排列组合专题复习及经典例题详解

1排列组合专题复习及经典例题详解1学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2重点（1）特殊元素优先安排的策略（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略3难点综合运用解题策略解决问题4学习过程1知识梳理1分类计数原理（加法原理）完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有种不1M同的方法，在第2类办法中有种不同的方法在第N类型办法中有种不同的方法，2MN那么完成这件事共有种不同的方法NN12分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成N个步骤，做第1步有种不1M同的方法，做第2步有种不同的方法，做第N步有种不同的方法；那么完成这2MM件事共有种不同的方法NN1特别提醒分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏3排列从N个不同元素中，任取MMN个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列，时叫做选排列，时叫做全排列NMNM4排列数从N个不同元素中，取出MMN个元素的所有排列的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的排列数，用符号表示NP5排列数公式、NNPN,121排列数具有的性质11MNMN特别提醒规定0126组合从N个不同的元素中，任取MMN个不同元素，组成一组，叫做从N个不同元素中取M个不同元素的一个组合7组合数从N个不同元素中取MMN个不同元素的所有组合的个数，叫做从N个不同元素中取出M个不同元素的组合数，用符号表示MNC8组合数公式121MNNPCMN组合数的两个性质；N11MNMN特别提醒排列与组合的联系与区别联系都是从N个不同元素中取出M个元素区别前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系2典型例题考点一排列问题例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端【解析】1方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原14P5P理，共有站法4801、P方法二由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法254、804P方法三若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从6P52P总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法480256、（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有5P2方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空4025、4P3档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有15P2P240154、P（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有种425站法，故共有站法为、48025P此外，也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由（2）知甲、乙相邻有6P种站法，所以不相邻的站法有2405P480756、（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站4队，有种，故共有站法23、1324P方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，24P然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、3乙进行排列，有种方法，故共有站法P、14234P（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置2作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法4、842方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位P置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法4P、42（6）方法一甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，甲在左端而且乙在右端55的站法有种，故甲不站左端、乙不站右端共有2504（种）站法4P6P54方法二以元素甲分类可分为两类甲站右端有种站法，甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有种，故共有504（种）站法41541考点二组合问题例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；4（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员【解析】（1）选法为、20436C（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类计数原理可得总选法数为、614634624614C方法二因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种50C56所以“至少有1名女运动员”的选法、245610（3）方法一可分类求解“只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选法为；“男、女队长都入选”的选4848C法为；所以共有2196（种）选法38C3C方法二间接法从10人中任选5人有种选法其中不选队长的方法有种51058C所以“至少1名队长”的选法为196种8C（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；49不选女队长时，必选男队长，共有种选法，而且其中不含女运动员的选法有8种，所以不选女队长时的选法共有种选法45C45C所以既有队长又有女运动员的选法共有种19849考点三综合问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法【解析】（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有；、241PC（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法（3）确定2个空盒有种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类25第一类有序不均匀分组有种方法；82134PC第二类有序均匀分组有种方法62故共有种842241342、PC当堂测试1从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A70种B80种C100种D140种【解析】分为2男1女，和1男2女两大类，共有种702415425C解题策略合理分类与准确分步的策略22020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A48种B12种C18种D36种【解析】合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选24312PC法（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有种方法故共有种选63P362312法解题策略特殊元素优先安排的策略合理分类与准确分步的策略排列、组合混合问题先选后排的策略3从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A48B12C180D162【解析】分为两大类（1）含有0，分步从另外两个偶数中选一个，有种方法，12C从3个奇数中选两个，有种方法；给0安排一个位置，只能在个、十、百位上23C选，有种方法；其他的3个数字进行全排列，有种排法，根据乘法原理共有1C3P种方法（2）不含0，分步偶数必然是2和4；奇数有种不0832P23C6同的选法，然后把4个元素全排列，共种排法，不含0的排法有种根4P7243PC据加法原理把两部分加一块得10872180个4甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A150种B180种C300种D345种【解析】4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法345126526135C解题策略合理分类与准确分步的策略5甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A6B12C30D36【解析】法一甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种624C甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法，甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选141门，有种选法，由分步计数原理此时共有种623234C最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有62430种故选C法二可以先让甲、乙任意选择两门，有种方法，然后再把两个人624全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有种选法，所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法624302424C解题策略正难则反，等价转化的策略6用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324B328C360D648【解析】第一类个位是0，共种不同的排法；第二类个位不是0，共种不同29P184C的解法故共有328（个）29184C解题策略合理分类与准确分步的策略7从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（）A85B56C49D28【解析】合理分类，甲、乙全被选中，有种选法，甲、乙有一个被选中，有172C种不同的选法，共49种不同的选法271C172C27解题策略（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略8将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A4B18C24D30【解析】将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分法，然后三组进24C行全排列共种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共种不同3P3P的排法所以总的排法为30种24C3P注意这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题解题策略正难则反、等价转化的策略相邻问题捆绑处理的策略排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点仔细审题，判断