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线性代数疑难习题讲解（20056）1题目证明向量线性无关的充要条件是线性无关。321,31321,知识点线性无关，向量的初等变换。解题步骤方法一。必要性设0313221KKK即213线性无关21,有方程组0321K其系数矩阵的行列式10321K只有零解即0321K线性无关31321,充分性设0321K即02231313212132KKK线性无关31321,02023131KK其系数矩阵的行列式020120121212方程只有零解即0321K线性无关21,方法二CC323121121321,13321C,132121RANKRANK故线性无关的充要条件是线性无关3,31方法总结方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难。方法二是利用初等变换求新变量的秩一只证明了必要性，充分性不容易证明相关例题例49（P67）2题目设为N阶实矩阵，证明若，则。A0TA知识点矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤证明设，则NNNAAA212112NNNTAAA212121022123231221212NNNNNTAAAA其中为省略表示的代数和0221221221NNNNAAAA为实数IJ2122112NNNN即0IJANMIJA常见错误及原因混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由0DET,DETDET,0AATTT得出。A3设为N阶矩阵，若，试证的特征值是1或1E2知识点特征值与特征向量解题步骤方法一。设的特征值为，对应的特征向量为，则有AXX两边左乘矩阵得或A2把和代入上式得EA2XE2因为为非零向量，所以12方法二。EA2或002EADETTEA或00EA的特征值为或1方法三。设的特征值为，并设有多项式A12XF则方阵的特征值为EF2由NI1DET得0T2AF即12相关例题例54（P89）4题目设A,X,B分别是MN,N1,M1矩阵，B0是方程AXB的一个解；对应的齐次方程AX0的一个基础解系为，RRANKA证明,，2N12，线性无关。3RN知识点基础解系，线性无关解题步骤方法一。证明，是齐次方程AX0的一个基础解系。123RN，线性无关。123RNRANK，NR是方程AXB的一个解，B0不能由，线性表示123RNRANK，NR1123,，线性无关RN方法二。（从定义出发）设存在K,K,K,K,K，使123RNKKKK012RN在等式两边左乘A，有KAKAKAKA012RNR，是齐次方程AX0的一个基础解系，是方程AXB的一123RN个解。KAKAKA0，AB12RNRKB0B0K0KKK0成立12RN，是齐次方程AX0的一个基础解系。3R，线性无关12RNKKKK03RKKKKK012RN,，线性无关3R方法三。（反证法）假设可由，线性表示，123RN即RNIIK1，是齐次方程AX0的一个基础解系。123RN，线性无关R是
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