高等数学- 作业册- 第11章(01)

第十一章无穷级数作业29常数项级数的概念和性质1按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和（1）；132N解因为123N所以1323NKSK111LIMLILIM3NNNK因此由定义可知该级数收敛（2）；1NN解因为11NN所以1NKSK，因此由定义可知该级数发散LIMLIN（3）；109NN解因为1119,0NNNNUU所以19100NNNKS，因此由定义可知该级数收敛99LIMLI101NN（4）；1SIN6解因为1234561I,1,0,2NAAAA，依次重复7891011213,2所以，不存在6610,NNS661LIM,LINNSLIMNS因此由定义可知该级数发散2利用基本性质判别下列级数的敛散性（1）；12963解观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，13N1N3由级数的基本性质，该级数发散（2）；N32231解观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项1N12N13N相加得到的，由级数的基本性质，该级数收敛（3）；N1020412解观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的1N12N逐项相加得到的，10N由级数的基本性质，该级数发散（4）431解观察发现该级数一般项为，但3NU1LIMLI03NU由级数收敛的必要条件，该级数发散作业30正项级数及其收敛性1用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性（1）；21NN解由于，而是收敛的等比级数302NNU1N从而由比较判别法，该级数收敛（2）1SI3N解由于，而是收敛的等比级数2SIN302SIN,LM1NU123N从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛2用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性（1）；1N解由于，11220,LIMLI2NNNUU从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（2）；1N解由于，112220,LIMLI1NNNNUUE从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（3）；11TAN2解由于，2111TAN0TA,LIMLIT1NNNUU从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（4）12N解由于，1210,LIMLI1NNNUU从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛3用柯西判别法判定下列级数的敛散性（1）；4NN解由于，31310,LIMLI4NNNNNUU从而由柯西判别法，该级数收敛（2）132NN解由于，22110,LIMLI3NNNNNNEUU从而由柯西判别法，该级数收敛4用判别法判定下列级数的敛散性P（1）；21N解由于，而为的发散的22210,LIMLI1NNNU1NP级数，从而由判别法，该级数发散PP（2）145LN解由于，而为985519448L1LN1LN0,IMI0NXU918N的收敛的级数，从而由判别法，该级数收敛918PPP5设为正整数，证明K（1）；02LIMKK解对来说，12N由于，11120,LIMLILIM0NNNNNUU从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知02LIKK（2）KK2LIM解对来说，21N由于，211210,LIMLILIM0NNNNNUU从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知，2LI0KK从而由无穷大量与无穷小的关系KKLIM作业31交错级数与任意项级数的收敛性1判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛（1）；2NN解该级数为交错级数，其一般项的绝对值为单调减少，122221,NNNUUUN且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛2LIM0N再由于，由判别法知发散，21LINP21NN从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛（2）；RXN,COS123解由于，由判别法知，绝对收敛32CS,PRXN,COS123（3）；NN11解由于不存在，LNLN0IM11LIMI,LIXNNXNEE由收敛级数的必要条件，从而该级数发散（4）；12NN解由于，1111LIMLI2LIM2NNNNNU从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛（5）RXN,121解当时显然收敛，否则0X，112LIMLILIM2NNNNXUX当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，2X当时级数变为发散1N当时级数变为条件收敛2X1N7若存在，证明绝对收敛NA2LIM1NA证明由已知322321LILILIM0NNNA从而绝对收敛1NA8若级数绝对收敛，且，试证级数和1N,21NA1NA都收敛级数是否收敛为什么12NA1N证明若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件1NLIM0NA由，从而级数和都有意义，,2AN1NA12N而，从而级数和都收敛。