【精品】中央电大《经济数学基础》教学建议31

中央电大经济数学基础教学建议李木桂广东电大经济数学责任教师经与中央电大责任教师联系，以后试题将与2007年1月试题结构一样，重点相同。由于单项选择题与填空题涉及知识面较宽，下文仅略作介绍，重点放在计算题与应用题上。下面结合沟通的结果，按各章顺序提出教学建议微分学第1章函数考试知识点定义域，经济函数，函数值，已知复合函数求原来函数，判断函数异同，函数的奇偶性1、定义域求定义域主要围绕以下几个方面考虑有分式时，其分母不为0；有对数时，其真数大于0；有开平方时，平方根内的表达式非负。注意定义域通常用区间表示。2、经济函数（1）对于需求函数，要求能由需求函数写出价格函数。（2）对于成本函数，在给定固定成本和单位变动成本时，能写出成本函数；其它类型的成本函数通常是直接给出的。（3）在已知成本函数时能写出平均成本函数。（4）收入函数价格销售量，在给出价格（或需求函数）时，能写出收入函数。（5）利润函数收入函数成本函数，能写出利润函数。如某企业生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一件产品的成本为60元，这种产品的需求函数为Q100010P（Q为需求量，P为价格），求成本函数，收入函数和利润函数。解成本函数CQ200060Q元从需求函数可得价格函数P10001Q收入函数RQPQ100Q01Q2元利润函数LQRQCQ40Q01Q22000元3、函数值包括初等函数和分段函数的函数值。4、由复合函数求原来函数如已知，求FX23FXX解法一（特殊解法）2223FFXX解法二（配方法）422FX解法三代换法设X2T,则XT2，代入得2FXX2223,FTTTFX5、判断函数异同只有当函数定义域及对应规则两要素都相同时，它们才是相同的。6、函数的奇偶性首先要记住定义；其次是记住一些常见的奇、偶函数，并利用奇、偶函数的四则运算来判断奇偶性。常见奇函数等；32,SINTA,COT,LN1XXXAX常见偶函数等（其中C是常数）。22COXF如是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数。31YXYECOSY注意经济函数中的成本函数、收入函数及需求函数、平均成本函数是本课程的重点内容，要切实理解。基本初等函数主要掌握定义，复合函数分解主要是为求导数作准备的，同样需要切实掌握。微分学第2章极限、导数和微分考试知识点极限计算，复合函数求导或微分，切线方程，切线斜率，二阶导数，无穷小量，导数值本章重点复合函数求导（计算题10分）。1、极限的计算只需考虑可能在单项选择题或填空题中出现的简单情形。极限的计算侧重掌握因式分解法、有理化法及利用两个重要极限计算的方法。（1）类型通常是化为无穷小来计算，即有分式时，分子、分母同时除以最高次幂；X或利用第二个重要极限来计算。LIM1XKXE（2）类型当没有分母或分母极限不为0时，可利用连续性，直接将X0代入；当分母极限0为0而分子极限不为0时，直接得出结果；当分子、分母极限均为0时，可利用因式分解、有理化或第一个重要极限来计算；当出现的情形时应先通分。2、复合函数的导数（或微分）计算（隐函数的导数或微分，只要求作形成性考核）这部分是微积分最重要的内容，首先要记熟导数公式与法则，然后套用；其次是对简单函数要会求导数值、微分及二阶导数。教材中有大量的例题与习题，这里仅列举几个例子（1）设，求DY。2XYE解222XXXEDYE（2）设，求。1COS4LN3XYE,解先化简得，注意常数导数为0，故有X。I,16COS4XYE（3）设，求。2LN1,Y解。222,11XXXY3、导数的几何意义主要是会求切线方程或切线斜率。4、无穷小量要注意与重要极限的区别，以下几个结论要特别注意00SINSILM1,L,LIMSN,LISN1XXXX5、连续的概念要注意如下问题设在X0连续，则K。（答案）120XFXK2E（这里利用连续性的定义，有）1200LIMLIXXXKFF微分学第3章导数应用考试知识点需求弹性，求最大利润时的产量及最大利润，求最小平均成本时的产量及最小平均成本，驻点与极值点，单调区间，单调性。