初二数学小难题及答案

1如图519，已知CE、CB分别是ABC和ADC的中线，且ABAC求证CD2CE分析用加倍法为了证明CD2CE，考虑CE是ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF2CE，把原来证CD2CE转化为证明CDCF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系证明如图520，延长CE至F，使EFCE，连结BF，可证EBFEACBFACABBD又CBFCBAABFBCACABCBD，BC公用，CBFCBD（SAS）CFCD，即2CECD3如图522，在ABC中，BDDC，EDDF求证BECFEF分析本题算延长FD到G，使FDDG，构造新EDG，通过证明BDGCDF，达到转移线段位置的目的（如图522将BECF转移为BEBG，将EF转移为EG）证明延长FD到G，使DGDF，连结BGBDGCDF，BDDCBDGCDFBGCF连结EGEDDF，又DGDFEGEF在EBG中，BEBGEG，BECFEF5（本题8分）如图,直线YKX6与X轴Y轴分别相交于点E,F点E的坐标为8,0,点A的坐标为6,0点P（X,Y）是第二象限内的直线上的一个动点。1求K的值；2当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；3探究当P运动到什么位置（求P的坐标）时，OPA的面积为278，并说明理由OEFAYX6、已知如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150求证PBC是正三角形（初二）7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证PAPF（初二）8、已知ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求APB的度数（初二）9如图，在ABC中，ABC60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证ACAECDAPCDBDFEPCBAAPCBABEODC10如图，AD是ABC的角平分线，B2C，1C，点E在AC上求证ACABBD证明41C，1C，42CB2C，B41分AD是ABC的角平分线，23ADAD，ABDAED3分ABAE，BDED4分1C，EDEC5分ECBDACAEECABBD6分11、ABC中，ABAC，BAC900,D、E在BC上，且DAE450,若BD3,CE4求DE的长。解作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OACDAABEABCDE1432ABCDE1BADOAD，ABAO，BDODBAC90，DAE45BADCAEOADOAECAEOAEABAC，ACAO在OAE与CAE中，AOACOAECAEAEAEOAECAE（SAS）AOEC又BAODOECEDOEBC90DE52OED2CEB12已知如图，中，于，平分，且ABC45CDABEABC于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点BEDFH，HG（1）求证；F（2）求证；12（3）与的大小关系如何试证明你的结G论（1）证明，是等腰直角三角CDAB45BCD形在和中，RTFT，且，90B90EFEFC又，ARTTDFBACBF（2）证明在和中平分，ERTEABC又，A90，又由（1），知，TT2F12CEBF（3）证明连结GC是等腰直角三角形，又是边的中点，垂直平分DDHBCDHB在中，是斜边，是直角边，RTEGEEGCE13（10分）1如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边ACD和等边BCE,连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN、MN则CMN的形状是_三角形；2如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰RTACD和等腰RTBCEACDBCE90，连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN,MN则CMN的形状是_三角形；3如图，在图的基础上，将BCE绕点C旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整试判断CMN的形状，并说明理由14（12分）一次函数YX4与X轴、Y轴分别交于A、B两点，E为OA上一动点，D为OB的延长线上一动点，且AEBD1当E为OA中点时，求C点坐标2当E运动到X轴正半轴上，仍有AEBD，过E作EFAB于F,FC的值是否变化若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围15、已知以ABC的两边AB、AC为边向外作等腰ADB和等腰AEC，且ABAD，ACAE，BADEAC，DC、BE交于O（1）求证DCBE2若ADB与ACE均为等边三角形，求BOC的度数（3）若BOC150，AD10，求ABD的面积ACOEDB（1）证明BADEACDACBAE在DAC与BAE中，ADABDACBAEACAEDACBAE（SAS）DCBE（2）DACBAE12BOCOCEOECACEAEC又ACE是正，ACEAEC60BOC120（3）过点B作BPAD，垂足为PDACBAE，34BOCOBDBDOABDADB150DAB30又BPADBPAB又ABAD1021BP5SBPAD252116已知如图，平面直角坐标系XOY中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），P为Y轴上B点下方一点，PBM（M0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PMPA，点M落在第四象限。（1）求直线AB的解析式；（2）用M的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与X轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随M的变化而变化，写出你的结论并说明理由。ABD解（1）设直线AB的解析式为YKXB（K0）则，解得4B0K4B1直线AB的解析式为YX42分（2）作MNY轴于点N（见图5）图5APM为等腰直角三角形，PMPA，APM90OPANPM90NMPNPM90OPANMP又AOPPNM90，AOPPNM。（AAS）3分OPNM，OANPPBM（M0），NMM4，ONOPNPM8点M在第四象限，点M的坐标为（M4，M8）4分（3）答点Q的坐标不变解法一由（2）得NMM4，NBNPPBM4NBNMBNM90MBN455分QBO45，OQB90QBO45OQOB4点M在第四象限，点B在Y轴的负半轴上，点Q在X轴的负半轴上无论M的值如何变化，点Q的坐标都为（4，0）6分解法二设直线MB的解析式为YNX4（N0）点M（M4，M8）在直线MB上，4N整理，得M004解得1N直线MB的解析式为5分4XY无论M的值如何变化，点Q的坐标都为（4，0）6分17如图，等腰直角三角形ABC中，BAC90，D、E分别为AB、AC边上的点，ADAE，AFBE交BC于点F，过点F作FGCD交BE的延长线于点G，交AC于点M。（1）求证EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。解（1）等腰直角三角形ABC中，BAC90，（见图6）图6ACAB，ACBABC45又ADAE，CADBAEACDABE（SAS）121分BAC90，3290FGCD，149034GEMGMEEGMG，EGM为等腰三角形2分（2）答线段BG、AF与FG的数量关系为BGAFFG3分证法一过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N（见图6）BNAB，ABC45FBN45FBAFGCDBFNCFM90DCBAFBEBFA90EBC，5290由（1）可得DCBEBC，BFNBFA又BFBFBFNBFA（ASA）NFAF，N54分又GBN290GBN5NBGNG5分又NGNFFG，BGAFFG6分证法二设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AFBN，再证FGNG。