与正方形等。解如图一种方案，用正方形与正三角形拼铺地面如下注意不同的多边形的边长相等。例4观察图（A）中的几何体，指出图中的（1）、（2）、（3）分别是从哪个方向看几何体所得到的视图。观察图（B）中的三视图，说出该物体的名称。正面左面上面（3）（2）（1）图（A）图（B）俯视图左视图正视图分析此例中（1）问涉及由几何体得三视图的知识。（2）问涉及由三视图得几何体知识点。解图（A）中（1）为从上往下看得到俯视图。（2）为从正面看得到的正视图。（3）为从左往右看得到的左视图。由（B）图可看出这三个视图为圆柱体的视图，这个物体为圆柱体。例5一个物体的三视图如图所示，请描述该物体的形状。从前面看从上面看从左面看分析由三个视图的主要轮廓，可以推测这个物体是以长方体为基础进行分割得到的，由主视图看出从长方体底部向上的处，从左边向右边的处将长方体分成二1223部分，由俯视图可推测在长方体的左上部截去了一个正方体的四个角，留下的是一个四棱柱，再结合左视图，这个四棱柱的三条棱分别经过原来长方体三条棱的中点。解物体的形状如下图所示例6如下图一个几何体（由五个小正方体搭成的），画出它的三视图。分析这个图形由五个正方体构成，正方体的三视图都是正方形，所以三视图是由一些正方形构成。解物体的三视图如下所示从上面看从左面看从前面看【模拟试题】（答题时间30分钟）一填空题。1观察物体，从正面、上面、侧面（左侧面或右侧面）三个不同方向看一个物体描绘出三个方向看到的形状，得到三个图，我们把这三个图分别叫做_、_、_，它们合起来称为_。2用不同的多边形平铺地面，不留空隙，要求从一个顶点发出的多边形的内角和为_，且这些多边形的边长要_。3在长方体、圆柱、棱锥、圆锥这些几何体的三视图中，绝对不可能有长方形的是_。4圆台的三视图是一个_和两个_。二解答题。1用七巧板中的任四个部件拼出一个大直角三角形来。2用正六边形和正方形、正三角形平铺地面，设计一种图案。3画出下列物体的三视图。123【试题答案】一填空题。1正视图俯视图侧视图三视图2360相等3圆锥4有两个圆的同心圆梯形二解答题。1如三种情况都可（答案多样）23解（1）的三视图为从上面看从左面看从正面看（2）的三视图为从上面看从左面看从正面看（3）的三视图为从上面看从左面看从正面看【教学知识要点】1直角三角形的性质（1）在直角三角形中，有一个角为90。（2）在直角三角形中，两锐角互余。（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。2直角三角形的判定（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。3直角三角形全等的判定方法（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或简写成“斜边直角边”）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4定理到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。5勾股定理直角三角形两直角边A，B的平方和，等于斜边C的平方，即A2B2C2。6勾股定理的逆定理如果三角形的三边长A，B，C有下面关系A2B2C2，那么这个三角形是直角三角形。【典型例题】基础知识题例1如图甲，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别为R、S，若AQPQ，PRPS，则这三个结论中正确的是（）（1）ASAR（2）QPAR（3）BRPCSPA（1）和（2）B（2）和（3）C（1）和（3）D（1）（2）和（3）BRPAQSC甲RPAS乙12PAQ丙23BRPSC丁分析几何中添加辅助线的实质是把不完整的基本图形补充完整，即构造基本图形，此题的切入点是从图中识别如图乙、丙、丁基本图形，并且联想有关定理，通过分解图，然后重组，问题便得到解决。由乙图中角平分线性质定理的逆定理有12，且由HL知RTPARRTPAS，有ARAS，故（1）成立。由丙图中，等腰三角形性质23，又由乙中知12，13，推出QPAR，故（2）成立。由丁图中，寻找判定直角三角形的条件有PRPS，虽然P在BAC的角平分线上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3）不成立。解由上述分析可得，此题应选A。说明观察、分解、重组、构造是研究几何的基本方法，此题还体现了转化、化归思想。例2如图甲，已知BC90，M是BC的中点，DM平分ADC，试说明AM平分DAB。DC1AB甲234ME分析要说明AM平分DAB，即说明34，借助于三角形全等的性质，需构造全等三角形，考虑到B90，需构造一个直角三角形，因此，过点M作MEAD于E，也可延长DM交AB的延长线于N。解法1如甲图，过点M作MEAD于EDEMAEM90在MCD和MED中（已知）（公共边）290DECOMCDMED（AAS）MEMC（全等三角形的对应边相等）M是BC的中点CMBMMEBM在RTMEA和RTMBA中EBA（已证）（公共边）RTMEARTMBA（HL）34（全等三角形的对应角相等）AM平分DAB解法2如乙图，延长DM交AB的延长线于点NDC1ABN乙234M56在RTDMC与RTNMB中（已知）（对顶角相等）（中点的定义）CBMO9056RTDMCRTNMB（ASA）DMNM1N（全等三角形的对应角相等，对应边相等）又DM平分ADC122NADN是等腰三角形又DMNMAM是DAN的角平分线例3已知如图，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求AB的长。