《线性代数》-近年统考题的答案与提示

试卷（一）一填空题（共20分）1若是6阶方阵的伴随矩阵，且_0_A,4ARANKRANK则注054ARANK阶子式全为的所有2设，则COSSII1COSSINIC103设是的子空间，则V的维数是2_32|,1321XXVT（3R4对称矩阵A的全部特征值为4,5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则EA常数必须大于数值_5_5已知阶矩阵,则矩阵的逆是N100010A,A10010322131NA_二选择题（共20分）1若是阶方阵,下列等式中恒等的表达式是（D）BA,NA；B；211BAC）；D|2若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是DANAA的列向量构成单位正交基；B的行向量构成单位正交基；AC；DTA11DETA3若是空间的一个维子空间,是的一组基是空间1VNRKK,21V2的一个维子空间,是的一组基,且则MRKK21,NKM（D）A向量组可以由向量组线性表示；K,21K,21B向量组可以由向量组线性表示；C向量组与向量组可以相互线性表示；K,21K,21D向量组与向量组不能相互线性表示K,21K,21（注与的维数不同）II4若是实对称方阵A的两个不同特征根,是对应的特征向量,则21,21以下命题哪一个不成立CA都是实数；B一定正交；21,21,C有可能是的特征向量；D有可能是的特征根A5已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的AN,KARANBX个线性无关解为则的通解为D1KN,121KBXA；KNCC21B；1KNC；11211KNKNKNCCCD1KNKN（注为对应齐次方程的基11211,KNKNKN0AX础解系）三解下列各题共25分1若为3阶方阵,且,求A21A1A解因为所以,|141|8|21311A2设,求矩阵11AN,2解,202401112EA若N为偶数,设则,MN222EEANMM若N为奇数,设则,1122212AANMM3计算向量在基下的T4,1TTT1,10,321坐标答案为524设向量组,64,2,120,3,42,31,30,1421TTTT求向量组的一个最大线性无关组此题作法参考51页例55利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵10423A解记,其中则210A,3211002/121A四证明题8分设维向量组和向量组有关系NN,21N,21121321NN问维向量组和向量组是否同秩证明你的结论N,21,证明维向量组和向量组是同秩的下面证明之NN21由已知条件有,21NN,210110,P01100100110110110101DET可逆PNNNNNNPN于是从而向量组和向量组,1212NNN,21可以互相线性表示,即等价,故和1的秩相同N,2五8分二次型通过,0,232,3214321XXXF正交变换,可将此二次型化为标准形求参数及所用正5YYF交变换解的矩阵为，由标准型知A的三个特征F302A2321YYF值为1，2，5由知A的三个特征03230E值为又于是，于是3,2,0320A对，对应特征向量，单位01201,1AE10化对，对应特征,2123021201AE向量，取对，对0225301203EA应特征向量，单位化，于是所用正交变换为132103210,QYX其中六8分求线性方程组213204141XX的通解答案通解为0210124321CX七6分解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程02134010X解X110234011上式中,对左乘初等矩阵,相当于对矩阵0213410交换第1,2两行,得矩阵,右乘初等矩阵02234相当于再对矩阵交换第2,3两列,得矩阵,0102134即有,243X八5分设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明AA4321,1方阵有四个线性无关的特征向量2方阵可以对角化证明1的证明仿照P64定理22取为分别对应于0不同特征值的特征向量,4321,X4321,则线性无关X取,则,4321XP43210PA可对角化A432110试卷二部分解答一（3）已知向量组线性相关,求TTTT21,32,301T解线性相关可求出321,0,DET312T415T二8分设,且求矩阵B20A,BAT解,BTTE可逆,且,1023EA502131A于是148213521TB五8分求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系18257,4320541XX与56页例8类似作六8分求出把二次型化为标3231212321XXXAF准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围FA解二次型的矩阵为3231212321XXXAF由A,0211|AAAE得特征值2,321对,21A,011AE可得的一个基础解系为0X,1,21X正交化取/021,011221X对,23A,21AE可得的一个基础解系为0X13X将分别单位化,得321,3/1/,6/2/,0/13取正交变换,则此正323212132/,YYX交变换将二次型化为标准形F12221AYAF正定F201AA且七10分设三阶实对称矩阵的特征值为3二重根、4一重根,A是的属于特征值4的一个特征向量,求T2,1A解设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特A321XX征值对应的特征向量正交,则有即此方,0,10231X程的一个基础解系为则为的属于特征值3,2,121,A的两个线性无关的特征向量,于是121212121,304,304,A10分当为何值时,方程组BA,23102,41XX有惟一解、无穷多解、无解解记,23104,312BAABAA系数行列式,DETA1当时,由克莱姆法则知方程组有惟一解31,0AB,0DETA2当时,于是0B,8013423014AAA方程组无解RANKR3当时,31,0B8013223104/231BBAR,0/48023212RBRI当时,方程组有无穷多解7BARANKRII当时,方程组无解1232九10分每小题5分,共10分证明下列各题1设是可逆矩阵,证明也可逆,且A,BA1BA2设是非零向量,证明是矩阵的特征向量1NNT证明1由于,则存在可逆矩阵使得于是由可逆知,P,1A也可逆,且BPA1111B2设记,0,022NNBA,212121NNTBAABK由知为的属于的特征向量KTTTK试卷三部分解答一12320621NNBARAKR451,2,38T二1D2A3D4D5D三11|123EAAET2参考P7例43由有BA1034210203121E六证明设,21BAAR则02121ARR于是,ARR即但因此021ABAR,从而有AR021RAA又线性无关,因此于是R,21R故有线性无关0B,21R试卷四解答一填空题1RANKARANKA|B2COS207SIN207ICO33142IT450二选择题1D2D3C4都对5A三解答题1设向量在基下的坐标为，则123,123,TX1232,X31512X632X210410202111AEABBA则3138240353155127916729153为范德蒙行列式）4对A作行初等变换TTTARANK0,31,9,46,3,210583294178096324132一个基5记NNNNNBAABBBARRRABABBD00,021011322102011按最后一列展开,0011000011210102101012011NNNNNNNNNNDBABAABBABABABD由此得递推公式2101NNBABD递推可得211210120112011DBABABABADDNNNNNNN其中01102故1211210201NNNNNBABABABAD四证明000100,001,2121321323212132KKKKKKAXAKKKAKKKKKRRRRRRRRRR线性无关，又）（）得由（所以故的解不是故的解为方程，又对上式作用得用矩阵使得零的数关，则存在一组不全为反证假设它们线性相六解将方程组的增广矩阵化