21LIM,LI01NNAA1N12NA级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。1NLIM1NNA作业32幂级数及其求和1求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）；12NNX解1123LIMLINNAR当时即为条件收敛，X21NNX1N从而收敛域为,（2）；NNX13解113LIMLINNAR当时即为，由于从而级数发散，3XNNX11N3LIM1N因此收敛域为,（3）；0132AXNN解当时，02313211LIMLINNNAR当时幂级数即为，由于从而级数发散1X231NNA23LINNA当时幂级数即为，由于且231NN231LI0NN从而级数收敛。因此收敛域当时22331NNAAA,当时，2313211LIMLINNNRA当时即为即为，由于从而级数发散，XA231NNA231LIMNNA从而当时收敛域为,（4）；121NNX解1114LIMLI2NNNAR当时即为条件收敛，2X1214NNX1N从而收敛域为,（5）；12NX解12LIMLI1NNAR因此收敛域为,（6）15NNX解对于，1NT1LIMLI1NTARN当时即为条件收敛，当时即为发散，T1NT1NT1NT1从而原级数的收敛半径为1，收敛域为15,46TXX2求下列幂级数的收敛域及其和函数（1）；0NX解1LIMLI21NARN当时，即为条件收敛，当时即为发散，X0NX01N从而幂级数的收敛域为1,设，则0NXS010,NSXX从而001L,XXND故1L,XSX（2）；1N解1LIMLI1NAR当时，即为发散，X1N从而幂级数的收敛域为,故，121,1,1NNXSXXX（3）02N解12LIMLI1NANR从而幂级数的收敛域为,设，则，20NXS2101,0,NXSS，21NS由特征方程，得通解21,20R12XXCE再由得特解,S2SX（4），并求数项级数的和12NX12NN解，当时发散，1LIMLI2NAR1X2N从而幂级数的收敛域为,设，则，21NXS2210,NSXX200L,1XXD111212,LNLN32NNS作业33函数展开成幂级数1将下列函数展开成麦克劳林级数（要指出其成立的区间）（1）；2EX解211,2NXXXX2231,NXXX（2）；2COS解2211S,2NXXX1,NN（3）；20EDXT解22221,NTTTTT2421,NTTT2242001EDNXXTTTDT35211,NXXX（4）提示利用；ARCTN20ARCTDT解，212200001TD11XXNXNNNNXTTT,（5）2X解121133XXX000211,133NNNXXX2将下列函数展开成的幂级数（要指出其成立区间）（1）；1,30X解122X1001,3NNNNX（2）SI,4解2INSINCOS44XXX2120012,4NNNNX3求下列函数的幂级数展开式，并确定其成立区间（1）；0SIDXT解201IN,0,NTT221000SID,1NNXXNNNTTDX（2）0ARCTX解201T,1NT221000ARCTND,NNXXNTDX4展开为的幂级数，并证明E1X1N解1,XNX12121DE1,XNNNXXX从而121111EDEXNNNXX作业34傅里叶级数1下列周期函数的周期为，它在一个周期上的表达式列举如下，试求XF2的傅里叶级数展开式XF（1）；2E,X解2201XEAFD22221COSIN1COS4NXXNEXEN12222SICSSINXXNEEXBEDN221COSIN,244NFXXXK2221CSI,NEEENX（2）；SI,FXX解00022COS4SINXAFD1200112SINCONNNXX1SI0NBXD21COS,NNFX（3）；,01XXF解001AFDD001SINCOSCNXXNX0002COSIINNXBDD00012COSCOSSNNXXXND0112I1NNN12SIN,2NNFXXK101I,22NNFFXK（4）,02FXX解2001AFD22200011COSSINSISIN0NXXDXXD2220001ICOCONB201COSSXNXD201SINX1I,NFK1SI,NK2将下列函数展开成傅里叶级数XF（1）；SIN,3FX解012SIN03AFXDD12SINCO3N11ICOSCOS33NXBDNXNXD120382SII119N218I,9NFXX（2）；E,0XF解000111XEAFXDED0200COSINSICOSCSXXNXNXEN2100200SINCOS1CSSINSIXXNEXNXBEDNX22111NN2211COSSI,1NNNNEEEFXXX,3将下列各函数分别展开成正弦级数和余弦级数（1）2,0FXX解展开成正弦级数，则作奇延拓，0NA222000SINSINCOSCOSNXBXDXXND220SI1NN134NN1314SI,NNNFXX,展开成余弦级数，则作偶延拓，0NB22300AXD222000COSCOSSINSINNNXNXDXD20IX241，2214COS3NNFXX,（2）E,0XF解展开成正弦级数，则作奇延拓，0NA22000SINCOS122SINECOS1NXXXNEXEBED211SIN,NFXX,展开成余弦级数则，作偶延拓，0NB00212XXEAED0022COSSINXXNAENDE220I11NX，21COSNNEEFXX0,