电路分析第7章 二阶电路

第七章第七章二阶电路二阶电路71LC电路中的正弦振荡72RLC串联电路的零输入响应73RLC串联电路的全响应75一般二阶电路74GCL并联电路的分析本章内容概述本章内容概述含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线性、常系数二阶微分方程来描述,故称为二阶电路。本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输入响应和在直流电源激励下的全响应。为了简单起见，本章只讨论RLC串联和并联电路的响应，响应是否出现振荡取决于特征根的值。本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程。学习重点为电路微分方程的建立；特征根的意义，微分方程解答的物理含义等。CUCU0I0L71LC电路的正弦振荡电路的正弦振荡ULUCLDIDTUC0U0IL00ULUCU00UCU0IL0DIDT0电流开始上升I,电容开始放电UC1初始时刻初始时刻CUCILUL1LC电路的物理分析电路的物理分析设电容的初始储能为电流最大IIM2当当UC0，UL0时，时，DIDT0电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量,因为电感电流不能跃变。电感开始输出能量I，电容开始反向充电|UC|3当当I0时时,UCU0磁场能量全部转成电场能量因为UC不能跃变，电容放电|UC|，|I|DUCDT0UC0IIMUL0CLUCU0I0ULCL4当当UC0时，时，II电场能量全部转成磁场能量|UC|，|I|5当当UCU0时时,I0磁场能量全部转为电场能量，电路回到初始时刻的状态。CUC0LIIUCU0I0CL设L1H，C1FUC01VIL00初始状态列出描述电路的两个联立一阶微分方程。2LC电路的数学分析电路的数学分析设L1H，C1FUC01VIL00ICDUCDTDUCDTIT0ISINTLC电路的零输入响应是按正弦规电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡，称为自由振荡。律变化的等幅振荡，称为自由振荡。初始状态列出描述电路的两个联立一阶微分方程解微分方程，得ISINTUCCOSTUCCOST0TUCUCLDIDIDTDTCUCILUL2LC电路的数学分析电路的数学分析IT0ISINTUCCOST0TUCCUCILULCILR解微分方程，得ISINTUCCOST电容元件中的电场能量一电容元件中的电场能量一部分转化为磁场能量，存储在部分转化为磁场能量，存储在电感元件中；另一部分被电阻电感元件中；另一部分被电阻元件消耗掉。元件消耗掉。2LC电路的数学分析电路的数学分析3RLC电路的能量分析电路的能量分析72RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应求零输入响应US0KVLULURUCUSDIDTLRIUCUSRCD2UCDT2LCDUCDTUCUSRCD2UCDT2LCDUCDTUC0UC0两个初始条件DUCDTT0ITCT0I0CLIRUSCUC1列出列出RLC电路的微分方程电路的微分方程ICDUCDTULLDIDTVCR有整理R、L、C取值不同，根号里的值有四种不同情况。设解为UCTKEST代入微分方程LCS2KESTRCSKESTKEST0LCS2RCS1KEST0特征方程的根（固有频率）2LR2LR2LC1S1,2RCRC24LC2LCRCD2UCDT2LCDUCDTUC0特征方程LCS2RCS102解解RLC电路的二阶微分方程电路的二阶微分方程LIRUSCUC根号里数值的四种不同情况的比较根号里数值的四种不同情况的比较过阻尼过阻尼S1、S2为两个不相等的负实数临界阻尼临界阻尼S1、S2为两个相等的负实数欠阻尼欠阻尼S1、S2为一对共轭复数无阻尼无阻尼R0S1、S2为一对共轭虚数称为阻尼电阻2LR2LR2LC1S1,2RCRC24LC2LC2LR2LC1令03RLC串联电路零输入响应分析串联电路零输入响应分析阻尼状况阻尼状况S1、S2通解的形式通解的形式过阻尼过阻尼不相等的负实数S11、S22临界阻尼临界阻尼相等的负实数S1S2欠阻尼欠阻尼一对共轭复数无阻尼无阻尼一对共轭虚数通解中的系数K1、K2，由电路的初始条件确定。