《信号与系统》-第一章-绪论

第一章绪论11信号与系统（信号与系统第二版（郑君里）11）图11典型通信系统消息（MESSAGE）信源的输出语义学上的理解。信号（SIGNAL）INFORMATIONVECTOR（SIGNUM），它携带或蕴含或本身即为信息。信息（INFORMATION）消息，内容，情报（见牛津英文词典）。语用层次上的信息效用信息语义层次上的信息含义语法层次上的信息形式（狭义信息SHANNON信息论）系统（SYSTEM）由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。本课程内容与定位信号的表示（分析）把信号分解成它的各个组成分量或成份的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。信号通过线性时不变系统的分析系统分析在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。系统综合按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。支撑系统分析、信号处理两类课程四个系统分析层次（1）信号与系统信号的表示，信号通过系统的响应，系统设计；（2）线性系统理论系统的状态空间描述与运动分析，可控性、可观性、稳定性、鲁棒性、反馈系统时域设计；（3）高等系统分析不确定性原理与反演问题；（4）复杂系统分析现代系统论、非线性理论、人工生命方法。四个系统分析层次（1）数字信号处理（DSP）（2）现代信号处理（3）时间序列分析12信号分类与典型确定性信号（信号与系统第二版（郑君里）12，14）确定性信号由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。随机信号具有不可预知的不确定性的信号。非确定性信号模糊信号（例高矮，胖瘦，冷热，亮暗，）。周期信号FTFTNT，NZ非周期信号FTFTNT，NZ伪随机信号具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。按时间和取值的连续性，可组合成四种信号模拟、阶梯、抽样、数字。连续时间信号在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。模拟信号时间和取值都连续的信号。阶梯信号时间连续、取值离散的信号。离散时间信号只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。抽样信号幅值具有无限精度的离散时间信号。数字信号幅值具有有限精度的离散时间信号。图12抽样信号举例典型确定性信号指数信号TFTKE（11）其中，K、为实数。正弦信号SINFTAT（12）其中，A为幅度，为角频率，为初相位。单边衰减正弦信号00SINTTFTKE，（13）其中，0。复指数信号STFTE（14）其中J,ST可见COSJSINSTTTFTKEKE采样函数ISATFTT（15）图13采样信号采样函数的性质（三点、三式）采样函数为偶函数，在的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当SATT时，信号值为零。,2,TN0SAD2T（16）02122SADT（17）AT（18）高斯函数2TFTEE（19）图14高斯函数高斯函数的性质高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，即是一0NIIFTT个高阶无穷小量，当T。定义比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。高斯函数是速降函数，是正实函数。高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。奇异函数光滑函数定义域上任意阶导数都存在的函数的集合，记为。C奇异函数非光滑函数统称为奇异函数。单位斜变函数,0TR（110）单位阶跃函数1,0TUT（111）或1,02,TUTT（112）图15斜升函数图16单位阶跃函数符号函数1,0SGNTT（113）或,SGN10,TTT（114）门函数0,GTUTT（115）图17符号函数图18门函数13冲激函数与广义函数（信号与系统第二版（郑君里）14，29）冲激函数的三种常规定义1）冲激函数的直观定义，狄拉克（DIRAC）定义D10,T（116）图19冲激函数这不是高等数学所讲的常规意义下的积分，不是黎曼（RIEMANN）积分，也不是勒贝格（LEBESGUE）积分。而是一种自洽定义的特殊积分。