2013电大微积分初步考试小抄【最新完整版小抄】-2013中央电大专科《微积分初步》考试小抄

电大微积分初步考试精品小抄一、填空题函数的定义域是XF51（，5）5051XSINLM，X01X时，已知，则XF2F2LN）（若，则CFDFD3C321微分方程的阶数是三阶YXYXESIN4Y6函数的定义域是（2，1）U（2L1F1，121LN2LX0N2XX，1|且72XSILM0SINLI0XX212SINLM0X8若YXX1X2X3，则0Y6YXX1X2X3X2XX25X6X45X36X2X35X26XX46X311X26X,6184Y3X（把0带入X）,609XDE22或FF）（DXFXF10微分方程的特解为YEX10,YYDXYD1两边积分又Y01X0,Y1ECLN010C，11函数的定义域是24LXXF2,，12LNL0LN4XX12若函数,在处连续，0,3SINKFX则1K在处连续LIM00FXFF0F（无穷小13SINLIM13SINLIXXX量X有界函数）13曲线在点处的切线方程是Y,21，XY21Y21切K|2112XX方程14SINXCSDIN15微分方程的阶数为三阶YYSIN45316函数的定义域是（2,3）2LXFU（3，）3X2|12LN0LN且XX171/2SILM18已知，则2727LN3XF3FLN2XF3LN2719EX2CD20微分方程的阶数为四阶XYXYSI473二、单项选择题设函数，则该函数是（偶函数）2函数所以是偶函数EXFXF的间断点是（）分母2322,1X无意义的点是间断点03下列结论中（在处不连续，则一定在XF处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；0X极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上如果等式，则（CXF11EDXF）21X1,U,11XEXEYFFCFUXX，令2212XFXEFU下列微分方程中，（）是线性微YSIN分方程6设函数，则该函数是（奇函数）2EXY7当（2）时，函数在K0,2XKF处连续0X8下列函数在指定区间上单调减少的是（,）39以下等式正确的是（）3LNDXX10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）YXD11设，则（）12FXF212若函数FX在点X0处可导，则，但是错误的AXFLIM00XF13函数在区间是（先减后增）21Y,14）FDCFF15下列微分方程中为可分离变量方程的是（）YX16下列函数中为奇函数是（）1LN2X17当（）时，函数在K20,EKF处连续0X18函数在区间是（先单调下降再单12Y2,调上升）19在切线斜率为2X的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（YX23）20微分方程的特解为（）0,XYE三、计算题计算极限423LIM2X解41LI1LI22X）设，求YXEYD解X23212X1，U2XU2XEU（2）1EY2E2XY2E2XX213DY2E2XDX计算不定积分XDSIN解令U,U21X21DU2DU2COSCSINUSIN2COSCX计算定积分XDE210UX，VEX,VEXVDXUV10UVU10|101|EXDDXX原式25计算极限952LIM3X34LILIX6设，求YCOSNYD解XXCOSLNL221Y1LNCOSXY1LNU1,UCOSXXUCOSISIN1LY1XCOSIN23DYDX17计算不定积分XD29解9令U12X,U2DUU21CCDDXU2019210998计算定积分XDE0解UX,XV，1010|XDDXX1|EX9计算极限4586LIM24X321LI1LI4XX10设，求YXSNYDY1SIN3XY1SINU,U3X,CO3IU）（）（Y2XLN23COS3XDY2XLN23COS3XDX11计算不定积分DSUX,VCOSX,VSINXDCOSCXXDOSSINSICO12计算定积分DL51E令ULNX,U,EEEEDXXXD11E11LN5LLN|X1DUDX,1XE0LNX1X21LN|0101UDE原式152713计算极限63LIMXX解51LI1LI22X14设，求XYEY解X12,X1U1EEYXUU2121EXEX121X1X2X2Y15计算不定积分D10解U2X1,2DU2DX10CDUUX1221010）（116计算定积分0EX解UX,DX10XVEX10|EX四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖3M水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少解设水箱的底边长为X，高为H,表面积为S，且有HX24所以SXX24XHX216XS2令（X）0，得X2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以X2，H1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）1040160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省设长方形一边长为X，S216另一边长为216/X总材料Y2X3216/X2X648Y2648X1264812X2648Y0得2X2324X18一边长为18，一边长为12时，用料最省欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省设底边长为A底面积为A2A2HV32H3表面积为A24AHA24AA218YA2,Y2A1282A182Y0得2AA364A42底面边长为4，H216设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解设矩形一边