高等数学-（09.5）多元函数微分学及其应用归纳总结习题课

第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限（或）的定义0,LIM,XYFYA0LIM,PFXYA掌握判定多元函数极限不存在的方法（1）令沿趋向，若极限值与K有关，则可断言,PK0,函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，0,LI,XYFY此时也可断言极限不存在。多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似例1用定义证明22,0,1LIMSIN0XYXY例2（03年期末考试三、1，5分）当时，函数,0XY的极限是否存在证明你的结论。2XY例3设，讨论是否存在22,0,0XYF,0,LIMXYF例4（07年期末考试一、2，3分）设，讨论224,0,0XYF是否存在,0,LIMXYF例5求2,0,SINLIMXYXY3、多元函数的连续性00,LI,XYFYFX一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1讨论函数在（0，0）处的连续性。322,0XYF例2（06年期末考试十一，4分）试证在224,0,0XYFY点0,0不连续，但存在一阶偏导数。例3求例4,1,2LIMXY,0,1LIMXY4、了解闭区域上商连续函数的性质有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）,ZFXY,如果极限存在，则有000,LIMXFXY0000000,LIMXXXYXXYYFXYFZFZF（相当于把Y看成常数所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有00,LIMYFXYFX000000,LIMXYYYXXYYFXYFXZFZF对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试一、3，4分）已知，22,0,0,XYFXY则0,XFY例2（06年期末考试十一，4分）试证在点224,0,0YXFXY0,0不连续，但存在一阶偏导数。例3设，求。2221SIN,0,0XYXYF,XYFF例4设，求。YXZYXZ例5（03年期末考试，一、2，3分）设，则在1,21ARCSINXUXYYU的值为（）。2、二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）,ZFXY,2,XX2,XYZFYX2,YZFXY2,YXZFXY定理若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。2,2ZYX例1设，其中为常数，求,RU222CZBYAXCBA,。22ZUYX例2设，求。XYARCTGEZZ23、在点偏导数存在在点连续（07年，,ZFXY,PXY,ZFXY,PXY04年，02年等）4、偏导数的几何意义表示曲线在点处的0,XFY0,FY0,YZ切线与X轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法,ZFXY0,PXY若，则可判定002,0,LIMXYXYZFFX在点可微分。其中,ZF0,PY00,ZFXYFXY例1（08年期末考试十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数2221SIN,0,XYXYF在（0，0）处不连续。,XFY例2（07年期末考试七、6分），证明22,0,0,XYF（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有,ZFXY0,P00,XYDZFDFXD其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。0例1（08年期末考试，一，1，4分）设，则432ZY1,2Z例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。ARCTN0XD例3（06年期末考试，二、2，3分）设，则2YUXDU例4（03年期末考试，二、2，3分）函数在点1,0,1处的2LZ全微分为例5设，求函数对变量的全WUYZARCSINXEU2YXYX,微分。D3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）一阶偏导数在连续在可微,XYF0,P,ZFXY0,P在连续在有极限,ZFXY0,P,ZFXY0,P在可微在的一阶偏导数存在0,XYF在可微在的方向导数存在,F,四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则变量树状图法则1,ZFUVTVTDZUZDVTTTZZVDTUTDTT2,ZFUVXYVY,ZZVZUVXYY3ZFUXYY,ZFUZFUXXY例1（08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导,XZFYF数，求。2,ZXYZUXYXY例2（08年期末考试，十一，6分）设是由方程,ZXY所确定的函数，其中可导，求。XYZXYZDZ例3（07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导,FF数，求。2,ZYX例4（06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则YZXFFU（）。ZXY例5（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，,GV,0GV其中确定了是的二元可微隐函数，试证明22,UZVYXZ,XY。24YX例6（03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方,UV程所确定的函数满足,0ZZFXY。21ZYXY例7记，具有连续二阶偏导数，求，。2,TUFXF,UXT2,UXT例8设，而，求和。YZLN2VUVY3ZV例9设，而，则。2BAZEUXXASINXBCOSDU例10设，又具有连续的二阶偏导数，求。,XYFEF2,ZXY2一阶全微分形式不变性设，则不管是自变量还是中间变量，都有,ZFUV,UVUVDZFD通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微，求。,UFXYZFXY,FFDUX五、隐函数的求导法则1、，求,0XYFXDY方法1（直接代公式），其中，相当于把FXYF,XFY看成自变量X，Y的函数而对X求偏导数。方法2直接对方程两边同时关于X求偏导（记住）YF0XYYFDF22XYYXYDD2，求,0,FXYZFXY,ZY方法1（直接代公式）,YXZZF方法2直接对方程两边同时关于X（Y）求偏导（记住）,ZFXY，0XXZZFFD0YYZZFD3,0YUVUUVGVXYYX求，建议采用直接推导法即方程两边同时关于X求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。VX，X，,VY例1设，其中是由确定的隐函2,YZEFX,YZ0XZ数，求。10X例2设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。,FZ,ZXY例3（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其,GUV,0GUV中确定了是的二元可微隐函数，试证明22,UXYZVXZXY24Y六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）参数形式，两柱面交线，两曲面交线00000000XTXYZYXTYTZTTTTZT切线向量00,0000001XXYZYYXYTZTZTTZ切线向量01,切线向量,0XFXYZYYGZZ01,YXZ00000001TTYTT3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数000,0,XYZYZFFXYZZXXYAA法线向量000,XYZ000,1XYYFFZFYZXA法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与00XFFZ轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为2221COS,COS,COS11YXYXXYFFF例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点A,0,0的切线方程ATYZCSIN例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切ZXY21平面与平面平行。XYZ4210例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面在点1,2,0处的法线ZE3方程。例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平XYZABC221面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点0,A,A处的切平YZ3面方程。例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过XZ229该点的切平面与已知平面平行。XYZ20例7在曲线，上求点，使该点处曲线的切线平行平面TXT3T。1478ZYX例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有,F02YXFT，试证明曲面上任意一点处的法线与,XTTF,FZ,0ZYX直线相垂直。00ZY例9由曲线绕Y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）2313,2处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式在沿方向的方向导数为,ZFXY,PL设为上一点，则00,LIMLIFPFFXYFXY设的方向余弦为，则LCOS,LSFFLXY可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式在沿什么方向的方向导数最大,ZFXY,P沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模FG2|FXY例1求函数在点沿曲线22,ZYXZF5,430P在点处的切线方向的方向导数。225YX0P例2求函数在点（2，1）沿方向的方向导数3,YXFJIL例3设函数，（1）求出F在点P（2，0）处沿P到ZEQ（1/2，2）方向的变化率；（2）F在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少例4（08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从ZXY201,2到点方向的方向导数。P01,21,3例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向22,的方向导数。L,例6（06年期末考试，四、7分）函数在点处的UXYZ223M01,2梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。32,39FXYXY例2（04年期末考试，三、3，6分）设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3A，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大例3求旋