新课标高中数学必修1第一章_集合与函数概念精讲

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函数值组成的集合；（2）函数Y答案（1）Y|Y2；（2）X|X3的自变量的值组成的集合X224Z，试用列举法表示集合AX3答案1,2,4,5,7提示分X31,2,4等情况9已知集合AXN|探究创新10给出下列集合X1X2且X，Y|X1，Y1，X2，Y3；X,YY1Y3X1X2或X,Y；X，Y|X12Y12X22Y320Y1Y3其中不能表示“在直角坐标系XOY平面答案提示集合与是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合表示整个坐标平面；集合不能表示点（1，1）、（2，3），集合能表示所指定的集合第2讲112集合间的基本关系学习目标理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用VENN图表达集合间的关系知识要点1一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（SUBSET），记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）2如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB3如果集合AB，但存在元素XB，且XA，则称集合A是集合B的真子集（PROPERSUBSET），记作AB（或BA）4不含任何元素的集合叫作空集（EMPTYSET），记作，并规定空集是任何集合的子集5性质AA；若AB，BC，则AC；若ABA，则AB；若ABA，则BA例题精讲【例1】用适当的符号填空（1）菱形平行四边形；等腰三角形等边三角形2（2）XR|X20；0；0；N解（1），；（2），【例2】设集合AX|XABCD易知BA，故答案选AN1,NZ,BX|XN,NZ，则下列图形能表示A与B关系的是（）22BABAB3212123232113222解简单列举两个集合的一些元素，A,1,0,1,，B,，2N1,NZ，易知BA，故答案选A2【例3】若集合MX|X2X60,NX|AX10，且NM，求实数A的值另解由BX|X2新课标高中数学必修精讲精练精讲第一章集合与函数概念解由X2X60X2或3，因此，M2,3（I）若A0时，得N，此时，NM；（II）若A0时，得N若NM,满足故所求实数A的值为0或1A11112或3，解得A或AAA2311或23点评在考察“AB”这一关系时，不要忘记“”，因为A时存在AB从而需要分情况讨论题中讨论的主线是依据待定的元素进行【例4】已知集合AA,AB,A2B，BA,AX,AX2若AB，求实数X的值解若ABAXA2BAX2AAX22AX0,所以AX120，即A0或X1当A0时，集合B中的元素均为0，故舍去；ABAX2当X1时，集合B中的元素均相同，故舍去若2AX2AXA0A2BAX1因为A0，所以2X2X10,即X12X10又X1，所以只有X21经检验，此时AB成立综上所述X2点评抓住集合相等的定义，分情况进行讨论融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合第2练112集合间的基本关系基础达标1已知集合AXX3K,KZ,BXX6K,KZ,则A与B之间最适合的关系是（D）AABBABCABDAB2设集合MX|1X2，NX|XK0，若MN，则K的取值范围是（D）AK2BK1CK1DK23若A2,0,1A,B,0，则A2007B2007的值为（A）A0B1C1D2K1K1,KZ,NX|X,KZ若X0M，则X0与N的关系是（A）2442AX0NBX0NCX0N或X0ND不能确定5已知集合PX|X21，集合QX|AX1，若QP，那么A的值是（D）4已知集合MX|XA1B1C1或1D0，1或16已知集合AA,B,C,，则集合A的真子集的个数是7个B7当1,A,0,A2,AB时，A_，B_1，0A能力提高8已知A2,3，M2,5,A23A5，N1,3,A26A10，AM，且AN，求实数A的值答案A2提示联合A23A52及A26A102求解9已知集合AX2X5，BXM1X2M1若BA，求实数M的取值范围答案M3（注意区间端点及B）探究创新10集合S0，1，2，3，4，5，A是S的一个子集，当XA时，若有X1A且X1A，则称X为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集解依题意可知，“孤立元素X”是没有与X相邻的，非“孤立元素X”是指在集合中有与X相邻的元素因此所求问题的集合可分成如下两类（1）4个元素连续的，有3个0，1，2，3，1，2，3，4，2，3，4，5；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个0，1，3，4，1，2，4，5，0，1，4，53学习目标理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用VENN图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用知识要点集