长为X，另一边为60X以AD为轴转一周得圆柱，底面半径X，高60XV32260XXV223103602得4矩形一边长为40，另一边长为20时，VMAX三、计算题计算极限423LIM2X解41LI1LI22X）设，求YXEYD解X23212X1，U2XU2XEU（2）1EY2E2XY2E2XX213DY2E2XDX计算不定积分XDSIN解令U,U21X21DU2DU2COSCSINUSIN2COSCX计算定积分XDE210UX，VEX,VEXVDXUV10UVU10|101100|EXDXDX原式25计算极限952LIM3X34LILIX6设，求YCOSNYD解XXCOSLNL221Y1LNCOSXY1LNU1,UCOSXXUCOSISIN1LY1XCOSIN23DYDX17计算不定积分XD29解9令U12X,U2DUU21CCDDXU2019210998计算定积分XDE0解UX,XV，1010|XDDXXEEX1|X9计算极限4586LIM24X321LI1LI4XX10设，求YXSNYDY1SIN3XY1SINU,U3X,CO3IU）（）（Y2XLN23COS3XDY2XLN23COS3XDX11计算不定积分DSUX,VCOSX,VSINXDCOSCXXOSINI12计算定积分DL51E令ULNX,U,EEEEDXXXD11E11LN5LLLN|X1DUDX,1XE0LNX1X21LN|0101UDXE原式152713计算极限63LIMXX解51LI21LI2X14设，求XYEY解X12,X1U1XEEYUU2121XX12X11215计算不定积分D10解U2X1,2DU2DX10CDUUX1221010）（116计算定积分0EX解UX,DXE10EXVX10|X四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖3M水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少解设水箱的底边长为X，高为H,表面积为S，且有HX24所以SXX24XHX216XS令（X）0，得X2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以X2，H1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）1040160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省设长方形一边长为X，S216另一边长为216/X总材料Y2X3216/X2XX648Y2648X1264812X2648Y0得2X2324X18一边长为18，一边长为12时，用料最省欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省设底边长为A底面积为A2A2HV32H3表面积为A24AHA24AA218YA2,Y2A1282A182Y0得2AA364A42底面边长为4，H216设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解设矩形一边长为X，另一边为60X以AD为轴转一周得圆柱，底面半径X，高60XV32260V221360得4XX矩形一边长为40，另一边长为20时，VMAX作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数LN1XF的定义域是答案,3,22函数F5的定义域是答案,3函数24LN1XXF的定义域是答案2,1,4函数7XF，则F答案625函数0E2XF，则答案26函数1，则XF答案2X7函数32XY的间断点是答案8X1SINLM答案19若2I40K，则答案210若3SNL0X，则K答案15；二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数EY，则该函数是（）答案BA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数2设函数XSIN2，则该函数是（）答案AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数3函数F的图形是关于（）对称答案DAXYB轴CY轴D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C）ASINBXLC1LN2XD25函数5L41Y的定义域为（）答案DAXBXC5X且0D且6函数1LNXF的定义域是（）答案DA,1B,1,0C20D2,7设2F，则F（）答案CAXBXCXD18下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案DA2F，GB2F，XGCLN，XLND3LNX39当0时，下列变量中为无穷小量的是（）答案CAXBXSIC1LD210当K（）时，函数0,2XKF，在0X处连续答案BA0B1CD111当K（）时，函数0,2XKEXFX在处连续答案DA0B1C2D312函数3XF的间断点是（）答案AA,XBC2D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限423LIM2X解412LIM1LILI22XXXX2计算极限651X解2716LILILIM121XXXX339X解原式233LILIM11XX4计算极限4586LIM24X解321LIM42LI586LIM424XXXXX5计算极限62解234LI23LI86LI22XXXXX6计算极限X1LIM0解11LI0XXX2LI0XX7计算极限X4SIN1LM0解001LILI8SXXX8计算极限24SINLM0X解00I42LLI16XX一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线1XF在,点