高等数学-微积分12下11

第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分DDYXF,1如果区域可由不等式表示，DBXA,21则称区域为型区域；（如图3）X用平面切立体，得曲边梯形，其面积为0021,0XDYFA已知切面面积的立体的体积为BABAXXYFDXV21,这就是所谓的二次积分，常记为BABAXXDXYFYF2121,2）如果区域可由不等式表示，DC,21则称区域为型区域；Y用平面切立体，得曲边梯形，其面积为002100,YDXFA已知切面面积的立体的体积为DCDCYYXFYV21,这就是所谓的二次积分，常记为DCDCYXDYXFYFY2121,3）如果既不是型区域有不是型区域，则要把它分解成D若干个型区域和型区域。（如图4）XY例1计算，其中为由直线DDXY2D所围成的图形。XY,2解1）作图（特别注意曲线的交点）2）定限看作Y型区域比较好。X,Y20YDDXDX220203220238419YXYY63842190例2计算二重积分，其中积分区域是由曲线DDXY2SIND与直线围成的闭区域。XYY,解1）作图（特别注意曲线的交点）2）定限看作Y型区域比较好。（不论是从积分区域的角度，还是从被积函数的角度这都是最佳选择）221YX,Y112DXYCOSDSINDXSINYD232132214884YICOSY例3计算1022XYDEXY2XXY241解1）确定二重积分的区域110YX,DDYXYDXEDE221022）作图看着Y型区域定限YX,010DYXYDEDE2210210310302122DYEXYY（令，用定积分的换元法）1010266DUEEY2EUU1610例4计算二重积分，是由所确DDXY210,YX定的范围。解1）作图此题关键是去掉被积函数的绝对值在内，在内1D02XY2D02XY212DDD2）定限；1YX,221XY,X原式22010XDYDY10410241021022DXXXYXX1XY12D301253X例5求由曲面0,0,22ZYXRYXAZYX在第一象限所围成的立体的体积（圆柱面内的一部分）。RA2解这是一个曲顶柱体可用二重积分计算，关键是确定被积函数和积分区域。因为，所以积分区域为四分之一圆RA20Y,X,YXD被积函数是曲顶AZDDAV定限我们把看着X型区域200XRY,2XRDADVRXDXRXAY02200223203232246114XRA注这里用到了为的D02022Y,X,RYXD面积。利用对称性计算二重积分例6若D是由所围成的平面有界闭区域，而1,3XY是连续函数，则UFDDXYFYSIN22YZ二、利用极坐标计算二重积分DDYXF,SINCOR是由满足以下不等式的点组成,21RIIIRNIIIIINIIIRRFF11SN,CO,DDYXF,NIIIIINIIIIRRFF1010SN,COLM,LM如图DRDRFSI,CO例7计算，其中为（）YXE2D22,AYX0解用极坐标计算时关键也是定限，还要注意被积函数变换时要乘。R1）作图2定限AR,020ARDYXDEDE0222210AARYXAA例8计算，其中为DDXY2D22,AYXY（）。0A解1）作图2）定限C