本章的重点最值应用题（20分）。1、求最大利润（最小平均成本、最大收入）时的产量（或销售量）这部分是本课程的重点，要求熟练掌握。（1）某厂每生产一批某种产品，其固定成本为20000元，每生产1吨产品的成本为60元，对这种产品的市场规律为Q100010P（Q为需求量，P为价格）。试求成本函数，收入函数；产量为多少时利润最大假设生产的产品能全部售出，求获得最大收入时的销售量。解成本函数CQ60Q20000，由需求规律得P10001Q，收入函数RQ100Q01Q2利润函数LQRQCQ40Q01Q220000，边际利润函数，40LQ令0得Q200（吨），由于驻点唯一，故产量为200吨时利润最大。LQ，令（吨），由于驻点唯一，故产量为500吨时收12RQ05RQ入最大。（2）设生产某种产品Q单位的成本函数为CQ90020QQ2，问Q为多少时，能使平均成本最低最低平均成本是多少解平均成本函数为290902,1CQC令0得Q30（单位），由于驻点唯一，故产量为30单位时平均成本最低，最低平均成本CQ为。3082、需求弹性主要是记住公式后套用。PQE如设需求函数，则需求弹性为EP5P。510QE3、求单调区间或给定某区间时判断该区间内函数的单调性。如函数FXX24X5的单调增加区间是（2，），在区间（0，）内先单调减少，后单调增加。4、函数极值应侧重于驻点、极值点等概念的理解，而简单函数的极值、最值问题适当考虑便可。微分学第4章多元函数微分学本章不作考试要求。一元函数积分学（第1章不定积分及第2章定积分）考试知识点用凑微分法计算积分，简单广义积分，原函数概念，不定积分性质，用分部积分法计算积分，定积分的导数。本章重点凑微分法（或分部积分法）计算不定积分（或定积分）（计算题10分）。1、凑微分法（第一换元积分法）（包括不定积分和定积分）这部分是这两章的重点，要熟练掌握，但不必考虑过难的题目。如12233332XDXDXC。22252444311171XXXEEEE2、原函数与不定积分的概念要理解清楚，如“”是FX的一个原函数，与“的原2X2XE函数是FX”是截然不同的。凑微分是凑微分法和分部积分法的基础。（1）设是FX的一个原函数，则；2XE222,4XXXFEFE（2）凑微分如SINXDXDCOSX等。2、广义积分主要考虑形如的简单积分。如AFXD33010XXEDE4、不定积分的性质主要考虑导函数（或微分式）的不定积或不定积分的导数（或微分）。如设，则FX2XLN23X232XFDC5、分部积分法主要考虑的类型，（其中是实数，N1,2），基础较低的学员可用LND列表法。如2LNXD（1）（公式法）2LX3333111LLNLN9XXDXXC（2）（列表法）（）LNXX21X31X由上面列表得233331121LNL99EEEXDD注意LNE1,LN10。6、定积分是一个常数，其导数必为0。如。3210DX一元函数积分学第3章积分应用考试知识点已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增量，奇、偶函数在对称区间上的积分，已知边际成本（或边际收入）求最大利润（最大收入）问题。（微分方程内容只作形成性考核）本章重点已知边际经济函数求最值问题（20分）1、已知边际成本（边际收入）及固定成本求成本函数（收入函数、利润函数）或它们的增量一般采用定积分来计算，这样不容易出错（当然也可以使用不定积分来计算）。如（1）设某商品的边际收入函数为，则RQ0QRD（2）设生产某产品的边际成本函数为，固定成本为90，则总成本函数2CE0202918QQCEDE产量从1单位增加到3单位时成本增量为。302062131QDEE2、奇、偶函数在对称区间上积分若FX为奇函数，则；若FX为偶函数，则AFX。如02AAFXDFXD11113321SIN,COS5COS50XDX3、已知边际成本（边际收入），求最大利润问题如（1）设生产某产品的边际成本（万元/百台），边际收入（万元/8CQ02RQ百台）。问产量为多少时利润最大从利润最大时产量再生产2百台，利润有什么变化解边际利润为，令得唯一驻点Q10，故产10LRQL量为10百台时利润最大。