工科数学分析-2012级工科数分(上)期中考试卷(附解答)

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试工科数学分析20122013学年第一学期期中考试卷注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上或答题纸上；3考试形式开（闭）卷；4本试卷共5个大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评卷人一、单项选择题（每小题3分，共15分）请把正确答案写在括号内1下列说法中哪个不能作为的等价定义（C）。LIMNXAA；0,N当时有B；,NXAK当时有其中为某个正的常数C；,NX数列中有无穷多项落在中D。0,数列中只有有限项落在之外2设则的所有间断点及其类型是A。1,0,LNXEFXFA是的无穷间断点,是的跳跃间断点；1FFB是的跳跃间断点,是的可去间断点；X0XC是的跳跃间断点；D是的可去间断点。0FFX3设在的某邻域内有定义,则在可导的一个充分条件是D。XAFA1LIMHAFFAH存在02LIMHFFAHB存在0LI2HFAFC存在0LIHFFD存在_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线4设在区间的大小顺序0,10,101FXFFF上则或是（B）。AFFBFF1010C1010DF5设函数的导数在处连续，又，则（B）FXALIMXAFA是的极小值点；B是的极大值点；AFC是曲线的拐点；,FYFXD不是的极值点，也不是曲线的拐点。XF,AFYFX二、填空题（每小题3分，共15分）极限1；2221LIMNNN设函数阶无穷小；TASI,0,_3FXXFX则时是的设所确定,则曲线处的切线方程CO1XYYEE由方程0,1YX在为；10X曲线有两_个拐点；223YX设，则。EXNXNDYED三、计算题（每小题8分，共32分）求极限。10LIMXXE解02001LNIMLI1LIM23468XXXEE原式分分分分2设。114,2,3LIMNNNXXX求10,23NNNXXX解由题意可知且即数列有下界分1112,0,6NNNNXX结合知道即数列单调减少分从而存在LIMNX13,2LI8NNXX在等式两边取极限得到分3设存在且不为零,求,FTFTY其中2DYX2318DTXYFT解分分4设其中连续,且,0,0,XGEFXGX01,G,12,FFX求讨论在上的连续性20,2XGEGEXF解时分2001,LIM4XXF时分2,XF时连续5分200,LILI01M7,8XXXXXXGEGEFFF在处分所以在上连续分四、证明题（每小题10分，共30分）1设函数上满足李普希兹条件,FXAB在是常数，证明上一致,FXYXYABLL其中,FX在连续。证明0,3,9,10LXYABXYF分当时有分所以在上一致连续分2设函数在区间上连续，在内可导，且，FX0,10,101F，试证（1）存在，使；（2）对任意实数，必2F,2F存在，使得。0,1FF证明1,0,10,2FXFFXF令则在上连续且利用闭区间上连续函数的零点定理至少存在，使4分,12F2,60,08,01XXFEFF令分则在上连续在内可导又分利用ROL定理知道存在使得即分3设在上二阶可导，且满足条件为非负FX0,FXAFBA其中和常数，证明对。,12BFX有证明212,014XFTYLORFFXXF对将和在处作一阶展开分分将上两式相减,得到2221016FFFXFXX分由于,AXB所以2221201,0,FFFFFXXBBAXA分五、应用题（共8分）求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的半径为R解设圆柱体的高为半径为则圆柱体的体积为2,H,R22,VRHRH又即