2006-2013期末考试卷分类_第一至六章(1)

第一章函数与极限一、无穷小的应用111当时,是无穷小,则实数_0；AXXFLN1A209设时,与是同阶无穷小,则_3_；0TAEXN307设，则当时（B）572F0XA与是等价无穷小量B与是同阶但非等价无穷小量FXFC是比高阶的无穷小量D是比低阶的无穷小量X4（10）当时,是无穷小,则实数_0；AXXFLN1A二、求极限、特殊极限、连续性113设数列满足，且。证明存在，并求出此极限NX10X1SIN1,2XLIMNX211求极限2LIM22NN306极限（D）451LI3XXABCD不存在22408设，求SINANLIMNA解222LIMLLI1NNN5（10）求极限1LI222N解31122222NLIM2NLI2NN211LI222N6（10）求极限ELIXX解，221ELIMXXXX1LNLIMP2XX1LNLIM2TTT1LNLIM20201LNIMTT21LI0TT3212ELIEX708求极限0COSLI1XX解原式22LNCOS2000LNCOS1LIMCOSLIM1IL10XXXXXXE三、间断点的判断及类型109已知，指出函数的间断点及其类型1|2XF为间断点2分1230,XX2200LIM1,LIM1,XXFF221010LI,LI,XXFF3分21010LI,LI,XXXFF从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点12131分208设，则的间断点为，它是第二类间断点2LIM1NXFXF0X306设有无穷间断点，有可去间断点，求的值3BFXA121X,AB解由，得01LI0XF,0B因存在，故1LIMXF113LILIM120XXXBFB从而2B第二章导数与微分一、导数定义和几何意义113设，则812F2201LIMXFF212设是否可导如果可导,求出SIN,0,0GXFFXGX其中在处连续问在处0G311设在可导，则F0023LIHFH5F410已知有一阶连续导数，且，求极限FX1FF0SIN1LMXF解原式00SIN0SINLMLLNLN0XXFFXFFFF507求曲线在拐点处的切线方程XYE解，1XXE12XXXYEE令，由于时，时，为拐点0,2Y020,故要求的切线为22,4YEXYEX二、简单函数或复合函数求导或求微分113已知，求32SINXYDYX211设，则31ILDX1SINCO23310设，则XY26Y76409若，则13208FXF208509设，则（D）2,DXGHDFHXABCD2GXG2G607设，则XEYY1LNE708设可微，且，则FU2SI3FXDY6SIN3SICO3FXFXD三、隐函数方程113方程确定了隐函数，则1YXEYXDY1YEX211由方程确定了隐函数，求的二阶导数TANYXXY310由方程确定了隐函数，求微分02YDY5分LNLNLN20YXXDEEDYXDY即1分L20,1LYYYX409设函数由方程确定，求X,0YXDY解对方程两边求导书LN,LNLYX两边求导书，得L1L1L,XY四、参数方程113设由参数方程确定，求YX2LN1ARCTXYDYX212设函数由参数方程所确定,求SI1OT2310求由参数方程所确定函数的二阶导数23LNTYX2DYX3分123TDXY43分T562509设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的的取值范围YX329XTYYX解222339,39TTDYTYXDX曲线下凸要求，即0210,1,3TTT因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为3,1,54XTX0,54608设参数方程，求220LN1TXUYD2YX解，221TDYXT222124DYDTTTXX707设确定了是的函数，求22LNSI1SINXTTYYX2DYX解222COSICOSCOSIN1N,SINIII1TTTYDXTDYTDTXT22SISINS1IYDTTTDDXXXT五、分段函数的连续性、可导性112设函数，讨论在点处的连续性21ARCTN,00,XXFFX0211设函数，讨论在点处的连续性与可导性1,E0,XFFX310设函数在点处可导，求的值1,ELN12XAFXB,AB10FF从而3分212100LIMNLIE,LN0,BXXXAA1010LILIXXFFF1010LILIBXXXFFEF由可导知2分,FFF409设具有二阶连续导数，且，若X0,0XFA（1）确定，使在内连续；AF,（2）求FX解（1）连续则必有00LIMLI0XXAFF2当时0X2F而2000LIMLILIMXXXFFF01LI2X所以2,010,XXF508确定常数的值，