作业35一般周期函数的傅里叶级数1设是周期为6的周期函数，它在上的表达式为XF3，0,12XF试求的傅里叶展开式XF解3030203311261AFDXDX3003332COSCOSSIN2SINNNXNXD031I2IXD0223616CONN0033312SINSISNXXBD100336166COINNNND1216COSSI,23NNXXFXK121CSI2,31ZNNX2在指定区间上展开下列函数为傅里叶级数COS,120XF解取作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故4T0NB12100012COSSINXXAFXDD1100COSCOS22NNXD时101COSCOS,22NXNXD时1100I,ADN1201SIN1SI22NX1221SISIN4K121COCO,4KKXFXX3将函数LXLLXF2,0分别展开成正弦级数和余弦级数解展开成正弦级数，则作奇延拓，0NA220022SINSICOSCOSLLLLNLLXXNXNXBDDDDLLL022COSCOSCOSCSLLLLXNXNXXLNL202CSSCSSLLLLXLXDD22024SINSINSINLLLL214INLXFXL0,L展开成余弦级数，则作偶延拓，NB2220021LLLLLAXDXX220022COSCOSSINSINLLLLNLLNNXXXXDXDDLLL2022SISINSINSILLLLXXXLNL202SISISISILLLLLXDXD2220COSCSCOS1CSLLLLNXN，21O14NLLNXFXL0,4试将函数展开成周期为8的正弦级数404XXF解展开成正弦级数，则作奇延拓，NA442200SINCOS4NXNXBXDXD4220016COSIN4XDN4423300116SINSICOSXNXXDN，31I4NFX0,第十一章无穷级数测试题1选择题（1）对级数，“”是它收敛的B条件1NA0LIMNA充分；B必要；C充要；D非充分且非必要（2）“部分和数列有界”是正项级数收敛的C条件NS1NAA充分；B必要；C充要；D非充分且非必要（3）若级数绝对收敛，则级数必定A1NA1NAA收敛；B发散；C绝对收敛；D条件收敛（4）若级数条件收敛，则级数必定B1NA1NAA收敛；B发散；C绝对收敛；D条件收敛2用适当的方法判定下列级数的敛散性（1）；1LN解因为1IMLILIMLNNXX从而该正项级数发散（2）；134N解因为433LIM1N从而该正项级数收敛（3）；NN2L1解因为332211LIMLNLIMLNLIM21NNN从而该正项级数收敛（4）；14N解因为4411LIMLIM01NNN从而该正项级数收敛（5）；12N解因为1LIMLI2NN从而该正项级数发散（6）；10,NBA解因为1LIMLINBA从而该正项级数发散（7）；13N解因为113LILIM3NNNE从而该正项级数发散（8）；13NN解设，则而XY1LNL3,XYX，时，LN1IMI0XX110LIM3,0XX1LIMN3XX从而1LNLIMNI3,LIMLI310NXXXXNYY收敛的必要条件满足。设，则同理可以推出13XY1LLNN,XYX132LIMLI310XNXN而的级数收敛，从而原正项级数也收敛21,NP13NN（9），其中均为正数，且；1NNABBAN,ANLIM解用柯西判别法LIMLILINNNBU当时发散，当时该正项级数收敛BA1BA1当时不能判定敛散性。（10）120DNX解由积分中值定理，12201,0NXN从而120DNX有比较判别法收敛120NX3判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛（1）；LN解令，则时1LFX210,LNXFX从而单碟减少，又1LNNU1LIM0NN从而以来布尼茨判别法收敛1LN但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛LIMN（2）；21SINRN解2122RISI1SINNNUR从而该级数是交错级数，由于单碟减少且2INUNLIM0NU从而以来布尼茨判别法收敛21SINR但是，222RLIMSLIM1NN因此是条件收敛而不能绝对收敛（3）；1SIN解因为1INNU从而该级数绝对收敛（4）0,SI1XN解去掉前面有限项即当足够大时为交错级数，N由于，对足够大的单碟减少且SI,NU,NULIM0NU从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛0,SI1XN4求下列极限（1）；213LIMKNK解由于单调增加且1K1LIM3KKE从而21100,3313NKKNNKE因此由夹逼准则21LIM0KNK（2）NN31279384LI解令，由于1133927NKNNY113KKX看1211,KKKXXX从而，因此21334K13139274LIM48NN5求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）；NNX123解看，1NNT1113232LIMLILIM2321NNNNNAR而因一般项极限不为零而发散132N从而该幂级数的收敛半径也为，收敛域为12131,22XX（2）01PNX解为收敛半径11LIMLI1LIMPPNPNAR考虑端点，当时收敛域为；当时收敛域为；,01,当时收敛域为；0P,6求下列幂级数的收敛域及其和函数（1）；1NNX解为收敛半径11LIMLI2NARN考虑端点则知收敛域为。,在收敛域内设，则1NNSXX1210XNNSDXX在收敛域内再设，则1NG210,NGGX22130,XNXXXSDS（2）1