的斜率是答案2曲线XFE在,0点的切线方程是答案1Y3曲线21XY在点,处的切线方程是答案34X答案X2LN或1LN25若YXX1X2X3，则Y0答案66已知F3，则F答案LN1277已知XL，则答案2X8若XFE，则0F答案9函数的单调增加区间是答案,110函数12AXF在区间,内单调增加，则A应满足答案0二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数Y在区间,是（）答案DA单调增加B单调减少C先增后减D先减后增2满足方程0XF的点一定是函数XFY的（）答案CA极值点B最值点C驻点D间断点3若FXCOSE，则F（）答案CA2B1C1D24设，则（）答案BABCD5设XFY是可微函数，则COSDXF（）答案DA2COSBFIN2COSCXD2INDXFD2SINCO6曲线1E2XY在处切线的斜率是（）答案CA4BC4ED27若FCS，则XF（）答案CAXINOSBXCCXCOSSINDI28若3IAF，其中是常数，则F（）答案CA2COSXBX6SICXSIND9下列结论中（A）不正确答案CAF在0处连续，则一定在0处可微BF在X处不连续，则一定在X处不可导C可导函数的极值点一定发生在其驻点上D若X在A，B内恒有F，则在A，B内函数是单调下降的10若函数FX在点X0处可导，则是错误的答案BA函数FX在点X0处有定义BAFXLIM0，但0C函数FX在点X0处连续D函数FX在点X0处可微11下列函数在指定区间,上单调增加的是（）答案BASINXBEXCX2D3X12下列结论正确的有（）答案AAX0是FX的极值点，且FX0存在，则必有FX00BX0是FX的极值点，则X0必是FX的驻点C若X00，则X0必是FX的极值点D使不存在的点X0，一定是FX的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）1设XY12E，求Y解121221XEXEXXXXXEE12或122XYE2设X3COS4SIN，求Y解INS3设YX1E，求解212E1XXXX4设YCOSLN，求Y解XCOSIN3或3ITA2COS2X5设Y是由方程4Y确定的隐函数，求D解对方程两边同时对X求微分，得022XDYYDX6设是由方程12X确定的隐函数，求Y解原方程可化为XY，1,X,DYX7设Y是由方程4E2YX确定的隐函数，求YD解方程两边同时对X求微分，得20XYED2YEXDXY8设1COSY，求解方程两边同时对求微分，得IN0XDESINYXDXY一、填空题（每小题2分，共20分）1若F的一个原函数为2LNX，则F。答案（C为任意常数）或LXC2若F的一个原函数为X2E，则F。答案XE21或43若CFD，则F答案XE或X4若F2SIN，则XF答案CO2或C5若XFLD，则F答案X16若CXF2OS，则XF答案CN47XDE2DE2答案DXE28SI答案CSIN9若CFF，则XF3答案CXF32110若FD，则XFD12答案CX122二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案AADXFFXBFCDXFFDF3若CXF2ED，则XF（）答案AA1E2XBCX2ED4若0XF，则FD（）答案AACXBCX2C23D315以下计算正确的是（）答案AA3LNDXXB1D22XCDLNX6XFD（）答案AACBCFCF12DX17XAD2（）答案CABXADLN2CDC8如果等式XFX11E，则F（）答案BA1B2CD2X三、计算题（每小题7分，共35分）1XXDSIN3解CXXOS32LNSI3或3SINLCXDX210解11222XC3XDSIN2解CX1OSSI1I24XDIN111CO2S2IN4DXC5EX解XXXDEECE四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解设矩形ABCD的一边X厘米，则60BCX厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令X得20X当0,X时，V；当,时，V2是函数的极大值点，也是最大值点此时64答当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大320160202立方厘米V2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省2解设成矩形有土地的宽为X米，则长为X米，于是围墙的长度为432,0L令2430LX得1取正易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时168X答这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省五、证明题（本题5分）1函数XEF在（0,是单调增加的10,0,0XXFEXFE证当时当时从而函数在区间是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1_DCOSINX答案32245X答案或23已知曲线FY在任意点处切线的斜率为X，且曲线过5,4，则该曲线的方程是。答案X或3216X4若D13答案2或45由定积分的几何意义知，XAD02。