与反对称矩阵可交换的对称矩阵

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练与反对称矩阵可交换的对称矩阵系（部）信息与计算科学专业数学与应用数学与反对称矩阵可交换的对称矩阵摘要通过引入反对称矩阵的导出矩阵和次导出矩阵的概念，给出N阶反对称矩阵与N阶对称矩阵可交换的充要条件，利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，对3阶反对称矩阵进行分类。关键词反对称矩阵；对称矩阵；交换性；导出矩阵；次导出矩阵引言在矩阵论中，反对称矩阵与对称矩阵是两类特殊矩阵，有许多重要的性质和应用。由于矩阵的乘法不满足交换律，因而当N阶方阵A是反对称矩阵，即AA，B是对称矩阵，即BB时，A与B不一定可交换。那么什么时候A与B可交换呢。本文对于反对称矩阵A，引入导出矩阵和次导出矩阵，然后给出了反对称矩阵与对称矩阵可交换的充要条件，且利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，对3阶反对称矩阵进行了分类。定理1设A是数域F上的一个N阶反对称矩阵，B是数域F上的一个N阶对称矩阵，则A与B是可交换的当且仅当AB是反对称阵。证明由A是反对称矩阵，B是对称矩阵，有ABBABABA（1）若A与B是可交换的，则ABBA，再由式（1）有ABAB，所以AB是反对称矩阵。反之，若AB是反对称矩阵，即ABAB，再由式（1）有BAAB，即ABBA，所以A与B是可交换的。令A与B分别是数域F上的一个N阶反对称矩阵和一个N阶对称矩阵N1。设12312132312300NNNNAAAA12131213233123NNNNXXBXX再令AB（），则有IJC1当时，IJ121,1,IJIIIIIIINAXAXAX2当时121,1,IJIIIIJIJIJIJINJCAXAXAXAX（3）当时11,1,IJIJIJIJIJIINJ根据定理1有A与B可交换当且仅当下列个等式同时成立。2N1230,0CC2131,NC（2）22,1,10NNC如果把A的元素看作常数，把B的元素看作未知量，那么这个等式构成一个12N元的齐次线性方程组，令C是这个方程组的系数矩阵，则有A与B可交换12N当且仅当B的元素是方程组CX0的一个解。定义1齐次线性方程组CX0的系数矩阵C称为反对称矩阵A的导出矩阵，由C的前N行组成的矩阵称为A的次导出矩阵，记为D。定理2设A是数域F上的一个N阶反对称矩阵N1，并设C是A的导出矩阵，令IJBB是数域F上的一个N阶对称矩阵，则A与B可交换当且仅当B的元素121232343,NNNNBBBB是齐次线性方程组CX0的一个解。注可以通过解方程组CX0，求出与反对称矩阵A可交换的所有对称矩阵。下面讨论当N3时，C与D的形状。令根据式（2）有0ABAC,XYZBMKN且AYBZMKABNABXCYCZCK0,0,0AYBZAYCKBZCMKXCNXYANBYCM即,YZCKZK0,00AXCZBKXCAKBYC因此A的导出矩阵C与次导出矩阵D分别为00CBAACBC00ABDC下面将利用导出矩阵和次导出矩阵的秩，对3阶反对称矩阵进行分类。定理3设0ABAC令C与D分别是A的导出矩阵与次导出矩阵，则（1）RANKD2且RANKDRANKC；（2）若RANKD1，则这3个数中只有1个不等于零；,ABC（3）若RANKC2，则RANKC0，即C是零矩阵；（4）若RANKC2，且RANKD2，则全不为0，且。,ABC22ABC证明（1）A的次导出矩阵00ABDC容易计算D的三阶子式10ABC所以RANKD2。由于D的每一个子式是C的一个子式，因此RANKDRANKC。（2）已知RANKD1，那么中至少有一个不等于0，且的任意两行对应,ABC1元素成比例,于是A0时，由的前两行可见,BC0当B0时，由的第1行1D和第3行可见,AC0当C0时，由的后两行可见,AB0。1（3）已知RANKC2，由（1）知RANKD2。如果RANKD1,由（2）知这3个数中只有1个不等于0,不防设A0,那么,ABC0000CAA由RANKC2,因而C的任意两列对应元素成比例。于是，由C的前两列可见，A0，这与A0矛盾。因而RANKD0,即全为0，因而C0。,ABC（4）已知RANKD2，那么这3个数中至少有2个不等于0。不妨设A0,且B0,那么0,又已知RANKC2。如果C0，那么由A的导出矩阵C的子式0ACB有200ABAC这与矛盾，因此全不为0。20AB,ABC再由RANK2,可见的子式C00,0,CABBCBCO对于这3个行列式，把第个按第列展开1,2,3，得III20BCABC2AC20ABB因而22ABC下面利用定理3，可以对3阶反对称矩阵进行分类。定义2如果一个反对称矩阵A的阶为N，它的导出矩阵的秩为R，次导出矩阵的秩为，称反对称矩阵A为1N,R,型。1R1由定理3可见，数域F上全体3阶反对称矩阵一共可以分成下列7种类型3,0,0，3,2,0，3,2,1，3,2,2，3,3,0，3,3,1，3,3,2参考文献1黄益生，姚海鹭与对称矩阵可交换的反对称矩阵J龙岩学院学报，2010，28（2）142张禾瑞，郝鈵新高等代数M5版北京高等