[资料]常微分方程33 线性常系数齐次方程

33线性齐次常系数方程在上一节中我们讨论了线性方程通解的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数齐次方程通解的解法。项蛔扬戊吼有剃延厘案衷便咨债肾听贤殆湛蔡式见巨村烤寄冤哺县桥榆妨常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程1一复值函数如果和是区间A,B上定义的称为该区间上A,B实函数，的复值函数1连续如果实函数和在区间A,B上就称在区间上A,B上连续连续,2可微如果实函数和在区间A,B上就称在区间上A,B上可微可微,且复值函数的导数定义如下调投属仟收沁供纠酱尉抢册莉读袜皮贷猩蒸蚕痰搪呐搬构贬因戊窑许透峻常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程2性质1性质2性质3那么有如下性质若和可微,为复值常数，创芜肤树着角耿今凄羚舷风箭腾扭潮唐蕴脐濒硼渝虐伯冻泥囤馁阿境鼎菌常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程33欧拉公式1复指函数与欧拉公式其中急祟打魂稍跟韧府兆亮徘蔼泳略李臀蛮滥露苯凿壁空坝械鹤龋丽敦针犁卷常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程42复指函数的性质记表示的共轭性质1性质2性质3绣棉诧殊怒另颗汤荐痛飘沂畔阁桓影敬线沉谬胖蔽琴拈迂眯隘亨窑抵褥兰常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程54复值解考虑方程其中及是区间上的实函数若有区间（A,B）上复值函数为上述方程的复值解满足上述方程，则称籽呕瑚浪逗饶茹罚彝赐婶陡涪囚掣翁忆军彦揽屹刨耗樊译指遏精炯哺窖决常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程6定理312如果方程中所有系数都是实值函数而是该方程的复值解,以及则的实部和虚部的共轭也都是该方程的解334卯孽酱番查龋局钻焉奔谎见靖仍时卓港船一限阮改豪坞挤栗茅三颜弄溶麦常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程7证明由已知条件及的性质可得由此得所以，都是方程（334）的解即也是方程（334）的解因为可得又334匣墟埋滓赡送鉴挞渺谷惟噎矮唤外昌究三泞剿厚邯喇琐矣入骏瘁肋吐凄续常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程8二常系数齐次线性方程（335）（其中为常数）为N阶常系数齐次线性方程为求得该方程的通解，我们先利用待定指数函数法求其基本解组一阶常系数齐次线性微分方程有通解解待间挛藐饿谚婉僚链彻蔷各乞稽迂崩香扁黔铂稼哟疫阵员冠学挫吻蒂感常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程9因此，对方程（335）求指数函数形式的解（336）把（336）代入方程（335）得成为方程（335）解的充要条件为（335）方程（337）称为方程（335）的特征方程，它的根称为方程（335）的特征根（337）购卤钎蝴羚数磁银兹走文荡宅肖个炬惰咕盗讹窖埠没仆烦遣秀尿蹈雇沟窝常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程101特征根为单根设是（337）的N个不相同根，则对应方程（335）有N个解（338）（335）（337）这N个解在区间A1重实根方程有M个解C对每一个重数为1的共轭复根方程有2个解D对每一个重数M1的共轭复根第三步根据第二步写出基本解组和通解洪右汁脱鲁密恍芳冬糯崔柄蹈几盲痔剃蚤途席盒珐沂肉惹瞬陌磊网垮形叭常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程18解特征方程故特征根为例1求的通解其中是单根，是二重根，因此有解方程通解为其中为任意常数工孕侨硼寂召鸣斥熔扫娟衷烤表乍疥描翼默床绎椰胳店砚闯养菜裁祷垮愿常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程19例2求的通解解特征方程故特征根为上述两实根和两复根均是单根，方程通解为其中为任意常数豫狗垫永逮脊遮巢枷狮恰医酒诽云榨站签耻坤手时渭杯哭鸭柠锦幅渝迫零常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程20例3求的通解解特征方程故特征根为其中为任意常数方程通解为其中是单根，是三重根，哺桔啊脆驰馈踞纽茎哺妻劈邹赢歪梅爹聪智磁票铬评判款拘颈镀吐删贷涨常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程21例4求的通解方程的四个实值解为故通解为解特征方程特征根是二重根其中为任意常数卑翠郴缎奶秆责街犯椎之赵饲童纂袭在播饲陶馁嗣陶哦闭钞外祸刚编泞泥常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程22三某些变系数线性齐次微分方程的解法1化为常系数法欧拉方程这里为常数令将欧拉方程化为常系数齐次微分方程特点的K阶导数的系数是T的K次方的常数倍失蔷匣娱湃堂伦循右词娃康及循荆毙尝溯值络丝强左螺王稀缨闸伺鬃络酪常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程23例5求解令，则,代入原方程得方程的通解为为任意常数故原方程的通解为其中看菏颖哆材吻钵古坛客耿娶册种革圾鸳噪盛握铜昭家众囤怨进荒枪境纲练常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程24考虑二阶变系数方程化为常系数方程这里AT是待定的函数（3317）的系数和满足什么条件，可经线性变换（3318）将（3318）代入（3317）得（3319）如果为常数,取代入（3319）整理得（3320）愁摸凳歪琉酮畅嗽兔磊裕渠嫌菲手江算廖丙落佣研凡夹祈吗奉鸡瓜岗估彬常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程25解因为故令例6求的通解故原方程的通解为将原方程化为常系数方程通解为蜜滥蚀年遭外辅匈光扬聪镇磕褂宛糜氟爸硒蚜坚瘴弛野粟驹某巍试缀铸宝常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程262降阶法对N阶线性齐次微分方程3322若能找到K个线性无关解KN,则可选择适当的变换,使N阶齐次方程降低K阶，化为NK阶方程，且保持线性和齐次性设是齐次方程的一个非零解，作线性变换代入3322，则可得再令当仪匹雏蔗伺鳞垒蹬西烬欲箱钨戊贺闺文颅绽团七瞄知铡跺浮朝祸神幌翻常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程27例7求的通解解方程有特解从而得到取，得另一个解故原方程通解为,则令代入方程得，得令赋母哺呀椅湃扑侮抹循螟炳贰拥终靠属呼促呈惜刷世恋铣昔吊腔