答案24A6E1DLNDXX答案0702答案218微分方程0,Y的特解为答案1或XYE9微分方程3的通解为答案X3或XC10微分方程XYSIN47的阶数为答案2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2X的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）答案AAYX23BYX24C2XYD2若10DK2，则K（）答案AA1B1C0D213下列定积分中积分值为0的是（）答案AAXXD2E1BXXDE1CCOS3DSIN24设XF是连续的奇函数，则定积分AXF（）答案D5DSIN2（）答案DA0BC2D26下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DEXB0DEXC1D17下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DINXSB02DEXC1D1X8下列微分方程中，（）是线性微分方程答案DAYYXLN2BXYE2CEDXLSI9微分方程0Y的通解为（）答案CACXBXCYD10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）答案BAYXD；BYXD；CSIN；DX三、计算题（每小题7分，共56分）1XXDE22LN0解2LN03X2LN0L1E1XXX9313332LNE或LLN20011XXXDEE25E1解217LNL5LN10EXXX3EXD10解利用分部积分法VXUVU1110001XXEEDEE42SIN002COS2CS4IN2XXD5IN222000COSSCOSSIN1XDXXDX6求微分方程1Y满足初始条件47Y的特解21,PXQX112LNLN3421PDPXDXXXXYEECEEDCXC通解即通解31YX7求微分方程X2SIN的通解。1,IPQX11LNLN2SI1SICO2PXDPXDXXXXYEQECEEDCXX通解即通解为SY四、证明题（本题4分）证明等式AAXFFXF0DD。0000AAAAAFFXDXDFF证左边右边作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1函数LN1XF的定义域是答案,3,22函数F5的定义域是答案,3函数24LN1XXF的定义域是答案2,1,4函数7XF，则F答案625函数0E2XF，则答案26函数1，则XF答案2X7函数32XY的间断点是答案8X1SINLM答案19若2I40K，则答案210若3SNL0X，则K答案15；二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数EY，则该函数是（）答案BA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数2设函数XSIN2，则该函数是（）答案AA奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数3函数F的图形是关于（）对称答案DAXYB轴CY轴D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C）ASINBXLC1LN2XD25函数5L41Y的定义域为（）答案DAXBXC5X且0D且6函数1LNXF的定义域是（）答案DA,1B,1,0C20D2,7设2F，则F（）答案CAXBXCXD18下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案DA2F，GB2F，XGCLN，XLND3LNX39当0时，下列变量中为无穷小量的是（）答案CAXBXSIC1LD210当K（）时，函数0,2XKF，在0X处连续答案BA0B1CD111当K（）时，函数0,2XKEXFX在处连续答案DA0B1C2D312函数3XF的间断点是（）答案AA,XBC2D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限423LIM2X解412LIM1LILI22XXXX2计算极限651X解2716LILILIM121XXXX339X解原式233LILIM11XX4计算极限4586LIM24X解321LIM42LI586LIM424XXXXX5计算极限62解234LI23LI86LI22XXXXX6计算极限X1LIM0解11LI0XXX2LI0XX7计算极限X4SIN1LM0解001LILI8SXXX8计算极限24SINLM0X解00I42LLI16XX一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线1XF在,点的斜率是答案2曲线XFE在,0点的切线方程是答案1Y3曲线21XY在点,处的切线方程是答案34X答案X2LN或1LN25若YXX1X2X3，则Y0答案66已知F3，则F答案LN1277已知XL，则答案2X8若XFE，则0F答案9函数的单调增加区间是答案,110函数12AXF在区间,内单调增加，则A应满足答案0二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数Y在区间,是（）答案DA单调增加B单调减少C先增后减D先减后增2满足方程0XF的点一定是函数XFY的（）答案CA极值点B最值点C驻点D间断点3若FXCOSE，则F（）答案CA2B1C1D24设，则（）答案BABCD5设XFY是可微函数，则COSDXF（）答案DA2COSBFIN2COSCXD2INDXFD2SINCO6曲线1E2XY在处切线的斜率是（）答案CA4BC4ED27若FCS，则XF（）答案CAXINOSBXCCXCOSSINDI28若3IAF，其中是常数，则F（）答案CA2COSXBX6SICXSIND9下列结论中（A）不正确答案CAF在0处连续，则一定在0处可微BF在X处不连续，则一定在X处不可导C可导函数的极值点一定发生在其驻点上D若X在A，B内恒有F，则在A，B内函数是单调下降的10若函数FX在点X0处可导，则是错误的答案BA函数FX在点X0处有定义BAFXLIM0，但0C函数FX在点X0处连续D函数FX在点X0处可微11下列函数在指定区间,上单调增加的是（）答案BASINXBEXCX2D3X12下列结论正确的有（）答案AAX0是FX的极值点，且FX0存在，则必有FX00BX0是FX的极值点，则X0必是FX的驻点C若X00，则X0必是FX的极值点D使不存在的点X0，一定是FX的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）1设XY12E，求Y解121221XEXEXXXXXEE12或122XYE2设X3COS4SIN，求Y解INS3设YX1E，求解212E1XXXX4设YCOSLN，求Y解XCOSIN3或3ITA2COS2X5设Y是由方程4Y确定的隐函数，求D解对方程两边同时对X求微分，得022XDYYDX6设是由方程12X确定的隐函数，求Y解原方程可化为XY，1,X,DYX7设Y是由方程4E2YX确定的隐函数，求YD解方程两边同时对X求微分，得20XYED2YEXDXY8设1COSY，求解方程两边同时对求微分，得IN0XDESINYXDXY一、填空题（每小题2分，共20分）1若F的一个原函数为2LNX，则F。