导数及其应用(数学教案,知识点完整归纳).doc

课题名称导数及其应用同步教学知识内容1，导数的定义及其几何意义；2，求导基本公式；3，四则运算求导法则，复合求导法则；4，导数在求函数求单调性、极值、最值中的应用；5，定积分的定义、几何意义、应用；6，微积分基本定律教学目标个性化学习问题解决重视对基本定义、概念的理解，掌握基本的运算公式，掌握中等难度的常规题目的解题思路与方法。做题时注意细节，注重解题方法、思路的归纳总结。教学重点1，求导的四则运算法则、复合求导法则；2，导数的应用；3，定积分概念、几何意义及应用；4，微积分基本定律；教学难点导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用定积分的应用教务部主办审批一、基本知识点1，导数当X趋近于零时，XFF00趋近于常数C。可用符号“”记作当0时，XFF00C或记作CXFFXLIM00，符号“”读作“趋近于”。函数在0的瞬时变化率，通常称作F在0处的导数，并记作0XF。即XFFXFLIM002，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点为曲线上一点，则过点的切线的斜率,0YXP,0YXPXFFFKXLIM000切由于函数FY在0处的导数，表示曲线在点,0XF处切线的斜率，因此，曲线X在点,XFP处的切线方程可如下求得（1）求出函数FY在点0处的导数，即曲线XFY在点,0XFP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为，如果曲线XFY在点,0XFP的切线平行于Y轴00XFY（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为，故过点的切线的方程为,0YXP00XFY3，导数的四则运算法则（1）XGFGF（2）FX（3）2XGFGF4，几种常见函数的导数10为常数C21QNXN）（3XCOSSIN4XSINCO5L6EAALG1L7XE8AXL5，函数的单调性在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果,BA0XFXFY，那么函数在这个区间内单调递减。0XFY6，函数的极值求函数的极值的方法是解方程当时YF0FX0FX如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；10X0FX如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值2FX0FX7，函数的最大值和最小值（1）设XFY是定义在区间BA,上的函数，FY在,BA内有导数，求函数在BA,上的最大值与最小值，可分两步进行求XFY在,内的极值；将在各极值点的极值与AF、BF比较，其中最大的一个为最大2值，最小的一个为最小值；（2）若函数XF在BA,上单调增加，则F为函数的最小值，BF为函数的最大值；若函数在上单调递减，则A为函数的最大值，为函数的最小值注意（1）在求函数的极值时，应注意使导函数XF取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3的导数23XF，在点0X处有0F，即点X是XF的驻点，但从在,上为增函数可知，点不是F的极值点（2）在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系。8，定积分的定义如果函数FX在区间A，B上连续，用分点AX0X1XI1XIXNB，将区间A，B等分成N个小区间，在每个小区间XI1，XI上任取一点II1，2，N，作和式，当N时，上述和式11NIIIIFF无限接近某个常数，这个常数叫做函数FX在区间A，B上的定积分，记作FXDX。即BADF。BAFNLIMI1N注在FXDX中中FX叫做被积函数，X叫做积分变量，FXDX叫做被积式，B，ABA分别叫做积分上限和下限，区间A,B叫做积分区间。9，曲边梯形曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形。根据Y定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的SYFXAB，定积分，即。求曲边梯形面积的四个步骤BASFXD第一步分割在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间B，1NN1IIX，区间的长度；12IN，IIX，1IIX第二步近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值；第三步求和；第四步取极限。10，定积分的几何意义BADXF表示介于X轴,曲线YFX，与直线XA,XB之间部分的曲边梯形面积的代数和，在X轴上方的面积取正号，在X轴下方的面积取负号。如下图（1）（2）11，微积分基本定理牛顿莱布尼兹公式如果，且在上可积，则，其中叫做FXFFX,ABBAFXDFBAFX的一个原函数。由于，也是的原函数，其中为常FFCFXCFC数一般地，原函数在上的改变量简记作，,BAX因此，微积分基本定理可以写成形式BAFXDFF12，定积分的性质BABADXFKXF,其中K为常数；BAAADXGG；其中ABC。BCCABAFDXFXF13，利用函数的奇偶性求定积分若FX是A,A上的奇函数,则0DXFA若FX是A,A上的偶函数,则A0ADXF2XF14，定积分的求法定义法用微分思想求曲边梯形的面积，分割、近似代替、求和、取极限；牛顿莱布尼兹公式法；几何意义法若YFX、X轴与直线XA,XB之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积；利用奇、偶函数的性质求。