高等数学-华南理工大学高等数学统考试卷下07期中卷答案

20072008高等数学下册期中考试试卷姓名班级成绩单号一、填空题（）451、4分与直线及都平行，且过原点的平面方程121ZYX2XYT为0XYZ2、4分设可微，则各为,SIN,ARCTN,FUVXYVYFUV,ZXY211COS,FYFXFY3、4分设，则2XYUE2U21XYE4、4分设函数在点的所有方向导数中，最大的方向导XYZ,0数是沿方向1,405、4分曲面在点处的切平面方程为，1XYZ3,2520XYZ法线方程为315二、（8分）设，求ARCTNXYZ1,3DZ解，221YDXYZ1,324XYZ三、（8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定,FST,0FST,0YZFX了是的函数，试求Z,XYZXY解，解出1220DDZFFXX121FZDXFYD从而ZYZX四、8分求函数在点的梯度及沿梯度方向上函223UXYZ01,2M数的方向导数解，则沿梯度方向上函数的方向导0,GRADXYZGRADU数为0213MU五、8分设直线在平面上，而平面与曲面0XYBLAZ相切于点，求之值。2ZXY1,25,A解由曲面得切平面法向量1,25,41XY从而有切平面方程为240Z由直线得03XYBLAZ3,1311YXBXBZYAZA化成两个等号的形式，从它的方向向量和过的点入手从而；2410,5SNA240350,2BB六、8分计算二重积分，其中MX,1DYD,DXY解用将区域划分为两个1XY122MAX,11DDDYDXYDXYDXY2123444LNX七、8分计算222010XXDYDYD解由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易原式24202COSDXYDRDR八、8分计算，其中为平面曲线绕Z轴旋转一2IXYV20YX周的曲面与平面所围的区域。8Z解由交线知在XOY面上的投影域为2XYZ216DXY用柱坐标计算224801043RIDZ九、8分设由曲面与所围成的立体中每点的密度与2ZXY2ZXY该点到XOY平面距离成正比，试求该立体的质量M解由交线知在XOY面上的投影域为22ZXY21DXY用柱坐标计算221034RIZDVZD十、计算，其中22357XYXY220RXY解令，由对称性221ZR原式1122223573576XYZDXYXYZDX225005SINRDRRR十一、8分在曲线上求一点，使曲面上过点的1XYZ00,MXYZ切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大解令00000111,/,122FXYZNXYZXYZXYZ从而切平面为，四面体的体积为00ZY006V问题等价为在条件下的最大值,FXZ10XYZ令,LY则由推出，0,0,0222XYZZLXZLXYZXYZ由约束条件知1Z19Z由问题的实际意义与驻点的惟一性知，就是我们要求的点。,十二、附加题5分计算积分，式中曲线是在2CXYDSC2YAX上的一段弧。02XA解曲线可以表示为C1COS,IN,0XATYAT222220021COS0SINCOSCOS4CTXYDSATATTDADA十三、附加题5分计算积分，其中是球面被锥面1DSZ22XYZR所截的部分22RXYZ解由交线知曲面在XOY面上的投影域为22ZXY22RDXY22222222,XYDZRZZSRRXYXY22222011LNDDXDSDRDRZXYY十四、附加题10分计算积分，其中是抛物面3XYZS被平面所截下的有限部分2ZXY2Z解由交线知曲面在XOY面