ADBC分析欲求的长，由，不难想到勾股定理，ADACABD22但要想求出AB，必须先设法求出AD、BD或找到AD、BD与AB的关系，注意到ACAB，则ADACCDAB1，只需再找出BD与AB的关系，这就必须从条件CD2BD2AC得来。解ABAC，CD1ADCB2B1BDACABAB222141502或又ABCD52说明（1）利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的重要作用，在有垂直条件时，经常考虑到利用勾股定理去解。（2）勾股定理反映的是三个量之间的关系，如果已知一个量，要设法求出另外一个量，或求出另外两个量之间的关系，才能求出第三个量，实质就是方程思想。（3）在已知中没有垂直，或有垂直但与问题相距“较远时”，常需适当作辅助线，构造直角三角形，创造条件来利用勾股定理。能力提高题例4如图，ABC中，ACB90，ACBC，直线MN过C点，ANMN于N，BMMN于N，那么MN与ANBM有什么关系为什么请说明理由。AB12MCN3分析利用度量的方法可以猜出结论MNANBM，如何说明呢可将MN拆成MC和CN，分别说明MCAN，CNBM即可，即要说明BMCCNA，已知MN90，ACBC，两个条件只要再找出一个即可。解结论MNANBM理由（平角的定义）12809OO（直角三角形两锐角互余）239O13（同角的余角相等）ANNM，BMMNMN90在BMC和CNA中13ACBBMCCNA（AAS）BMCN，MCAN（全等三角形对应边相等）MNMCCNMNANBM说明（1）当题目中的直角条件较多时，常用“同角或等角的余角相等”来说明角相等。（2）在说明两条线段之和等于第三条线段时，常将较长的线段拆成两条线段的和，再分别说明拆成的两条线段与要说明的两条线段对应相等。例5已知A、B、C为ABC的三边长，且A2B22C250710A24B52C，试判定ABC的形状。分析由条件A2B22C250710A24B52C联想到配方，运用非负数性质，求得A、B、C的值。解CABC5071452AB22210407ABC222105416190C302，A2，BC51A2223C90故ABC是直角三角形说明本题将代数与几何融为一体，不妨细细体味其中的技巧。创新应用题例6如图，在一张长48DM，宽10DM的长方形纸片长边竖直放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，恰好由O点反射后经过B点，求光线在纸片上通过的距离。CAD分析在物理中的光学知识中，平面镜成像，凸透镜成像中的线路图不仅包含对称，而且有时也包含直角三角形，对有些题目也能用勾股定理解答。解作点A关于CD的对称点A，连接AB，交CD于O点，则O点就是光的反射点。，DCBDM10又，OADBCO9AODBOC（AAS）CD12482在中，RTBCO224105760OB26DMAA两点关于直线CD对称OABDM265说明本题是以光的反射为背景的一道综合题，涉及丰富的几何知识，由此可见，数学是物理的基础。【模拟试题】（答题时间50分钟）一填空题。1在ABC中，若A35，B55，则此三角形为_三角形。2在ABC中，ABC123，若AB10CM，BC的长是_。3如图，在ABC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，则AB_，BD_。CADB4在RTABC中，C90，若AB34，C10，则A_，B_。5在ABC中，三边长分别为，则_。123，SAB6在ABC中，则ABC是_ABC6080三角形。7在一个三角形中，若一边上的中点到另两边距离相等，则该三角形是_三角形。8如图，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，则C的度数是_。CABE二选择题。1在判定三角形全等的三个条件中，至少要有（）A一个角对应相等B两个角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等2下列命题中，真命题的个数是（）（1）有一个角为45的两个直角三角形全等（2）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等（3）有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等（4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等A1个B2个C3个D4个3等边三角形一边上的高与边长的比为（）ABCD123114下列数组中，不是勾股数组的是（）ANN221，B3450K，CMMN220，DNN11，5如图，将两个全等的有一个角等于30的直角三角形拼在一起，其中两条长直角边在同一直线上，则图中有（）个等腰三角形。