使函数在处连续且可导,AB,0ARCSINXEBF0X解，00LIMLIRXXFF00LIMLI1XXFFEB，1EB由在处连续知FX,1,1FFFB000LIMLILIMXXXFEBEF000ARCSINLILILIXXXFFAF由在处可导知F,1FF607设，讨论及在处的连续性21,0XEFFXF0X解因为，故在处的连续200LIMLIXXEFFF222000011LILIMLILIMXXXXXXFFEEF当时，21XEF220004,LILILI0XXXXXEFF故在处连续FX0707本题10分设在连续、可导且单调增，FX,ABFX0,XAB000,FXF证明在内也单调增X,AB解因，故在处连续0LIMXFX002XFF记在与之间000,GXFFFXFFXX0当0,XG从而在内。AX又在处连续，故在单调增，0X0,A当0,XFFG从而在内。BX又在处连续，故在单调增，X00,XB综上述，在内也单调增,A六、高阶导数113设，求2SINCOFXX2013Y第三章微分中值定理与导数的应用一、洛必达法则113求极限201LIMSINXX212求极限20TALIX311求极限21ELIXX409已知，试确定常数和的值0LNARCT2LIM0CXXNC用罗比达法则2分3分,3CN507计算极限SINCOS30LXXE解原式SINCOSINSI0332001COSINCOSINCOS1LMLMLM33XXXXXXE二、极值111设，则在点处取极小值XFEFNX1N1EN211指出数列中最大的数，并说明理由N解设，XF12/LN1XXF故。20E当单调递增，当单调递减2,XFFX,0,XFFEX又，因此中最大的数就是中最大的数，32E32N32所以中最大的数是2N307在曲线上求一点，使它到点的距离为最小21YXM5,0P解设2220,51MUXX2346DX求得唯一解，又12210DX故在唯一驻点处取得极小值也是最小值U1X相应地，故所求点为21Y1,2三、拐点、渐近线112曲线的渐近线方程为_1LN,0YXEX211曲线的拐点为（1，0）L310若曲线的拐点为（1,3），则常数，；23BXAYA23B9410曲线的渐近线方程为；1E1,0XY四、罗尔定理，拉格朗日中值定理111写出拉格朗日中值定理，并给出证明210设函数在上连续，且，试证XF1,00D10XF1D1XF（1）存在，使得；,4F（2）若在上可导，则存在，使得XF1,4F（1），由积分第一中值定理的，存在XFD210XFD210，使得，故存在，使得3,412100FFF1,04F分（2）由积分中值定理，存在，使得由拉格朗日中值定理，,C0D10CFXF则存在，使得，由（1）知1,0F4F2分309当时，证明2XY222COSTANCOSCOSYXYXYXX证在区间上函数满足LAGERANGE定理的条件，从而存在使得,TANF,222TANSEC,OSCOSYXYXYXY从而22COTANC另证当时，由积分种植定理与单调性有0XY从而得证222211TAN,COSCOSCOSXYXYDTXYXY五、泰勒中值定理113写出带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式XFEN212带有皮亚诺型余项的N阶麦克劳林公式为SIN311设函数在上三阶可导，且和在有界试证和在XF,XFF,XFF有界,410在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为XFLN10N1132132NXOXX509设在上二阶导数连续，且，证明在上至少存在一点使得F,A0A0F,A3AFFXD证令，则由已知，在上三阶导数连续，在处作二阶泰勒展开，有0XFFTFX,A0X2323006FFXXX从而（由介值定理）123333AFFFXDFAAAF另证由已知在处作一阶泰勒展开，有0X20FFXFFX由最值定理有，由对称区间积分性质MFXM233AAFXDFXD由估值公式332222AAAMXDFXDX从而，由介值定理使232AMFXM,A232AFFXD因此3AFFXD第四章不定积分一、直接积分、凑微分法1、13计算1COSDX2、10求2IN解SETASECTANSECXXX原式3、设为连续函数，则（答案）F21DF12FXC4、求（答案）1DXELNXXEC5、求（答案）TAN1COS1COSLX二、第二类换元法1、（12）计算321DX2、计算不定积分2X解令SIN,ARCSINCOSXTTXDT则，则原式2I12IN2SINCOO421STTTTDTC2ARCINXC三、分部积分法1、（12）计算SILTAXD2、11设，求2N,11FXFXD解122L,LN,1ARCT12DCXFXXX因为在连续，所以F1243、（答案）LN1XDLNLLNXXC4、计算不定积分（答案）12LNXD21LN2XXC5、已知的一个原函数为，求（答案）FX2XEFDXE6、09计算3SEC解原式23TANSECTATNSECTANSECSXDXXXXDX111SECALS22D四、换元法与分部积分法结合1、（13）计算2ARCTN1XD2、求（答案）XE41ARCTN1XXEEC3、求（答案）LN1DX2LN2LX4、（答案）ARCT211ARCTXC第五章定积分及其应用一、基本性质1、1322014XD2、12212SINX3、093分24D24、093分已知的一个原函数为，则FXLNXFX15、08曲线的弧长等于21LN14YE24E二、应用定积分定义计算极限1、13求极限222LIM1NNN2、12求极限2221LI44NNN3、10求极限1LIN解原式111200LIMLNL2NNNDX4、0944LI222N解原式22211LI1NNNDX10246三、定积分的换元法分部积分法1、13设在连续，且。证明FX,0FXFX0FXD2、13计算LN201XED3、12在下列两个积分,中确定哪个积分值大,并说明理由220COS,COSXXDED4、（12）1LNEXD5、11（答案）321X236、1061ARCTN1DX解令，则，当时，当时XU2U1X0U16X3U原式3322200ARCTND1ARCTND30663U7、09计算32140XD解令，则。当时取，当时取，2SINTCOST0XT1X2T原式22324001131I2TDTTD8、设，求（答案）,1,0XFE201FXLN1E四、广义积分1、13判别广义积分的敛散性1LNEEXD2、12设0,SIAXA求3、11设，求（答案）S0SXNNIED1NS4、1021EX解原式1121DLIMLIARCTNELIMARCTNE4BXBXBBE5、09计算21X解原式2222111LIMARCTNBBXXDDX221LIMARCTNARCTN4BB五、变上限积分函数的导数及应用1、13设，且，则FX310XFTDX7F122、1220_XDT3、12已知2SIN200CO,YXTDYETX求4、10求极限（答案）2ARLIM1X245、10已知函数连续，求FTXFTXGD02XG解UXGD02XXFF006、09设，求1LN,XTFD1FFX解对，作换元，则。当时，当时，1LXTFTU2DTUT1TXU从而2111LNLNLNXXXTUFD因此221111LLLLLNXXXXTTTFXFDT另解令2LNL,0XXGFXFGG从而21LNFXFX7、08证明方程在内有且仅有一个实根201XTD,1证明设201XTFD则连续且可导220011ARCTN100XXTFDTXX，且连续可导3221ARCTNARCTN,FFX，232422310,11XFXX从而在上单调增，故当时，故而在上单调增，因此在F0,0,XFFF0,FX上若有零点则必为惟一的一个零点,1又1,1ARCTN1081004FF由闭区间上连续函数的零点定理，在上确有零点FX,因此在上确有惟一零点，也即方程在内有且仅有一个实根FX,1201XTD,1六、极坐标直角坐标求面积1、13求双扭线在圆内部的图形的面积2COSRA22AXY2、11求心形线所围成的图形的面积（答案）123A3、10求和围成图形的公共部分的面积SIN2R2COSR解602I1DS461D2314、07设由在第一象限围成的图形为，其面积为又曲线将分为左COS,0YXD0SSIN0YAXD右两部分，其面积分别为，求的值使12,D12,SA12S解10COS33SXD设交点的横坐标为，则0001SIN,TAX022100COSINICO1XASAXDA从而即为所求2225,1,331A七、求体积1、13求由和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积1,LN3XYE0YX2、（12）求由所围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积2和3、11求摆线的一拱与X轴所围成的平面图形绕旋转所得旋SI,1COSXATYAT02T2YA转体的体积解2220AVXD32308COS1CS7ATTAA4、10求由曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积2,EXYXY解21DFV5、09设直线与曲线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的面积为（1）01YAX2YX1S1X2S试确定常数的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕X轴