答案（C为任意常数）或LXC2若F的一个原函数为X2E，则F。答案XE21或43若CFD，则F答案XE或X4若F2SIN，则XF答案CO2或C5若XFLD，则F答案X16若CXF2OS，则XF答案CN47XDE2DE2答案DXE28SI答案CSIN9若CFF，则XF3答案CXF32110若FD，则XFD12答案CX122二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案AADXFFXBFCDXFFDF3若CXF2ED，则XF（）答案AA1E2XBCX2ED4若0XF，则FD（）答案AACXBCX2C23D315以下计算正确的是（）答案AA3LNDXXB1D22XCDLNX6XFD（）答案AACBCFCF12DX17XAD2（）答案CABXADLN2CDC8如果等式XFX11E，则F（）答案BA1B2CD2X三、计算题（每小题7分，共35分）1XXDSIN3解CXXOS32LNSI3或3SINLCXDX210解11222XC3XDSIN2解CX1OSSI1I24XDIN111CO2S2IN4DXC5EX解XXXDEECE四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解设矩形ABCD的一边X厘米，则60BCX厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积2,60V令X得20X当0,X时，V；当,时，V2是函数的极大值点，也是最大值点此时64答当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大320160202立方厘米V2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省2解设成矩形有土地的宽为X米，则长为X米，于是围墙的长度为432,0L令2430LX得1取正易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时168X答这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省五、证明题（本题5分）1函数XEF在（0,是单调增加的10,0,0XXFEXFE证当时当时从而函数在区间是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1_DCOSINX答案32245X答案或23已知曲线FY在任意点处切线的斜率为X，且曲线过5,4，则该曲线的方程是。答案X或3216X4若D13答案2或45由定积分的几何意义知，XAD02。答案24A6E1DLNDXX答案0702答案218微分方程0,Y的特解为答案1或XYE9微分方程3的通解为答案X3或XC10微分方程XYSIN47的阶数为答案2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2X的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）答案AAYX23BYX24C2XYD2若10DK2，则K（）答案AA1B1C0D213下列定积分中积分值为0的是（）答案AAXXD2E1BXXDE1CCOS3DSIN24设XF是连续的奇函数，则定积分AXF（）答案D5DSIN2（）答案DA0BC2D26下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DEXB0DEXC1D17下列无穷积分收敛的是（）答案BA0DINXSB02DEXC1D1X8下列微分方程中，（）是线性微分方程答案DAYYXLN2BXYE2CEDXLSI9微分方程0Y的通解为（）答案CACXBXCYD10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）答案BAYXD；BYXD；CSIN；DX三、计算题（每小题7分，共56分）1XXDE22LN0解2LN03X2LN0L1E1XXX9313332LNE或LLN20011XXXDEE25E1解217LNL5LN10EXXX3EXD10解利用分部积分法VXUVU1110001XXEEDEE42SIN002COS2CS4IN2XXD5IN222000COSSCOSSIN1XDXXDX6求微分方程1Y满足初始条件47Y的特解21,PXQX112LNLN3421PDPXDXXXXYEECEEDCXC通解即通解31YX7求微分方程X2SIN的通解。1,IPQX11LNLN2SI1SICO2PXDPXDXXXXYEQECEEDCXX通解即通解为SY四、证明题（本题4分）证明等式AAXFFXF0DD。0000AAAAAFFXDXDFF证左边右边微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。1函数及其图形本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。