有关圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论一、椭圆1以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离2以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切3设P点是椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记2XYA，则1212F212|COSPF12TANPFSB4椭圆（AB0）的焦半径公式XY,1|ME20|EX12,00,MXY5若P为椭圆（AB0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,Y,，则12F21FTANT2CO6设椭圆（AB0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上2XY任意一点，在PF1F2中，记,，则有12P12P12FPSINCEA二、双曲线1以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交2以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切P在右支；外切P在左支）3设P点是双曲线（A0,B0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其2XYB焦点记，则1212F212|COSBPF12COTPFSB4双曲线（A0,BO）的焦半径公式XYB当在右支上时，,0,M10|MEXA20|EXA当在左支上时，,5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式21122ABKXYK三个常用结论一、通径经过抛物线的焦点，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于2YPXF两点，线段叫做抛物线的通径类似的，过椭圆（双曲线）的焦点，作垂直于长12P，12P轴（或实轴）的直线，直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”抛物线的通径长为2P，椭圆和双曲线的“通径”长都是圆锥曲线的“通径”是一条2BA重要的线段，值得我们重视二、焦半径圆锥曲线上的点到其焦点的距离称做圆锥曲线的焦半径凡是遇到圆锥曲线上的点到其焦点距离的有关问题，可考虑使用焦半径公式来处理1椭圆的焦半径公式若椭圆的两个焦点为210XYAB是椭圆上任一点，则该椭圆的焦半径为8，1200FCPXY，10PFAEX20PAE2双曲线的焦半径公式若双曲线的焦点坐标是和210XYABB，10C，是双曲线上任一点，则该双曲线的焦半径，20FCXY，10PFAEXPAE3抛物线的焦半径公式若抛物线的焦点为是20YPX02PMXY，抛物线上任意一点，则该抛物线的焦半径0MF三、焦点三角形椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫做焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫做焦点直角三角形性质是椭圆（，是半焦距）或双曲线（P21XYAB0ACBC21XYAB是半焦距）上的一点，是原点，是椭圆或双曲线的两个焦点0ABC，OEF1若，则（1）对于椭圆，；EFC2TANPS2）对于双曲线，C2COTEPFSB2若，则；0A2CA3若，则；0PEF2PEFB2PYC三抛物线一,直线L交抛物线于A（）、B（）两点，O为02PXY1YX2YX原点。若OAOB，则直线L经过定点（2P，0），反之214P亦然（证明略）。二,过抛物线的焦点F的直线L交抛物线于A（）、02PXY1YX，B（）两点，2X，结论抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。结论设，O为原点，则有（1）；NFBMA|，421PX（2）；（3）；（4）。证明略。21PYBAKNM结论3以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。结论以抛物线焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。结论抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴的交点连线所成的角被对称轴平分。结论抛物线焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