高等数学-微积分12下8

第八节多元函数的极值一、多元函数的极值及最大值最小值定义设函数在点的一个邻域内有定义，YXFZ,0,YX对于该邻域内异于的点都有0（或）,YXFF0,YXFF成立，则称函数在点处有极小值（或极大值）0。我们统称为极值，称为极值点。,0YXF0,YX定理1（必要条件）设函数在点具有偏导FZ0,YX数且在点有极值，则必有。0,YX,0FXY证明注1两个偏导数都为零也不一定是极值点。例，XYZ，在点处，但点XZYX,0,0,0,YXZZ不是函数的极值点。注2偏导数都为零的点称为驻点。二、充分条件定理2设函数在点的一个邻域内连续且YXFZ,0,YX有一阶及二阶连续偏导数，又；令0,0YXFFX,00BYAYXFY1）是具有极值，当时有极小值；当时2BACA有极大值。2）时无极值。023）不能确定。02BAC例1求函数的极值。YXYXF153,32解61532FYXFYXF,6解方程组得驻点052YX1,25,当时；，此时不取极值；,0092BAC当时，1YX36所以在点出取得极小值，在点出取得极大值,21,2。30三、最大值和最小值如果二元函数在闭区域内连续，则一定有最大YXFZ,D值和最小值。无妨设0,YXD1找出内的所有驻点；2求出边界上函数的最大值和最小值，即函数YXFZ,在点集上的最大值和最小值。YXFZ,0（条件极值）例2求函数在闭区域内24YXZ4,2YXD的最大值和最小值。解，得驻点。YZX2,0,把代入得422YX22XZ易得最小值为0，最大值为8。例3设长方体的长、宽、高之和为定值，试问三边各A取什么值时所得长方体的体积最大。解设长、宽、高分别为，则，且ZYX,XYZVAZY0AYXAVXYVYX2,2解得驻点，所以体积最大值为。02AY3,273A四、条件极值考虑函数满足条件的极值。YXFZ,0,YX我们找必要条件假设点是满足条件的极值点，0设二元函数和在此点的某一邻域内有连续YXFZ,的偏导数，且，由隐函数存在定理，在点0Y的某一邻域内确定了一个关于的函数，0,YX,YXYX无妨设为，代入函数得一元函数GXFZ,，是它的极值点，所以XFZ,00,000XYXXDXFFDZ即,00FYFYXYX设，则有00,FY0,0,000YXYXFX点是函数的驻点。00,YXYXFYXF,注对于三元函数、一个以上条件也有类似结论。这样就把条件极值转化为无条件极值，这就是所谓的拉格朗日插值法。例4求原点到双曲线的最短距离。25782YX解考虑函数278,YXYXF解方程组得02578142YXFY05322（无解）78,02222YXYX5最短距离为。例5球面，（）上22RZYX0,0,RZYX求一点，使函数取得极大值，求出此FLNL,极值并用此结论证明对任意的正数有CBA,2732BC解设2LNL,RZYXZYXZYXF解方程组得0210212RZYXFYZYXRZYX36所以在点处取得极ZYXZYXFLNL,RR36,大值，即，（）278LN16R220,0,ZYX时有78LL626RXYZXYZ对任意的的数，若取，则有0,0CBA22CBAR7322CBA例6求椭圆的长半轴和短半轴。122ZYXR解注意此椭圆的中心坐标为，设椭圆上任意点坐标为1,0ZYX,所谓长半轴和短半轴无非就是的最大值和最小值。22ZYXD考虑函数1