11函数自变量和因变量绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的有两个互相联系的变量X和Y，如果每当变量X取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定Y的对应值，我们就称Y是X的函数，并记作YF（X），（A1）其中X叫做自变量，Y叫做因变量，F是一个函数记号，它表示Y和X数值的对应关系。有时把YF（X）也记作YY（X）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号，如（X）、（X）等等。常见的函数可以用公式来表达，例如EX等等。在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如A、B、C等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量。在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如A、B、C）代表任意常量，最后面几个（X、Y、Z）代表变量。当YF（X）的具体形式给定后，我们就可以确定与自变量的任一特定值X0相对应的函数值F（X0）。例如（1）若YF（X）32X，则当X2时YF（2）32（2）1一般地说，当XX0时，YF（X0）32X012函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于我们直观地了解一个函数的特征是很有帮助的。作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量X，纵轴代表因变量（函数值）YF（X）这样一来，把坐标为（X，Y）且满足函数关系YF（X）的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌。图A1便是上面举的第一个例子YF（X）32X的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为（2，1）、（1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线。图A2是第二个例子各点连接成双曲线的一支。13物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的。下面我们举几个例子。（1）匀速直线运动公式SS0VT，（A2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置S随时间T变化的规律，在这里T相当于自变量X，S相当于因变量Y，S是T的函数。因此我们记作SS（T）S0VT，（A3）式中初始位置S0和速度V是任意常量，S0与坐标原点的选择有关，V对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。图A3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它的斜率等于V（2）匀变速直线运动公式VV0AT，（A5）两式中S和V是因变量，它们都是自变量T的函数，因此我们记作VV（T）V0TAT（A7）图A4A、4B分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线。（A6）和（A7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置S0、初速V0和加速度A都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化。例如在讨论自由落体问题时，如果把坐标原点选择在开始运动的地方，则S00，V00，AG98MS2，这时（A6）和（A7）式具有如下形式VV（T）GT（A9）这里的G可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律PVC（A10）上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P和体积V之间的函数关系，式中的C是任意常量。我们可以选择V为自变量，P为因变量，这样，（A10）式就可写作它的图形和图A2是一样的，只不过图中的X、Y应换成V、P在（A10）式中我们也可以选择P为自变量，V为因变量，这样它就应写成由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的。（4）欧姆定律UIR（A13）当我们讨论一段导线中的电流I这样随着外加电压U而改变的问题时，U是自变量，I是因变量，R是常量。这时，（A13）式应写作即I与U成正比。应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的。例如，当我们讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A13）式中的电流I成了常量，而R是自变量，U是因变量，于是UU（R）IR，（A15）即U与R成正比。但是，当我们讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A13）式中的U就成了常量，而R为自变量，I是因变量，于是即I与R成反比。总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据我们所要讨论的问题来具体分析。2导数21极限如果当自变量X无限趋近某一数值X0（记作XX0）时，函数F（X）的数值无限趋近某一确定的数值A，则A叫做XX0时函数F（X）的极限值，并记作（A17）式中的“LIM”是英语“LIMIT（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当X趋近X0时，F（X）的极限值等于A”。