高等数学-（09.5）重积分归纳总结习题课

重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念D01,LIM,NIIIDFXYF其中D平面有界闭区域，D中最大的小区域的直径（直径小区域上任意两点间距离的最大值者），D中第I个小区域的面积I2、几何意义当时，表示以曲面为曲顶，,0FXYD,DFXY,ZFXYD为底的曲顶柱体的体积。所以表示区域D的面积。13、性质（与定积分类似）线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1）若D为X型积分区域，则12,AXBYYX21,XAYDFYDFD（2）若D为Y型积分区域，则2,C21,DXYCDFXYFD（3）D必须经过分割才能化为若干块X型或者Y型区域之和，如图，则123,DDDDFXYDFXYDFXYDFXYDYO321OXYD1OXYD1（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。（5）对称性的应用1,2,0DDFXYDFYDFYXX关于为偶函数区域关于轴对称，关于为奇函数,2,0DFXDFDYFXY关于为偶函数区域关于轴对称，关于为奇函数（6）积分顺序的合理选择不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分一定要放在后面2222SIN1,SI,COS,LNYXXDXDEDEDX积分。例1设为连续函数，交换二次积分,YXF的积分次序。2001,YYDXFDD例2（08年期末考试，二，7分）计算二重积分，其中是由2XYDEDD所围成的区域。1,0YX例3（07年期末考试，二、3，3分）交换积分次序后，LN10,EXDFYD例4（07年期末考试，三、7分）计算二重积分，其中是由DXY所围成的区域。2,2YX例5（06年期末考试，一、5，3分）累次积分24121XXYYDEDEOAD例6（04年期末考试，一、3，3分）将积分交换积分次序后的结果为12010,XXDFYDFYD例7（03年期末考试，四、1，7分）计算二重积分，其中是由DXYD所围成的区域。2,YX例8求积分的值。XYXYDEDE12214例9（考研题）若D是由所围成的平面有界闭区域，而1,3是连续函数，则；（注意对称性UFDXYFYXSIN22的应用）72例10、计算二重积分，其中D是第一象限中直线和曲线DXDYE2XY围成的区域。3XY例11、用二重积分求由曲线，所围成的平面图形的面2AXY05AY积。例12利用二重积分计算由曲面，所围成的2Z1Z2XY曲顶柱体的体积。2、在极坐标下计算二重积分（1）极坐标下区域D的面积为DD（2）如果被积函数为，或者积分区域22,ARCTNYYFXYFFXX为圆域、扇形域、圆环时，则可用极坐标。（3）若积分区域D为，则12,1,COS,INCOS,INDFXYDFDFD（4）若积分区域D为，则,00,S,IS,IDFFFDOA（5）若积分区域D为02,20,CS,INCOS,INDFXYDFDFD例1计算二重积分，其中DDXY。022AXYX例2、计算。21401042222DYEDXYEDIXX例3、计算AXAAA22202例4（06年期末考试，六，8分）计算二重积分，其中积分2SINDXYD域D为。24,0,XYXY例5（04年期末考试，四、1，7分）计算二重积分，其中是由2DY所确定。22AYA三、三重积分的概念、性质1、三重积分的概念D01,LIM,NIIIFXYZVFV其中空间有界闭区域，中最大的小区域的直径（直径小区域上任意两点间距离的最大值者），中第I个小区域的体积面积IVI2、几何意义表示空间闭区域的体积。1DV3、性质（与二重积分类似）线性性、对积分区域的可加性、比较性质等四、三重积分的计算1、对称性的应用（1）若积分区域关于XOY坐标面对称，则D,FXYZV1,2,0FXYZDVFXYZDVFYZ关于为偶函数，关于为奇函数其中为在XOY坐标面的上半部分区域1（2）若积分区域关于YOZ，XOZ坐标面同时对称，则D,FXYZV1,4,0FXYZDVFXYZDVFYXY同时为关于，的偶函数，同时为关于，的奇函数其中为在第一、五卦限部分的区域1（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则D,FYZV1,8,0FXYZDVFXYZDVFYXYZ同时为关于，的偶函数，同时为关于，的奇函数其中为在第一卦限部分的区域12、直角坐标系下三重积分的计算（1）投影法（先一后二法）例如，将空间闭区域投影到XOY面1212,XYZZXYZZXYXYDO则21,XYZXYDFZDVFZD注意投影到XOY面上，则最先对Z积分。当然，也可以投影到YOZ面上1212,YZXXYZXXYZYZDO从含有的方程中找出下底面和上顶面在面上的投影区域21,YZXYZDFXDVFDX（2）截面法（先二后一法）例如把积分区域D先向Z坐标轴投影,ZXOYZCD对用过轴且平行于面底平面截所得的截面,ZDCDFXYVFDY注意投影到Z轴上，则最后对Z积分。当被积函数仅与变量Z有关，且截面容易知道时，用上述公式简便Z当然也可以投影到其他两个坐标轴上。3、柱坐标系下三重积分的计算（1）计算公式,COS,IN,FXYZDVFZDZ例如将投影到XOY面上，则1212,XYZD2211,COS,INZFXYZDVDFDZ（2）如果被积函数为，积分区域为圆柱面（或一部分）2,YZFZFX、锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。4、球面坐标（1）计算公式2,SINCO,SIN,COSINFXYZDVFRRRDR0,2,0（2）通常是先对R积分，再对积分，最后对积分。（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为时，则球面坐标比较方便。22FXYZ例1化三重积分为累次积分，其中积分区域为由曲面,IFD及所围。2ZXY2ZX例2设在上连续，证明，其中F,12DZFDVZF所围成的空间区域。12ZYX例3计算，其中。DVE122ZYX例4（08年期末考试，三、7分）计算，其中是由IDXYZ所确定。22XYZ例5（07年期末考试，四、7分）计算，其中是由柱面IZDXY及平面围成的区域。21XY0,1Z例6（06年期末考试，七，8分）计算，式中为由ZY所确定的固定的圆台体。21ZY例7（04年期末考试，二、4，3分）设是球心在原点，半径为R的球体，则22XYZDX例8（04年期末考试，四、2，7分）设为两球的公共部分，计算。222,ZRYZR2ZDXY例9（03年期末考试，四、2，7分）计算，其中是由不等式XY所确定的闭区域。24,0,1XYYZ例10、求曲面及所围立体体积。22ZAXY2XY例11、计算，其中是由半圆柱面IDZ及平面围成的区域。20XYY0,0YZA例12将三次积分表示为球面坐标下22121YXXDZFDI的三次积分，则；SEC024320SINRRFD例13设是由所确定的立体，试将化成球ZYXDVZYXF,2面坐标下的三次积分。（。）2COS22200SININ,COSIDFRR例14、计算，其中积分区域是由