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次下例题精讲【例1】设集合UR,AX|1X5,BX|3X9,求AB,AB解在数轴上表示出集合A、B，如右图所示ABX|3X5，CUABX|X1,或X9，【例2】设AXZ|X|6，B1,2,3,C3,4,5,6，求（1）ABC；（2）AABC解A6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6（1）又BC3，ABC3；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得CABC6,5,4,3,2,1,0ACABC6,5,4,3,2,1,0【例3】已知集合AX|2X4，BX|XM，且ABA，求实数M的取值范围解由ABA，可得AB在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示由图形可知，M4得到各端点之间点评研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，的关系，特别要注意是否含端点的问题【例4】已知全集UX|X10,且XN，A2,4,5,8，B1,3,5,8，求CUAB，CUAB，CUACUB，CUACUB，并比较它们的关系解由AB1,2,3,4,5,8，则CUAB6,7,9由AB5,8，则CUAB1,2,3,4,6,7,9由CUA1,3,6,7,9，CUB2,4,6,7,9，则CUACUB6,7,9，CUACUB1,2,3,4,6,7,9由计算结果可以知道，CUACUBCUAB，CUACUBCUAB另解作出VENN图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果点评可用VENN图研究CUACUBCUAB与CUACUBCUAB，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题第3练113集合的基本运算（一）基础达标1已知全集U1,2,3,4,5,6,7,A2,4,5，则CUA（C）AB2,4,6C1,3,6,7D1,3,5,72若AX|0XBX|1X2，则AB（D）4新课标高中数学必修精讲精练精讲第一章集合与函数概念AX|XBX|X1CX|1XDX|0X23右图中阴影部分表示的集合是（A）AACUBBBCUACCUABDCUAB4若A0,1,2,3,BX|X3A,AA，则AB（C）A1,2B0,1C0,3D35设集合MX|1X2,NX|XK0，若MN，则K的取值范围是（B）AK2BK1CK1D1K26设全集UXN|X8，A1,3,5,7，B2,4,5,则CUAB67已知集合MX,Y|XY2,NX,Y|XY4，那么集合MN3,1能力提高8设全集UX|0X10,XN，若AB3，ACUB1,5,7，CUACUB9，求集合A、B答案A1，3，5，7，B2，3，4，6，8提示由VENN图可知9设UR，AX|2X4，BX|82X3X7，求CUAB、CUACUB答案X|X4,X|X4探究创新10设集合AX|X4XA0,AR，BX|X1X40（1）求AB，AB；（2）若AB，求实数A的值；（3）若A5，则AB的真子集共有个,集合P满足条件ABPAB，写出所有可能的集合P解（1）B1,4当A4时，A4，则AB1,4，AB4；1,4，AB1,4；1,4,A当A1时，A1,4，则AB当A1且A4时，A4,A，则AB（2）若AB，由上易知A4或A1（3）当A5时，A1,5，AB1,4,5，其真子集有7个，AB4AB4，则满足4刎P1,4,5的集合P有1,4,4,5第4讲113集合的基本运算（二）学习目标掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法知识要点1含两个集合的VENN图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果我们需通过VENN图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算通过图形，我们还可以发现一些集合性质CUABCUACUB,CUABCUACUB2集合元素个数公式NABNANBNAB3在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等也常由新的定义考查创新思维例题精讲【例1】设集合A4,2A1,A2,B9,A5,1A，若AB9，求实数A的值解由于A4,2A1,A2,B9,A5,1A，且AB9，则有解得A5，此时A4,9,25，B9,0,4，不合题意，故舍去；当2A19时，当A29时，解得A3或3A3时，A4,5,9，B9,2,2，不合题意，故舍去；A3，A4,7，9，B9,8,4，合题意所以，A3514解B1,4当A3时，A3，则AB1,3,4，AB；当A1时，A1,3，则AB1,3,4，AB1；当A4时，A3,4，则AB1,3,4，AB4；当A3且A1且A4时，A3,A，则AB1,3,4,A，AB点评集合A含有参数A，需要对参数A进行分情况讨论罗列参数A的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则【例3】设集合AX|X24X