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1、求下列幂级数的收敛区间1）NX解因为，此幂级数收敛半径为，收敛区间为11LIMLI0NNN。,2）21NNX解因为，此幂级数收敛半径为，收敛区间为11LIMLI2NN22,2、求下列幂级数的收敛域1）2343XX解，此级数的收敛半径为，收敛区间为11LIMLI3NN33,当时，原级数为收敛，当时，原级数为发散，所以此幂级3X1N3X1N数的收敛域为。,2）35211NXX解，此级数的收敛半径为，收敛区间为，当时，原级LIM21N11,1X数为发散，当时，原级数为发散，所以此幂级数收敛域为1NX12N。1,3）2311NNXX解，此级数的收敛半径为，收敛区间为，当时，原级1LIMN2,02X数为发散，当时，原级数为收敛，所以此幂级数收敛域为1N0X1N。20，4）23111NPPPPXXX解，此级数的收敛半径为，收敛区间为，当时，原2LIM1PN1,1X级数，此时当时发散，时条件收敛，时绝对收敛；当1NPN0PP时，原级数为，此时发散，收敛。所以此幂级数的收敛域X1PN1为当时为；当时为；当时为。P,0,1P,3、利用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数在收敛域内的和函数1）1NX解设，两边积分得，再两边1NS100XXNNSTXDTD求导得22XSXX2）11,NN解设，两边求导得112NNSXX1112NNNXSX再两边积分得000LLN2XXTSDTTTX，LN2XSXN210XS3），并求的和。351XX12NN解设，两边求导得35S，再两边积分得242211NXXX001LNLN2XXSSTDTSX当时，有2X3511122NNNN11LNL2NN4、求幂级数的收敛半径，并讨论在的敛散性。10,NXABR解，幂级数11LIMLINNABABAB的收敛半径，当时，原级数为10,NXABMAX,RBXR，当时，原级数为，它们都不满足收敛的必要条件，所以1NR1NN发散。5、设幂级数在处条件收敛，求它的收敛区间。03NNAX0解设，时，由阿贝尔定理，当时，幂级数绝对收TT3T0NAT敛，当时，幂级数发散，如果存在有且幂级数收敛，由阿3T0NAT0T0NT贝尔定理，时，幂级数绝对收敛，这与已知矛盾。所以幂级数T0NT的收敛半径为，收敛区间为。03NNAX3,66、若的收敛半径为，而的收敛半径为，且。求证0N1R0NBX2R12的收敛半径为。0NNABX1证明由已知可得当时，级数的收敛，现只需证明当级数1R0NNABX1XR的发散。用反证法证明，如果存在，且的0NNABX0201R00NNAB收敛，由已知可得收敛，由收敛级数的性质收0N0
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