二、经典例题练习1，若函数在区间内可导，且则的值为YFX,AB0,XAB00LIMHFXFH（）ABCD0F02FX02F2，若，则等于。XKFKLIM003，已知曲线的一条切线方程是，则的值为（）Y314YXM或或A4B28C328D2314，若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为ABCD5，已知函数213XAXF，若1是XFY的一个极值点，则A值为（）A2B2C72D46，已知函数223ABXXF在1处有极值为10，则2F7，已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，直线为该曲线的另一1L3FL条切线，且的斜率为12求直线、的方程；1L求由直线、和X轴所围成的三角形面积。2L8，已知函数在处取得极值BAF331讨论和函数的的极大值还是极小值；11FX过点作曲线的切线，求此切线方程20,6AY9，已知函数32XAXF在R上是减函数，求A的取值范围；10，已知函数F（X）X3AX2BXC在X与X1时都取得极值32（1）求A、B的值与函数F（X）的单调区间（2）若对X1，2，不等式F（X）C2恒成立，求C的取值范围。11，甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40KM的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50KM，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3A元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省三、专题测试一、选择题（每小题4分,共48分）1设函数可导，则等于（）YFX01LIM3XFFXABCD以上都不对3FF2一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，2TSST那么物体在秒末的瞬时速度是（）A米/秒B米/秒76C米/秒D米/秒583若曲线与在处的切线互相垂直，则等于（）21YX3YX00XABCD或036623234函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）XFY0XFYCDBAA充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件5设是函数的导数，的图像如图所示，则的图像最有可FXFXYFXYFX能的是（）6函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）32FXA1,AABCD,33,37函数的最大值为（）XYLNABCD1EE2E3108由直线，曲线及轴所围图形的面积是（）2XXY1ABCD41572LN2LN9函数在内有极小值，则（）3FXB0,1ABCD010B12B10的图像与直线相切，则的值为（）2YAXYXAABCD1841211将和式的极限表示成定积分（）0321LIM1PNPPPNABCDDX10DXP0DX10DXNP1012下列等于1的积分是（）ABCD01010102二、填空题（每小题4分，共16分）A0Y12XYB012XYC012XYD01221XY013DX|4|10214由定积分的几何意义可知_DX22415如图，一矩形铁皮的长为8CM，宽为5CM，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为时，盒子容积最大16函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，4321FXAX0,1,2则A三、解答题17（12分）计算下列定积分的值（1）；（2）；314DX215DX（3）；（4）；20SIN2COS18（本题10分）已知，求证1XLN1X19（本题10分）已知的图象经过点，且在处的切线方程是CBXAXF240,1X（1）求的解析式；（2）求的极值。2YXYFY20（12分）求曲线与轴所围成的封闭图形的面积X321（本题12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销（单位元，）的平方成正比已知商品单30X价降低2元时，一星期多卖出24件将一个星期的商品销售利润表示成的函数X如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大四、解题思路总结1，对考查导数定义的题型，一定要记住，把已知等式化为和导数定义式同等形式，再利用导数的定义求解；2，一定要记住教材中所给的8个常见函数的导数及导数的四则运算、复合函数求导法则，这是求导基础；3，连续的闭区间内必有最大值和最小值，比较各极值点和端点的函数值的大小即可求出；4，导数的几何意义是过曲线上一点的切线的斜率，这在综合题型中考查的比较多，一般是联合函数求导、直线方程、定积分的知识，因此要掌握这三个方面的知识点；5，求解定积分时，要注意灵活应用奇函数、偶函数的定积分性质和定积分的几何意义。CCADCBADABBC1314151CM164171234312320618218证明设（），（），在LNFXX1XFX0FXFX是增函数，又，即1,LNE，即（）0FL19解（1）的图象经过点，则，CBXAXF240,1C3,142,KFAB切点为，则的图象经过点,1F得59,2C得4592FXX（2）极小值,极大值1020解首先求出函数的零点，又易判断出在内，图形在轴下方，在XY2