大学物理-呼啦圈的运动浅析

呼啦圈的运动浅析任春福物理学0210218呼啦圈是在五十年代从美国流行起来的，于八十年代传入我国，是一种老少咸宜的运动，虽然玩的人很多，但想玩好却不容易。在学习了力学以后，我想用力学的方法来研究一下呼啦圈的运动。一力学模型呼啦圈的运动涉及两个物体，呼啦圈和人。呼啦圈是一种有弹性的塑料圈，在速度不太大的情况下（此时呼啦圈的形变很小），可将其近似看作刚体。人在玩呼啦圈时，主要是腰部与呼啦圈接触，所以我们可以只考虑腰部。人的腰部形状是很复杂的，为了进行初步分析，对腰部形状进行简化，将其看成一个圆柱形的刚体。两个刚体间的摩擦系数为。这样我们就建立了呼啦圈运动的力学模型。见图（1）图（1）二运动分析通过观察可知，当呼啦圈绕我们转动的时候，它既有滚动又有滑动，我们只考虑滑动，因为呼啦圈绕圆柱体滚动的运动情况十分复杂，他们的接触点的高度在不断变化，呼啦圈的姿态也在变化，分析这种运动超出了我的能力。实际上通过观察，我们可以发现，图（2）三受力分析首先，考虑圆柱体（即人的腰部）静止的情况呼啦圈在开始时获得一个初始速度，绕圆柱体转动，并在圆柱体表面进行滑动,设其转动方向为顺时针方向，则此时它所受的力为重力圆柱体对它的弹力和摩擦力，其受力情况如图（3）所示当速度足够大时，呼啦圈的高度和姿态在一定范围内作振动。因此我们将其简化可以得出一些近似的结果。根据力学模型，可以知道它的运动方式，先考虑二维情况，见图（2）由图可知，呼啦圈在转动时是在围绕O点作半径为RRR的圆周运动。将其推广到三维情况，呼啦圈以圆柱体的中轴为转动轴作定轴转动。图（3）呼啦圈受到的弹力是由圆周运动引起的，其大小决定了摩擦力的大小。它受到的摩擦力可分解为水平方向和竖直方向两个分量，水平分量阻碍呼啦圈的滚动，竖直分量阻碍呼啦圈向下掉落。由于摩擦力的水平分量，呼啦圈的速度逐渐减小，其所受到的弹力也在减小，摩擦力跟着减小直到无法阻止其在重力作用下掉落。因此，要使呼啦圈作稳定的圆周运动，就必须有一个力来平衡摩擦力的水平分量，这个力只能由圆柱体提供，所以圆柱体应有一个加速运动。呼啦圈需要一个怎样的加速度呢首先考虑圆柱体进行圆周运动的情况,因为圆周运动是加速度不断改变方向的运动，而呼啦圈的速度方向也是不断改变的。圆柱体转动方向应与呼啦圈一致，否则无法加速它。我们选择坐标架位于圆周运动圆心并随圆柱体转动的参考系，则在该参照系内，圆柱体的中轴是静止的，而圆柱体进行自转（这是考虑到我们的腰是不能改变方位的），呼啦圈则围绕它转动。呼啦圈受力如图（4）在图4中,为呼啦圈受到的由圆IF柱体转动引起的惯性离心力,为圆柱C体转动产生的科里奥利力。由于图4不易观察,我们可将其画成俯视图和侧视图,即图5和图6,在图5中,为1IF在该平面内的分量,垂直该平面则有IF另一分量,为摩擦力在竖直方向2IF上的分量,在图6中,为圆柱体所作2R图4图5图6圆周运动的半径。四、运动方程首先,我们设呼啦圈绕圆柱体转动的角速度为,圆柱体作圆周运动的角速度为,呼12啦圈的半径为,则呼啦圈的质心到圆柱体中轴的距离为,呼啦圈的质量为RRRCOS2,在参照系中的速度M12V由呼啦圈不下落可得1MGF由呼啦圈绕圆柱体转动可知（2）1RVMFNIC由摩擦力公式可知（3）22/F由惯性力公式可得（4）2VFC（5）COS2RRMI（6）221I（7）COS2RFI由角动量定理有（8）1/ZIIFR以垂直于图（5）平面且过呼啦圈与圆柱体接触点的直线为轴有（9）YICIRFMGSNSIOS1由运动学公式有（10）DTT01（11）T0（12）00DT有以上几个方程和几何条件可以解出，但这是一个非线性微分方程组，以1TF我现在的数学能力无法求解，大概也没有解析解。所以我们可以加入一些限制条件来获得一些初步结果。我们令常数，常数，可解出1（13）RRCTGGTCTROS1OS2112在这个解中，我们可以舍去负解,因我们规定了的方向,同时根号下的可以2T1趋近于负无穷，这样不是在任何时候都有解，这说明和不能恒为常数，这是为什21么因为他们恒为常数的条件是惯性力矩与摩擦力矩抵消，但从图（6）中可以看出，当呼啦圈从与圆柱体运动中心在圆柱体的异侧的位置运动到同侧的位置过程中（即从到），惯性力矩是与摩擦力矩同向的，此时呼啦圈的角动量必定减小。如果想改变这种情2况,就必须改变的方向。2五、结论在以上的讨论中，我们初步的分析了呼啦圈的运动，我们发现当我们的腰作圆周运动时，呼啦圈绕我们转动的过程中有一半过程是在减速的，因此我们在玩呼啦圈时在这一半过程中可以改变转动方向，如果我们的腰做不出这种改变，不妨停下不动，这样既可以节省体力也可以让呼啦圈转得更快些。另外，由式（13）可以看出当不变时，R越大R则所需的越大，这说明胖人（R较大）在以同样的转同样的呼啦圈时，需要转的更2快。这样看来用呼啦圈减肥对