S12LR12LR2LC1S22LR22LR2LC112UCTK1ES1TK2ES2TK1E1TK2E2T通解的形式解出K1、K2，得UCTK1E1TK2E2TS1,S2为两个不相等的负实数1过阻尼情况过阻尼情况由初始条件UC0、IL0确定系数。1K1E1T2K2E2TDUCDT电路响应电路响应UCT为非振荡性的衰减。为非振荡性的衰减。3RLC串联电路零输入响应分析串联电路零输入响应分析解解1若以若以UCT为求解变量为求解变量例例1已知图示电路中T0时US0R3L12HC14FUC02VIL01A求UCT及ILTT0RCD2UCDT2LCDUCDTUC0D2UCDT2DUCDTUC018346D2UCDT2DUCDT8UC0S26S80S1,2636322262S12S24过阻尼情况阻尼电阻RD22828LCRRDLIRUSCUCUCTK1E2TK2E4TUC0K1K22解得K16，K24UCT6E2T4E4TVT0ILTICTCDUCDT3E2T4E4TT004T31ILUC06T42UC02VIL01AK1K222K14K24联立DUCDT|T02K14K24CIL0S12S24S1,22LR2LR2LC139831S12S24UCTK1E2TK2E4T6E2T4E4TVT0ILTCDUCDT3E2T4E4TAT0解解（2）不列微分方程）不列微分方程过阻尼情况阻尼电阻RD22828LCRRDLIRUSCUC已知图示电路中T0时US0R3L12HC14FUC02VIL01A求UCT及ILTT0例例1D2IDT2DIDTI018346D2IDT2DIDT8I0S26S80S12S24ILTK1E2TK2E4T3若以若以ILT为求解变量为求解变量URULUC0等式两边微分RCD2IDT2LCDIDTI0已知图示电路中T0时US0R3L12HC14FUC02VIL01A求UCT及ILTT0解解LIRUS0CUC例例1ILTK1E2TK2E4T2V1AUL03T0时电路IL0K1K21DIDT|T02K14K2LUL0UL03125V解解2K14K210得K13,K24ILT3E2T4E4TAT02432E2TE4T126E2T4E4TVT0LIRUSCUC已知图示电路中T0时US0R3L12HC14FUC02VIL01A求UCT及ILTT0例例1UCTUC01CIDT0T2432E2TE4T|0T无振荡衰减无振荡衰减S1S22LR解的形式UCTK1ETK2TETK1K2TETK1UC0DUCDT|T0K2ETK1K2TET|T0K2K1CIL0K2CIL0UC0S1,S2为两个相等的负实数2临界阻尼情况临界阻尼情况即即R2LC2LR2LC1解解例例2已知RLC串联联电路中T0时C1FL1HR2US0IL01AUC00求UCTT0S1,22LR2LR2LC1111221UCTK1K2TETK10K21DUCDT|T0K2K1CIL01UCTTETVT00TUCLIRUSCUC临界阻尼情况S12LRJWDJ2LR2LC1S22LRJWDJ2LR2LC1解的形式UCTETK1COSWDTK2SINWDTK1UC0CIL0K1WDK2DUCDT|T0ETK1COSWDTK2SINWDTETWDK1SINWDTWDK2COSWDT|T0UC0K2WDCIL0WDS1,S2为共轭复数3欠阻尼情况欠阻尼情况即即R2LC2LR2LC1UCTETK1COSWDTK2SINWDTK1K12K22ETK12K22COSWDTK2K12K22SINWDTK2K12K22SINQK1K12K22COSQQARCTANK1K2利用公式COSBCOSCOSBSINSINBUCTK12K22ETCOSQCOSWDTSINQSINWDTK12K22ETCOSWDTQKETCOSWDTK12K22K2K1QKK12K22QARCTANK1K2式中UCTKETCOSWDT也可直接写成用初始条件确定K和结论结论UCT是衰减振荡，是衰减振荡，R比较小，称为欠阻尼。比较小，称为欠阻尼。衰减因子WD衰减振荡角频率0UCTKETKETKK12K22K1UC0K1K2ARCTANUC0K2WDCIL0WD解解由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为UCTETK1COSWDTK2SINWDT22LR解得L1H，CF71固有频率例例3已知R4，RLC串联电路的零输入响应为求L和C。