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上海交通大学线性代数B类试卷一单项选择题（每题3分，共18分）1设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）A充分条件；B必要条件；C充要条件；D无关条件。2已知为四维列向量组，且行列式，则行列式（）A40；B16；C3；D40。3设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）A向量组线性无关；B对任一个，向量组线性相关；C存在一个，向量组线性无关；D向量组与向量组等价。4已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）A交换的第1，2行得；B交换的第1，2行得；C交换的第1，2列得；D交换的第1，2列得。5设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）A；B；C；D。6设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）A；B；C；D。二填空题（每题3分，共18分）7已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。则，。8设维列向量，其中。已知矩阵可逆,且，则_。9已知实二次型正定，则常数的取值范围为_。10设矩阵，是中元素的代数余子式。已知，且，则。11设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。则线性方程组的通解为。12设，已知相似于对角阵，则，。三计算题（每题8分，共48分）13设，计算阶行列式。14设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解当其有无穷多解时，求其通解。15设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。16已知为阶矩阵，且满足，其中。求矩阵。17已知；都是线性空间的基，在基和下的坐标分别为和，且，其中；。试求1；2基（用线性表示）。18设实二次型。求正交变换，将化为标准型。四证明题（每题8分，共16分）19设矩阵，试证明1存在矩阵，使得的充分必要条件为秩；2若，矩阵，满足，则。20设是阶矩阵,是的特征多项式。证明矩阵可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。参考答案一选择题1C2D3B4B5A6C二填空题71,3,0；8；9；10；11；12。三计算题13。14无解；唯一解；无穷多解，通解为。15，线性无关，解得。16；。17（1），（2）。18；。四证明题191，
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