2）冲激函数的广义极限定义冲激函数是面积（强度）为1，等效宽度趋于0的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种A矩形函数逼近01LIM2TUTT（117）图110矩形逼近B金字塔函数逼近01LIM|TTUTT（118）图111金字塔逼近C负指数函数逼近|01LIM,02TTE（119）TO图112负指数逼近D采样函数逼近SINSINLIMSALILMKKKTTTT（120）图113采样函数逼近E复指数函数积分逼近（与采样函数逼近相同）JJJJ11LIMDD22SINLILKTTKKTTKKTEET即（121）F高斯函数逼近201LITTE（122）G采样函数平方逼近22SINSINLIMLKKTTT（123）H函数逼近220LILI1NTTT（124）3）冲激函数的检验函数（TESTFUNCTION）定义检验函数的描述性定义区间A,B上的光滑函数称为检验T函数，。检验函数的全体记为。ABD用检验函数定义冲激函数对于，若有TD0FTFT，（125）FT则称为冲激函数。（126）冲激函数的性质取样性质若有界，且在T0连续，则有FTFT（127）尺度变换性质1TT（128）偶函数性质T（129）积分阶跃性质DTUT（130）定义（积分算子）1DPT（131）为积分算子，则有UTT（132）阶跃微分性质DTT（133）定义（微分算子）PDT（134）为微分算子，则有TUT（135）筛性性质（原点）D0TTT，（136）其中有界，且在T0处连续。T筛选性质（任意点）000DTTTTT，（137）复合冲激函数若是T的单调函数（在T0的邻域内单调），F00FTFT，则100FTFTT（138）证明，考虑TDDFXFX，令0DYFXYFYF，则，令0AB取包含，的区间则原式1DFBYXYF，FAB1XF其中0XF00XF，00/，即证毕1FTFTT复合冲激函数的直观理解的冲激位置在0，即在T0点；其余点为0。FTFT的冲激强度不是1，而是与的陡峭程度成反比。F上述第条可以通过广义极限逼近的冲激函数来理解若在T0邻域内缓变F（斜率小），则的取值靠近0，的值就大；若在T0邻域内快变（斜FTFT率大），则的取值就远离0，的值就小；是反比关系。若光滑函数满足，且，则FT12,|0TF1,2IFTI，IIIT（139）冲激函数的广义函数（简称广函）定义预备知识设A是（S,）的一个子集，有以下一系列定义。开球集合A中的点X的开球记为BX,，0，是开球半径。即相当于点X的邻域。内点（INTERIORPOINT），则X是A的内点，A,记为INTA或AO。外点（EXTERIORPOINT），则X是A,CCXSB，的外点，记为AE。边界点（BOUNDARYPOINT）X的任一开球BX,与的交集非C及空，即X即非A的内点也非A的外点，则X是A的边界点，记为AR。开集（OPENSET）若AINTA，即，则称,XBXA，存在A是（S,）中的开集。闭集（CLOSEDSET）若是（S,）中的开集,则称A是（S,）中的闭集。聚点（CLUSTERPOINT）点的任一邻域都包含的点，即XX，则称X为A的聚点。,BXAX闭包（CLOSURE）A与其全部聚点的并集称为A的闭包，记为。A稠密子集（DENSESUBSET）若，则称A是（S,）的稠密子集。孤立点（ISOLATEDPOINT）若不是A的聚点，则X是A的孤X立点，此时有。,BXA完全集（COMPLETESET）若A是无孤立点的闭集，则称A是（S,）的完全集。定理设A是（S,）的一个子集，则有（1）A是有限集，或每两点距离均大于一固定正数的无限集，则A无聚点。（2），即A的闭包是A的点与其边界点的并。R（3）是闭集。（4）A是闭集。定义（承托支撑，SUPPORT，SUPP）集合的闭包|0NRFXSA内点边界点外点称为的支集，记为FXSUPP|0NFRFX（140）亦称为承托，即把函数“支撑”起来的那些点集。定义（检验函数的严格定义）设RN为开域，是上的实（复）函数，具有以下性质1是上的光滑函数（即各阶导数处处存在）2SUPP是上的有界闭集（亦称紧支集，即闭包是有界的）则是上的检验函数。检验函数的全体记为D。通俗说法开域上的函数是光滑的，且函数的支集有界闭（紧支集）。形式化语言的描述往往难以长久记忆，因此要记住形象化的描述。例110XF即图113检验函数例子，是有界闭集，但在处的左、,SUP1F即0XF右导数不相等，非光滑，所以，例1的不是检验函数。F例2EXP,01XF是中的有界闭集，对SU1,F,RFX无穷可导，。XFXD定义（广函）给定函数列，若对于D，均有1MFXLIFXX，（141）即LIDMFXDFX（142）则称是的弱极限，或称为广义极限。反过来，FX1MF称弱收敛于，而称为D上的广义函数。1FXF亦即广义函数是函数序列的某种极限。定义（冲激函数）对于D，若有LIMD0FXFXFXT，（143）则LIMFXFX（144）为冲激函数。注意冲激函数的广义函数定义与检验函数定义的差异。广函导数的积分检验（与检验函数的内积运算）D在区间之外恒为0。是D上的广函，则有X,ABFX1NNNFX，（145）即D1DBBNNNAAFXFX（146）特别地，当时，有F110NNNNXX，（147）有了以上广函导数的概念，就可以从容地定义和讨论冲激偶了。冲激偶称为冲激偶。冲激偶是广函的一阶导数。DTT图114冲激函数图115冲激偶定义，当X0；00X，当X0。