A4个B3个C2个D5个三有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗MABN四已知如图，PA、PC分别为ABC外角MAC与NCA的平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F。求证BP为MBN的平分线。MDAPBCFN五如图，在RTABC中，ABAC，BAC90，O为BC的中点。（1）请你写出O到ABC三顶点A、B、C的距离关系并证明。（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明。CONAMB【试题答案】一1直角25CM36，1546，856直角27等腰890二1C2C3A4D5B三解过M作MCAN于CMABCN设MCX，则AM2X，BCX根据勾股定理得2102X解得503（米）AMX四证明过P作PEAC于EMDAPBCFNEPA、PC分别是MAC与NCA的平分线，且PDBM，PFBNPDPE，PFPEPDPF又PDBM，PFBN点P在MBN的平分线上BP为MBN的平分线五连结OACONAMB（1）OAOBOCO是RTABC斜边上的中点OAOBOC（2）OMN是等腰直角三角形ABAC，BAC90OANB45又ANBM，OAOBOANOBMNOABOM，ONOM同理AOMCONNOAMO12809OMN为等腰直角三角形三教学知识要点1尺规作图的定义及步骤（1）只用直尺和圆规作图的方法叫尺规作图。说明最基本的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的。（2）一般步骤有已知将条件明晰、具体化求作具体叙述作图应满足的条件分析寻找作图的途径作法根据分析所得的作图方法，并依次画图，叙述作图过程证明验证所作图形的正确性讨论说明通常情况下，省略，只在草稿纸上进行，因此实际作图步骤为已知求作作法。2五个基本作图（1）作一条线段等于已知线段（2）作一角等于已知角（3）平分已知角（4）经过一点作已知直线的垂线（5）作线段的垂直平分线3常用的作图语言（1）连结（2）在上截取（3）延长到，使（4）以点为圆心，为半径作图（或弧）（5）以点为圆心，为半径作弧，交于点（6）作平分（7）过点作，垂足为点（8）作线段的垂直平分线4运用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形（2）已知两边及其夹角作三角形（3）已知两角及其夹边作三角形【典型例题】例1如图，已知、，线段A。求作ABC，使A，B，BCA分析此类作图题常用奠基法，即不妨先画个假设图，对“已知作成”的草图进行分析，以确定作图的思路与顺序。本题关键是确定三角形的三个顶点，容易先确定A点，其次确定C点，A点确定时难以下手，因为AB的长度不知道，可利用三角形的内角和是180的已知知识，设法求出C，将所给的“角角边”条件，转化为“角边角”作图。作法（）作180O（2）作线段BCA（3）分别以B、C为顶点，以BC为一边作CBM，BCN，射线BM、CN交于点A，则ABC就是所求作的三角形。BMN说明一般作图题常用“奠基法”，希望同学们认真体会。例2已知斜边和一直角边，求作直角三角形。已知线段C和B（CB）求作RTABC，使它的斜边ABC，一条直角边ACB。分析求作三角形时要给定三个条件，但求作特殊的三角形，等腰或直角三角形时，常常只需给出两个条件，此时应挖掘隐含条件“等腰或直角”。作法（1）在L上任取一点C，过点C作CDL（2）在L上截取CAB（3）以点A为圆心，C为半径作弧，交CD于点B（4）连结ABABC为所求的直角三角形ACDCBL例3如图，在一条河流的北侧，有A、B两处牧场，每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草，请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路线最短河流ACL分析将河流看作直线L，设羊群在河边的饮水点为C，则羊群的行走路程为ACCB，设A关于直线L的对称点A，由对称性知CACA，因此，羊群行走的路程为ACCB，线段AC与CB是连接点A与点B之间的折线，由线段基本性质知，连接点A与B之间的线中，线段AB最短，设线段AB与直线L交于C，那么C点就是所选的最好的饮水地点。解作A关于直线L的对称点A，连结BA，并设线段BA与L交于C，设C是L上不同于C的任一点，只要说明ACCBACCB即可。利用线段基本性质及点关于直线的对称性知及所以BCACA而与是连接、的折线CAB而AB则是连接这两点之间的线段所以ACB从而成立即选择C点作为羊群的饮水点，羊群行走路线最短。说明此例题主要考查了点关于直线的对称性和三角形两边之和大于第三边等基础知识。例4已知线段A、S，S2A。求作等腰三角形，使它的底边等于A，周长等于S。分析本题是已知周长和底边，求作等腰三角形的问题。考虑到周长这一线段上也包括底边长，所以先画线段BMS，在S上截取BCA，剩下的一部分线段CM就是“两腰和”，而因两腰相等，可作CM的垂直平分线找到中点N，此时问题就转化为“分别以BC、CN、NM为三边作三角形”这一简单问题。ABCMNA作法（1）作线段BMS，在BM上截取BCA；（2）作线段CM的中点N；（3）分