图7证法三过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AHBE，再证FMFH。图818如图，已知直线OA的解析式为YX，直线AC垂直X轴于点C，点C的坐标为（2，0），直线OA关于直线AC的对称直线为AB交X轴于点B（1）写出点A及点B的坐标；（2）如图，直线AD交X轴与点D，且ADB的面积为1，求点D的坐标；（3）作OEAD于点E，交AC于点H，作BFAD于点F，求证OEAF，并直接写出点H的坐标解（1）A2,2,B4,02分（2）ACBD于点C，AC2，SADB1，SADBBDACBD2112BD13分ODOBBD413D3，04分（3）由直线OA的解析式为YX，可知OCAC又ACO90，HECDFBXYOAOACAOC45直线OA关于直线AC的对称直线为AB，BACOAC45，OABAOAB90290OAE在AOE中，OEA90，190OAE12在AOEABF中，AOEABF5分OEAF6分H2,17分19如图，在中，ABC60（1）请你用直尺和圆规分别作出和的平分线和，ABCADCE分别交BC和AB于点D、E，与相交于点F（2）请你判断并写出与之间的数量关系，F然后证明关系成立解（1）作图，必须用圆规。否则扣分4分（2）与之间的数量关系为5分FEDFED证法一过点分别作于点，于点6分GABHBC，且，分别是，的平分线，60BCA21AOYXBFDCEH12OEAAFB90OABABCA8分FGH，10分2360，1E又，DFB11分GHE12分证法二如图，在上截取，连结6分ACGAEF，为公共边，可证12FG，7分E由，分别是的平分线，60BDBC，可得9分2360AFECAFG10分60由及为公共边，可得11分34CFDFGD12分E20图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形1如图1，线段AN与线段BM是否相等证明你的结论；2如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论FBEACD243GFBEACD图243H图2图121如图，直线OC、BC的函数关系式分别是Y1X和Y22X6，动点P（X，0）在OB上运动（0Y2（2）设COB中位于直线M左侧部分的面积为S，求出S与X之间函数关系式（3）当X为何值时，直线M平分COB的面积（10分）21题（1）解方程组得26YX2XYC点坐标为（2，2）；3分（2）作CDX轴于点D，则D（2，0）SX2（0X2）；SX26X6（2X3）；3分（3）直线M平分AOB的面积，则点P只能在线段OD，即0X2又COB的面积等于3，故X23，解之得X4分122已知如图AEAC，EF/BC交AB于E交AC于F，EC平分FED，求证ADCE。23（10分）08年5月12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，甲、乙两重灾区急需一批大型挖掘机，甲地需25台，乙地需23台；A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区若从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资04万元，到乙地要耗资03万元；从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资05万元，到乙地要耗资02万元设从A省调往甲地台，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资Y万元X（1）求出Y与X之间的函数关系式及自变量X的取值范围；（2）若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案（3）怎样设计调运方案能使总耗资最少最少耗资是多少万元乙乙乙乙23乙乙乙乙乙25乙B乙乙乙22乙A乙乙乙26乙23Y04X0326X0525X022326X19702X1X2519702X15解得X2351X2524X25即有2种方案，方案如下方案1A省调运24台到甲灾区，调运2台到乙灾区,B省调运1台到甲灾区，调运21台到乙灾区；方案2A省调运25台到甲灾区，调运1台到乙灾区,B省调运0台到甲灾区，调运22台到乙灾区；Y19702X,Y是关于X的一次函数，且Y随X的增大而减小，要使耗资最少，则X取最大值25。即Y最小1970225147万元24某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元吨）如下表所示图1560404015030单位CMABB（1）设C县运到A县的化肥为X吨，求总运费W（元）与X（吨）的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案分析利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表则总运费W（元）与X（吨）的函数关系式为W35X40（90X）30（100X）4560（100X）10X4800自变量X的取值范围是40X90解（1）由C县运往A县的化肥为X吨，则C县运往B县的化肥为（100X）吨D县运往A县的化肥为（90X）吨，D县运往B县的化肥为（X40）吨由题意可知W35X40（90X）30（100X）45（X40）10X4800自变量X的取值范围为40X90总运费W（元）与X（吨）之间的函数关系式为W1OX480O（40X9O）（2）100，W随X的增大而增大当X40时，W最小值104048005200（元）运费最低时，X40，90X50（吨），X400（吨）当总运费最低时，运送方案是C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县252009年河北某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60CM30CM，B型板材规格是40CM30CM现只能购得规格是150CM30CM的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法（图15是裁法一的裁剪示意设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁X张、按裁法二裁Y张、按裁法三裁Z张，且所裁出的AB两种型号的板材刚好够用（1）上表中，M，N；（2）分别求出Y与X和Z与X的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与X的函数关系式，并指出当X取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张【关键词】函数的运用【答案】解（1）0，3（2）由题意，得240XY，120YX18Z，63Z（3）由题意，得122063QXYX整理，得1806由题意，得203X解得X90【注事实上，0X90且X是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当X90时，Q最小此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张26、南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示运输工具图中速度（KM/H）途中费用（元/KM）装卸费用（元）装卸时间（H）飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/H，记A、B之间的距离为KM。X（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车的运输时的总支出费用