0，BX|X22A1XA210，AR，若ABB，求实数A的值解先化简集合A4,0由ABB，则BA，可知集合B可为，或为0，或4，或4,0I若B，则4A124A210，解得A1；II若0B，代入得A210A1或A1，当A1时，BA，符合题意；当A1时，B0A，也符合题意III若4B，代入得A28A70A7或A1，当A1时，已经讨论，符合题意；当A7时，B12，4，不符合题意综上可得，A1或A1点评此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了AB和B的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题X|X且,AX，B当集合AX|X【例4】对集合A与B，若定义AB，8,XN集合BX|XX2X5X60时，有AB（由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为CUAX|X,且XA”而拓展）解根据题意可知，A1,2,3,4,5,6,7,8，B0,2,5,6由定义ABX|XA,且XB，则AB1,3,4,7,8点评运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性113集合的基本运算（二）基础达标1已知集合A1,2,4,BXX是8的正约数,则A与B的关系是（B）AABBABCABDABABCABC的值所组成的集合为M,则下列判断正确的是（D）|A|B|C|ABC|A0MB4MC2MD4M3（08年湖南卷文1）已知U2,3,4,5,6,7，M3,4,5,7，N2,4,5,6，则（B）2已知A,B,C为非零实数,代数式AMN4,6BMNUCCUNMUDCUMNN4定义集合A、B的一种运算ABXXX1X2,其中X1A,X2B，若A1,2,3，B1,2，则AB中的所有元素数字之和为（B）A9B14C18D215设全集U是实数集R，MX|X24与NX|X3或X1都是U图所示），则阴影部分所表示的集合为（A）AX|2X1BX|2X2CX|1X2DX|X26已知集合AX1X1，BXXA，且满足AB，则实数A的取值范围是A17经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为80提示结合文氏图，易知NABNANBNAB，则653520806的子集（如右新课标高中数学必修精讲精练精讲第一章集合与函数概念能力提高8已知集合AX|X2PXQ0，BX|X2PX2Q0，且AB1，求AB答案AB2,1,49已知集合U2,3,A22A3，A|A1|，2，CUAA3，求实数A的值答案A2提示由集合元素的特征列方程组而解探究创新10（1）给定集合A、B，定义ABX|XMN，MA，NB若A4，5，6，B1，2，3，则集合AB中的所有元素之和为（）A15B14C29D14（2）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算ABX|XA，或XB,且XAB，则ABA等于（）AABBCDAUABUB（3）已知集合AX|X2N且X3N，NN，XN，X100，试求出集合A的元素之和答案（1）AB3，4，5，2，1，3452115答案选A（2）先将AB化简即得ABX|XAB，且XABABABABAX|XABA，且XABAX|XAB，且XAABB（3）S123100612189650508164234第5讲121函数的概念学习目标通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域知识要点1设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系F，使对于集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数Y和它对应，那么就称FAB为从集合A到集合B的一个函数（FUNCTION），记作YFX，XA其中，X叫自变量，X的取值范围A叫作定义域（DOMAIN），与X的值对应的Y值叫函数值，函数值的集合FX|XA叫值域（RANGE）2设A、B是两个实数，且AB，则X|AXBA,B叫闭区间；X|AXBA,B叫开区间；X|AXBA,B，X|AXBA,B，都叫半开半闭区间符号“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“”读“正无穷大”则X|XAA,，X|XAA,，X|XB,B，X|XB,B，R,3决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数例题精讲【例1】求下列函数的定义域（1）Y1；（2）YX21解（1）由X210，解得X1且X3，所以原函数定义域为,33,11,X30，解得X3且X9，20所以原函数定义域为3,99,（2）由【例2】求下列函数的定义域与值域（1）Y3X2；（2）YX2X254X55解（1）要使函数有意义，则54X0，解得X所以原函数的定义域是X|X4470，所以值域为Y|Y54X454X454X454X444199（2）YX2X2X2所以原函数的定义域是R，值域是,2441X【例3】已知函数F（1）F2的值；（2）FX的表达式X求1X1X11解（1）由