利润增量为，即从利润12122001050QDDQ最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。（2）生产某种产品Q吨时的边际成本为（万元/吨），固定成本为5万元，收32CQ入函数为RQ15Q05Q2（万元）。试求产量为多少可使利润达到最大并求最大利润。解，令得唯一驻点Q4，即当产量为15R10LR4吨时利润最大。最大利润L4。44200452351519QDQDQ（也可用不定积分去解由（万元/吨），有CQ3QQ2C,又CCDQ固定成本为5万元，CQ3QQ25，从而LQRQCQ12Q15Q25，故最大利润L41241542519万元。）线性代数第1章行列式本章不作考试要求。线性代数第2章矩阵考试知识点计算矩阵的秩，逆矩阵的计算，解矩阵方程，可逆矩阵概念，矩阵乘定义，矩阵转置与乘法的简单计算，特殊矩阵概念。本章重点求逆矩阵（计算题15分）1、计算矩阵的秩（A阶梯形矩阵阶梯形矩阵的非0行个数就是矩阵的秩）、计算逆矩阵（2、3阶矩阵）（AI）（IA1）及矩阵方程求解（对AXB可使用（AB）（IX）计算）是本章重点内容。如（1）设矩阵A，求A1。340215解（AI）11030231510234001310432014122155310443A2解矩阵方程31230014X解210121213359324005959721/72/7/01819/2/189X3已知矩阵A，求ABT1。301,20B解先计算ABT1321再求逆（ABTI）201012011012TAB2、矩阵乘法计算（并注意矩阵乘法的条件，交换律与消去律的不满足性），可逆矩阵的概念与性质（特别是（AB）1B1A1，（AT）1（A1）T），矩阵转置也要掌握好，要理解特殊矩阵的概念。线性代数第3章线性方程组考试知识点解齐次或非齐次线性方程组（无参数），含有参数的齐次或非齐次线性方程组解的判定（并在有解时求其解），解的判定定理。本章重点解齐次或非齐次线性方程组（有参数或无参数）（计算题15分）。1、本章首先要记住两个判定定理AXB有解秩A秩AAXB有唯一解秩A秩N及其推论AX0有非0解秩AN其次是要掌握好用初等行变换解线性方程组并写出方程组的解对AXB,增广矩阵A行简化阶梯形矩阵,然后写出唯一解或一般解对AX0，A行简化阶梯形矩阵，然后写出一般解。如（1）解线性方程组123415XX解144142032302/3150A0/31故一般解为（其中，为自由求知量）1342XX34X（2）解齐次线性方程组123405XX解13131045240767605A故一般解为（其中，为自由求知量）134276X3X42、含有参数的线性方程组的判定，并在有解时求其解。如（1）讨论取何值时线性方程组有解在有解的情况下求一般解。123X解11102230134A故当4时，方程组有解。此时一般解为（其中为自由求知量）123X3X（2）设线性方程组试A,B为何值时，方程组无解有唯一解有无穷多解。12316XAB解12312312316006AABABAB故当A3，B1时，秩A秩,线性方程组无解；A当A3，B为任意时，秩A秩未知量个数，线性方程组有唯一解；当A3，B1时，秩A秩未知量个数,线性方程组有无穷多解。（3）设齐次线性方程组讨论的情况，使齐次线性方程组有非01342134058XX解，并求出一般解。解102012102313345585A910201209/2331/5/故当9时，秩A3未知数个数,齐次线性方程组有非0解，此时一般解为（其中为自由求知量）1423495X4X结束语虽然单项选择题与填空题的范围较广，但是，只要抓住重点的计算题与应用题，同学们通过本课程的考核确实不难。微分计算题主要是复合函数求导，积分计算题主要是定积分（凑微分法或含自然对数的分部积分法），矩阵计算主要是求逆矩阵，线性方程组计算题的类型在上文已基本列齐，应用题可能是导数应用中的应用题也可能是积分应用中的应用题。这5题合计有70分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