求函数极限的若干方法 毕业论文

通化师范学院本科生毕业论文（2013届）题目求函数极限的若干方法系别数学学院专业数学与应用数学班级三班作者姓名学号指导教师职称教授学历本科论文成绩2013年5月目录摘要ABSTRACT1引言12求函数极限的若干方法121利用函数极限的定义1211用时函数极限的定义求函数极限1X212用时函数极限的定义求函数极限1022利用两个重要极限2221利用20SINLM1X222利用2IXE23利用等价无穷小代换求函数极限324利用洛必达法则求函数极限3241利用洛必达法则求型不定式极限40242利用洛必达法则求型不定式极限425利用泰勒公式求函数极限426利用定积分求函数极限5261直接利用定积分的定义求函数极限5262变乘积极限为和式极限53结束语6致谢语6参考文献6指导教师评语评阅人评语求函数极限的若干方法摘要极限是贯穿数学分析全过程的重要概念，同时也是近代微积分的基础，本文主要对函数极限的求解方法进行了归纳与总结，且在具体方法中应注意的问题、细节、技巧做了说明，从而方便我们了解函数的各种极限及求法关键词函数极限；求解方法；归纳总结SEVERALMETHODSOFSOLVINGTHELIMITOFFUNCTIONABSTRACTLIMITTHROUGHMATHEMATICALANALYSISINTHEWHOLEPROCESSOFIMPORTANTCONCEPTSINMODERNTIMES,BUTALSOTHEFOUNDATIONOFCALCULUS,THISPAPERFOCUSESONTHEFUNCTIONLIMITMETHODARECONCLUDEDANDSUMMARIZED,ANDTHEPROBLEMSSHOULDBENOTICEDINSPECIFICMETHODS,SKILLS,DETAILILLUSTRATED,SOASTOFACILITATEOURUNDERSTANDINGOFFUNCTIONOFTHEVARIOUSLIMITSANDMETHODKEYWORDLIMITOFFUNCTIONMETHODOFSOLVINGINDUCTIONANDSUMMARY1引言极限是微积分学中的一个重要的基本概念，是微积分中各种概念以及计算方法能够建立和应用的前提，求解函数极限的方法很多，但每种方法都有一定的局限性，且都不是万能的，所以我们要对具体的求极限问题追求适合的方法2求函数极限的若干方法21利用函数极限的定义211用时函数极限的定义求函数极限X定义1设为定义在上的函数，为定数，若对任给的，存在正数F,AA0M，使得时有AM，FX则称函数当趋于时以为极限，记作FXA或LIMXFFAX例1函数，证明时，F21473X14F证明，要使不等式成立即，0217433XX要使不等式成立解得743X143X，74164取，于是，,，有A7016400AXA，24734X即LIMX21212用时函数极限的定义求函极限0X定义2设函数在点的某个空心领域内有定义，为定数,若对任给的F00UXA，存在正数，使得时，有0X，FA则称函数当趋于时以为极限，记作FX0A或0LIMXF0FXX例2函数，证明时F2321F证明，取，则当时，231X24X2X002X有，231X由函数极限的定义，有2LIMX通过例1、例2我们得出，为了找到相应的，要从开始分析，而满足FXA该式的应是无穷多，从而不唯一，根据定义，只要找到一个合适的就可以了X因而我们要着重说明的存在性，所以我们常将进行适当的放大，变成一个F关于的比较简单的式子，使其小于，进而解出相应的来，从而正确利用0定义证出函数极限22利用两个重要极限221利用0SINLM1X例3求I2COX解0LIX21S0LIX2SN10LIMX2SN1222利用LIMXXE例4LIX231解LIX23XLI321XLIMX12XLIX1LIX12XE1综上，凡是含有三角函数的型末定式和型末定式，我们都可以用两个重要极限的01末定式，都能求出结果23利用等价无穷小代换求函数极限定义3若，则称与是当时的等价无穷小量，记作0LIM1XFGFG0X，常用的等价代换有，SINX0ARCTNX021COSX0例5求0LMX3TASI解由于，而，TI1COSXINX2CSX，故有3SIN0LIX3TANSIX0LIM1COSX23例6求201LIMCOTX解原式22SSINXX40ICOSLIX21COSXX20LIM201COSLIX利用等价无穷小量代换求函数极限时，应注意，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代在求极限时，须把分子或分母看作一个整体从而代换进而求出函数极限24利用洛必达法则求函数极限定理1设在某一极限过程中，函数，满足条件FXG（1）；或；0LIMXF0LIXG0LIMF0LIX（2）在点某空心领域内两者都可导，且；0UG（3）（可为实数，也可为），0LIXFA则有0LIMXFG0LIXFA241利用洛必达法则求型不定式极限例7求0LIMX3SIN解X21COX0LIX6SNCOX6例8求LIXXE解此题属于型，将原式中的写在分母上，使其变成型后应用洛必达法则，即011LIMLIXXXEE12LIMXE1LIXE242利用洛必达法则求型不定式极限例9求LIX3E解MX2X6LIXELIMX0例10求0LINCOT解0LIXT201CSTLIXX0LIMSNCOXX01LIS1洛必达法则是求两个无穷小量或无穷大量之比的极限的，在同一运算过程中可连续使用，直到求出所求极限但是，对于其他不定式的极限如果无法判断其极限状态，则洛必达法则失败，但只需经过简单变换，它们一般可以化为型或型的极限025利用泰勒公式求函数极限定义3设在点具有阶导数，则在点的泰勒公式为FX0NFX0，FX0X02F20NF0NX0X特别地当时，FX0FFX20F0NFXNO0X称麦克劳林公式例11求0LIMX24COSXE解，215，2XE48OX，2COSX15从而得0LIMX24COSXE4501LIOX12在利用泰勒公式求函数极限时，应注意分清哪些项需要展开，展到什么程度，哪些项保留26利用定积分求函数极限261直接利用定积分的定义求函数极限定义4设是定义在上的一个函数，对于的任意分割以及在其上任意F,AB,ABT选取的点集有IBAFXD0LIMT1NIFIX例12求LIMX2221N解LIX222NLIX22211NN21NII20DXLN1262变乘积极限为和式极限例13求LIMX12NN解令，N则LNX12NNLN1NLLLL2N2LN，L1则，LIMXN10LXD2LN所以LIXN2L1E4由定积分的定义我们知道，定积分是某一和式的极限，因此，如果关于的某一和式N可以表示成某一积分的形式时，则可利用定积分，求出这个和式的极限，显然，若要利用定积分求函数极限，其关键在于将和式化成某一函数的积分形式3结束语以上方法是求函数极限的重要方法，在求解极限的题目时，我们要细心分析，从而择最合适的方法，这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果致谢语感谢老师对我在论文写作中的指导与帮助，是您的耐心教导，使我的论文得以完成，真心的说一声，老师您辛苦了参考文献1华东师范大学数学系数学分析（第三版）上册M北京高等教育出版社,2001,342642程鹏,张洪瑞,李占现求函数极限的方法J河南科