极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。考虑下面这个函数这里除X1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当但是若问X1时函数值F（1）我们就会发现，这时（A18）式的说是没有意义的。所以表达式（A18）没有直接给出F（1），但给出了X无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当X的值从小于1和大于1两方面趋于1时F（X）值的变化情况表A1X与F（X）的变化值X3X2X2X10904701470990049700149709990004997000149970999900004997000014999711053015310105030015031001000500300015003100010000500030000150003从上表可以看出，X值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是X1时F（X）的极限值。其实计算F（X）值的极限无需这样麻烦，我们只要将（A18）式的分子作因式分解3X2X2（3X2）（X1），并在X1的情况下从分子和分母中将因式（X1）消去即可看出，X趋于1时函数F（X）的数值趋于3125。所以根据函数极限的定义，22几个物理学中的实例（1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离S来描述。在运动过程中S是随时间T变化的，也就是说，S是T的函数SS（T）函数S（T）告诉我们的是这个物体什么时刻到达什么地方。形象一些说，假如物体是一列火车，则函数S（T）就是它的一张“旅行时刻表”。但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，我们还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等。为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从TT0到TT1的一段时间间隔，则这间隔的大小为TT1T0根据S和T的函数关系S（T）可知，在T0和T1T0T两个时刻，S的数值分别为S（T0）和S（T1）S（T0T），即在T0到T1这段时间间隔里S改变了SS（T1）S（T0）S（T0T）S（T0）在同样大小的时间间隔T里，若S的改变量S小，就表明物体运动得慢，举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A4）式有所以体在TT0时刻的瞬时速率V，即对于匀变速直线运动来说，这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5）。（2）瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率V也是T的函数VV（T）但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，我们还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。类似。在直线运动中，首先取一段时间间隔T0到T1，根据瞬时速率V和时间T的函数关系V（T）可知，在TT0和TT1两时刻的瞬时速率分别为V（T0）和V（T1）V（T0T），因此在T0到T1这段时间间隔里V改变了VV（T0T）V（T0）举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A5）式有所以平均加速度为时的极限，这就是物体在TT0时刻的瞬时加速度A（3）水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动。为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把X坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图A5），于是各处渠底的高度H便是X的函数HH（X）知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念。譬如说，若逆水渠而上，渠底在100M的距离内升高了20CM，人们就说这水渠的坡度是大小反映着高度随长度变化的快慢程度。如果用数学语言来表达，我们就要取一段水渠，设它的两端的坐标分别为X0和X1，于是这段水渠的长度为XX1X0根据H和X的函数关系H（X）可知，在X0和X1X0X两地H的数值分别为H（X0）和H（X1）H（X0X），所以在X这段长度内H改变了HH（X0X）H（X0）根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为在前面所举的数字例子里，X采用了100米的数值。实际上在100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同。为了更细致地把水渠在各处的坡度反就愈能精确地反映出XX0这一点的坡度。所以在XX0这一点的坡度K应是23函数的变化率导数前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是T，第三个例子中自变量是X这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率”概念。当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示。例如，当自变量X的数值由X0变到X1时，其增量就是XX1X0（A25）与此对应。因变量Y的数值将由Y0F（X0）变到Y1F（X1），于是它的增