二次回归正交组合设计及其统计分析

二次回归正交组合设计及其统计分析一、组合设计（一）组合设计的概念组合设计在自变量（因素，也称因子）空间中选择几种类型的点，组合成的试验计划。（P31）由于组合设计可选择多种类型的点，而且有些类型的点的数目（试验处理数）又可适当调节，因此组合设计在调节试验处理数N（从而在调节剩余自由度）方面，要比全面试验灵活得多。（二）组合设计的组成二次回归正交组合设计试验方案由三种类型的点组成，即式中N为处理组合数；为二水平析因点，（P为因素个数）；为轴点，；为中心区（或原点）。二水平析因点（）这些点的每一个坐标（自变量）都各自分别只取1或1；这些试验点的数目记为。当这些点组成二水平全面试验时，。而若这些点是根据正交表配制的二水平部分实施（1/2或1/4等）的试验点时，。调节了这个，就相应地调节了剩余自由度。轴点（）这些点都在坐标轴上，且与坐标原点（中心点）的距离都为。也就是说，这些点只有一个坐标（自变量）取或，而其余坐标都取零。这些点在坐标图上通常用星号标出，故又称星号点。其中称为轴臂或星号臂，是待定参数，可根据下述正交性或旋转性要求而确定。这些点的数目显然为2P，记为。原点（）又称中心点，即各自变量都取零水平的点，该试验点可作1次，也可重复多次，其次数记为。调节，显然也能相应地调节剩余自由度。（三）试验点（处理）的分布情况1、P2（二因素）的分布情况（1）处理组合数若1，处理组合数为9，即（2）处理组合表221。（P32）（3）处理组合分布图221。（P31）二因素（X1、X2）二次回归组合设计的结构矩阵如表222。（P32）2、P3（三因素）的分布情况（1）处理组合数若1，处理组合数为15，即（2）处理组合表P3（X1、X2、X3）二次回归正交组合设计，由15个试验点组成。如表223所示。（P33）（3）处理组合分布图222。（P32）三因素（X1、X2、X3）二次回归组合设计的结构矩阵如表224。（P33）（四）组合设计的优点1、试验处理数少。2、保持一定剩余自由度，以便进行显著性检验。（五）组合设计正交性的实现1、组合设计的正交性部分保持正交，部分失去正交。保持正交部分失去正交部分平方项2、正交的实现（1）选取适当的轴臂可用下式计算为了设计方便，将由上式计算出不同P及的值列于表225。（P3435）（2）对平方项进行中心化变换为了获得正交性，将平方项进行中心化变换，中心化变换值以表示这样变换后的项之间正交和之间正交例P2，1，查值表225，得1，则中心化变换为的中心化变换为的中心化变换为于是得中心化变换后的二元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表226。（P35）P3，1，查值表225，得1215，则中心化变换为类似地可得出三元二次回归正交组合设计的结构矩阵列于表227。（P3536）三、二次回归正交组合设计示例例22某玉米氮肥、磷肥、钾肥配比试验，试进行二次回归正交组合设计，并对试验结果进行统计分析。（P38）（一）设计试验处理方案1、拟定每个因素的上下水平以该因素零水平施肥量为最佳施肥量为依据来确定上下水平。上水平高于最佳施肥量，比零水平高1/31/2左右。下水平低于零水平，可采用较少的施肥量或不施肥。本例氮、磷、钾肥上下水平列于表229。（P38）2、计算零水平3、计算变化间距把上水平和零水平之差以参数除之称为因素的变化间距，以表示。定义式为式中值是为了使试验计划获得正交性的一个待定参数。其值可从表225。（P34）查出。本例P3，1，则1215，则计算为4、对每个因素各水平取值进行编码变换所谓编码就是对因素水平的取值作如下的线性变换这样，就建立了各因素与取值的一一对应关系，得到如表228的因素水平编码表（P36）本例每个因素为5个水平，即，1，0，1，氮肥各水平编码值相应施肥量计算为NP2O5K2O将算出的氮、磷、钾各水平编码值相应的施肥量列于表2210。（P39）5、拟定试验处理方案根据本例（三元二次回归正交组合设计）的要求，选用表227（P35），将自变量各编码值相应肥料施用量填入表227的X1、X2、X3编码值中，即设计成试验处理组合方案列于表2211。（P39）（二）试验结果的统计分析试验结果列于表2212。（P3940）1、建立三元二次多项式回归方程如果研究P个因素，采用二次回归正交组合设计具有N个处理，其试验结果以表示，则二次回归的数学模型为为了消除平方项与常数项间的相关性，对平方项进行中心化变换，则数学模型变为用样本估计时当P3时，三元二次回归方程为要建立二次回归方程，必须计算出回归统计数。由于二次回归的正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵A为于是二次回归方程的回归统计数，则本例（1）列表计算回归统计数根据试验结果列表计算各回归统计数于表2212。（P3940）计算表的计算方法为计算计算计算计算2建立三元二次多项式回归方程表中由下式计算于是玉米氮、磷、钾肥试验三元二次多项式回归方和为（P40）2、回归关系的显著性检验（F检验）（1）第一次F检验计算平方和计算自由度列出F检验表2113。（P40）推断经F检验显示，总回归达025显著，说明氮肥、磷肥、钾肥与玉米产量之间存在基本显著的回归关系。其中一次项X1达显著，X2达025显著，互作项X1X3、X2X3以及平方项X3均不显著（F值均小于1）。由于试验计划具有正交性，消除了回归系数之间的相关性，故可以直接把它们从回归方程中除去，将平方和及自由度并入剩余项，而互作项X1X2和平方项X1、X2的F值大于1，接近025显著，故可保留在回归方程中，进行第二次方差分析。（2）第二次F检验计算平方和计算自由度列出F检验表2114。（P41）推断第二次F检验显示，总回归达显著，说明X1（氮）、X2（磷）与玉米产量之间存在显著的回归关系。其中一次项X1达极显著，X2达显著，互作项X1X2以及平方项X1、X2达025显著。说明该试验结果宜用二元二次多项式表达。3、配置二元二次多项式回归方程（1）计算（2）建立二元二次多项式回归方程三、多项式回归方程的应用（一）计算最佳施肥量及产量预报1、计算最佳施肥量（1）求Y对XI的一阶偏导数对二元二次多项式回归方程求Y对XI的一阶偏导数。求Y对的一阶偏导数求Y对的一阶偏导数（2）求常数项最佳施肥方案是边际产值等于边际成本时的施肥量，它受边际产值、产品价格、肥料价格的制约。因此，有以下关系式式（2213）中，和是氮、磷的边际产值，为氮（N）和磷（P2O5）的价格，均为300元/KG，为产品玉米的价格，为080元/KG，于是可建立如下方程组（3）建立联立方程组经整理得如下联立方程组解此方程组得，