4R0无阻尼无阻尼特征根S1,S2为共轭虚数S1JJW0LC1S2JJW0LC1解的形式UCTK1COSW0TK2SINW0TK1UC0UCTKCOSW0TKK12K22ARCTANK1K2无衰减等幅振荡无衰减等幅振荡CW0IL0K2CL0DUCDT|T0W0K2IUCTK1COSW0TK2SINW0TK1K12K22K12K22COSW0TK2K12K22SINW0TK1K12K22COSQK2K12K22SINQQARCTANK1K2利用公式利用公式COSBCOSCOSBSINSINBUCTK12K22COSQCOSW0TSINQSINW0TK12K22COSW0TQKCOSW0TK12K22K2K1QKK12K22ARCTANK1K2式中设L1HC1FUC01VIL00ICDUCDTDUCDTLC电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。初始状态描述电路的两个联立一阶微分方程解微分方程，得ISINTUCCOSTIT0ISINTUCCOST0TUCUCLDIDIDTDTCUCILUL73RLC串联电路的全响应串联电路的全响应RCD2UCDT2LCDUCDTUCUSUC0DUCDT|T0UCTUCHUCPRCD2UCHDT2LCDUCHDTUCH0S11S22设电路为过阻尼UCHTK1E1TK2E2TUCTK1E1TK2E2TUS设UCPTQ与激励形式一样若为直流激励，则QUSK1，K2由初始条件确定根据特征根的四种不同情况，写出齐次方程解的形式LIRUSCUC例例求图示电路中UCTT0已知UC00IL00RCD2UCDT2LCDUCDTUCUSD2UCDT2DUCDTUC2设UCPTQ代入原方程S2S10S1,2114212J23UCHTEK1COS12T23TK2SINT23K2SINT223UCTEK1COS12T23TUC0K120解解为欠阻尼情况1HI1US2V1FUCT0CIL0DUCDT|T012K123K223K12K23UCTE2COS12T23TT223233SIN23ECOS12T23T302VT0例例求图示电路中UCTT0已知UC00IL001HI1US2V1FUCT0解解UC0K120UCTEK1COS12T23TK2SINT223确定系数74GCL并联电路的分析并联电路的分析ICIGILISCDUCDTGUCILISGLD2ILDT2LCDILDTILIS如果是零输入响应IS0GLD2ILDT2LCDILDTIL0IL0DILDT|T0LCS2GLS10S1,2GLGL24LC2LC2CG2CG2LC1根据固有频率四种情况写出解的形式阻尼电导阻尼电导GD2LCISICIGILCGLUC特征方程GLD2ILDT2LCDILDTILISGCL并联电路并联电路2CGS1,22CG2LC1RLC串联电路串联电路S1,22LR2LR2LC1RCD2UCDT2LCDUCDTUCUS阻尼电导GD2LC阻尼电阻RD2CL利用对偶规则可得利用对偶规则可得GCL并联二并联二阶电路的解。阶电路的解。互为对互为对偶关系偶关系例例图示电路中，欲使电路产生临界阻尼响应，则C应为何值解解GD2LC阻尼电导欲使电路产生临界阻尼响应，应满足GGD由于G1S21LC故得C05FIS12HCRL解解例例RLC并联电路的零输入响应为UCT100E600TCOS400T，若电容初始贮能是130J，求R，L，C以及电感的初始电流。UC0100V130WC0130CUC2012C230UC202301002667F由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为零输入响应的一般形式为UCTETK1COSWDTK2SINWDTJWD2CGS1,22CG2LC1K1100,K20,600,WD400RAD/SIRILRLICCUCJWD2CGS1,22CG2LC12CG600G60026671068004104SRG11249WD400LC12LC140026002L0288HIL0IR0IC0UC0RCDUCDT|T01001249667106DTD100E600TCOS400T|T0080404AIRILRLICCUCC667FK1100K20600WD400RAD/S互为对互为对偶关系偶关系二阶电路分析方法总结二阶电路分析方法总结A0DXDTD2XDT2A1A2AX0DXDT|T0XTXHTXPTXHTKEST代入齐次方程A0S2A1SA20特征方程S1,2A1A124A0A12A0固有频率RLC串联串联GCL并联并联列出非齐次二阶微分方程给定初始条件解的形式S1,S2为两个不相等的负实