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第十一章级数第一节常数项级数的概念和性质对于数列,21NU我们称为无穷级数，记为NUU211NNUU2其中称为通项。NU问题什么情况下这个无穷项的和是一个确定的数，或者说有意义，也就是后面说的收敛我们可以构造部分和数列,12121NKUSUS来解决这个问题。定义1如果级数的部分和数列有极限，即1NUNSS，则称级数收敛，称为级数的和，并写SNLIM1N1NU成；如果数列没有极限则称级数发散。1NUNS1N例1无穷级数NNAQAQ200A叫做等比级数（几何级数）讨论其敛散性。解112QNAQAQSNN当时，即收敛；1QSN1LIM0N当时，不存在，即发散。QNLI0NAQ例2判定级数的收敛性。1NN解1N123NS因为，不存在，即发散。NLIM1N例3判别无穷级数1321N的敛散性。解14321NSN1因为，即收敛。NSLIM132N二、收敛级数的性质性质1如果级数收敛于，则它的各项都乘以一个常1NUS数所得的级数也收敛其和为。K1NKUKS证明设的部分和数列为，的部分和数列为1NN1NU，则有NNNKKNSU11KSNNNLIMLILI性质2如果级数，分别收敛于和，则级数1NU1NV,S收敛于和。1NNVUS证明设分别为级数，和NNS,1NU1NV1NNVU的部分和数列，则有NNKNKNKSVUVU111SNNNNNLIMLILIMLI性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。证明设级数改变了有限项，无妨设1NU对应变成KIIU,21KIIVV,21且设。BAUKKIIIIII2121为改变后所得级数的部分和数列；为级数的NNS1NU部分和数列，当时有KINABSUVUNJIKJINIJJ11ABSNNNLIMLLM性质4如果级数收敛，则对这级数的各项任意加括号1NU后所成的级数121111KKNNNNUUU还是收敛的。证明设是加括号后所得级数的部分和数列，是级数KANS的部分和数列，则有1NU,21KNNSASA是的子列，所以KNNKKSKLIMLILI注级数发散，但级数N11收敛于。10性质5（级数收敛必要条件）如果级数收敛，则必有1NU。0LIMNU证明设是级数的部分和数列，且有。NS1NUSNLIM0LILILIMLI11SSNNNN注调和级数发散。321解因为数列递增，且，所以N1ENLIMN1，EN1L,NLN
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