0X由冲激函数的广义极限（函数列逼近）定义，不难得出上述结论。更进一步的研究表明，冲激函数、冲激偶的多数性质，都可由广义极限的逼近过程来推得和理解。冲激偶的作用已知连续可微，则有FX011NKNKKXFCFX（148）证明对D，,NXFXD，由（147）式得01|NNXF00NNKKKXCF01NKKKF，由（147）式得01,NKKKCFX证毕。0NKNKKXFF特别地，当N1时，有0FXFXFX（149）简易证明00XFXFXFFFF即移项证毕。由（149）式，易得，D00D0XFFXFXF与广函导数积分检验关系的结果一致，参见（147）式。冲激偶的性质奇函数TT（150）积分相消D0T（151）形式化定义DTT（152）冲激函数作用的微分D0DTTT（153）尺度性质1TT（154）证明1,0FTFTT则，因此假设11TTTTTT即14信号分解（信号与系统第二版（郑君里）15）直流分量与交流分量直流分量信号的平均值称为信号的直流分量。直流分量DFT1DBAFT（155）交流分量从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。交流分量直流AFTFT（156）交直流分解FTDFTAFT（157）奇分量与偶分量偶分量12EFTFTT（158）奇分量12OFTFTT（159）奇偶分解FTETOFT（160）实部分量与虚部分量实部12RFTFTT（161虚部JIFTFTT（162虚实分解FTRTJIFTJTFE2（163）脉冲分解图116信号的脉冲分解示意图MAX0LIIIIIITIUTTTFTFAX0LIIITFTT（此式即的筛选特性）DFTT（164）T即信号的脉冲分解的极限形式，是信号与冲激函数的卷积，见CH2。正交分解信号可以用完备正交函数集来表示；组成信号的各分量相互正交。正交分解与脉冲分解的极限形式可以通过FOURIER变换统一，见CH4。15系统分类（信号与系统第二版（郑君里）16）简单复杂系统简单系统利用传统的简化论与还原论方法（整体等于部分和）可以处理的系统。比如，线性系统是简单系统。复杂系统由数量适当（不多也不少）且具有局部非线性作用的个体元素（AGENT）组成，并能够产生整体涌现行为的适应性系统。涌现（EMERGENCE）个体之间相互作用使整体产生新特征的现象。连续时间离散时间混合系统连续时间系统若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部信号也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。离散时间系统若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统。混合系统离散时间系统和连续时间系统混合运用的系统。即时动态系统即时系统（无记忆系统）如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的状态（历史）无关，则称此系统为即时系统，亦称为无记忆系统。动态系统（有记忆系统）如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，则称此系统为动态系统，亦称为有记忆系统。常见的有记忆元件有电容、电感、磁芯、寄存器等。集总参数分布参数系统集总参数系统由集总参数元件（在元件的空间区域内各点信号可看作常数）组成的系统，是集总参数系统。描述集总参数系统的数学模型是以时间（而非空间）为自变量的微分方程/差分方程。分布参数系统含有分布参数元件（在元件的空间区域内各点信号不能看作常数）的系统，是分布参数系统。时变/时不变系统时变系统如果系统的部分或全部参数随时间变化，则称为时变系统。时不变系统如果系统的所有参数都不随时间变化，则称为时不变系统。例子系统输入XT，输出响应RTX2T，相当于把输入信号XT以T0为轴压缩了一半作为系统输出。当输入延迟，XDTXT，输出为RDTX2T。系统为时变系统。线性/非线性系统线性系统具有叠加性与均匀性（也称齐次性）的系统称为线性系统。非线性系统不满足叠加性或均匀性的系统是非线性系统。本质非线性输出增量与输入增量的关系亦不呈线性。确定/非确定系统确定系统系统响应随激励信号和系统状态按确定关系变化的系统。非确定系统系统响应与激励信号和系统状态之间无确定关系的系统。如随机系统、模糊系统、混沌系统。可逆/不可逆系统系统可逆输出与输入一对一映射关系。16线性系统（信号与系统第二版（郑君里）17）系统的输入输出描述图117系统的输入输出框图定义（零状态系统）初始储能为零的系统称为零状态系统，也称为初始松弛的系统。定义（单位冲激响应）输入为单位冲激函数时系统的零状态响应。HTTTT（165）因果律定义（因果系统）只与的输入有关，而与YTT，XT的输入无关，则称该系统为因果系统。T，初始松弛，因果律T,TXTHU（166）定义（因果信号）亦称右边信号FTUT（167）定义（逆因果信号）亦称左边信号FTUT（168）定义（截取）的截取为XTTUT（16