高数一公式-自己的笔记

第一章极限连续五种基本初等函数（缺少定义域）1幂函数2指数函数为实数）XY1,0AYX3对数函数1,0LOGAA4三角函数XYCS,SE,COT,TNCS,SIN5反三角函数XRYXYOTARRR一、函数的极限FX在X0处极限存在的充分必要条件是FX在点X0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在X0处有无定义无关。两个重要极限公式EEXXXX1LIM,1LISN00NMBAXBAXQPMNNX,0,LI,LIM10可利用公式对于二、无穷小量零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。无穷小量比较设LI,LI00XX。不能在加减运算中使用除中使用注意只能在乘存在，则且时性质当时，当。记为为等价无穷小量与时为同阶无穷小量。与时则称在若为低阶无穷小量。较时则称在若记为为高阶无穷小量较时则称在若,LIMLILIM,1,2COS1,NTASIN0,A,ALIM,LI000000XXXXXXEX三、函数连续的三要素1FX在X0处有定义；2时FX有极限；3极限值等于该点的函数值。0如果三要素之一不满足即为函数的间断点。LIM0FX。则有存在的连续函数，为为复合函数性质如果LIMLILI,000AFXGFXGFAXGUFYUYX介值定理设FX在A,B上连续，FAFB,则对于任意介于FA与FB之间的值C，必定存在一点2A2XB2YC2ZD20平面1、2相互垂直的充分必要条件是A1A2B1B2C1C20平行的充分必要条件是22CB重合的充分必要条件是11D二、直线方程1直线的标准式方程过点M0X0,Y0,Z0且平行于向量SM,N,P的直线方程PZNYMX2直线的一般式方程A1XB1YC1ZD10A2XB2YC2ZD201两条直线间关系设有两条直线L1；L2111PZNYX222PZNYMX直线L1、L2平行的充分必要条件是12N直线L1、L2垂直的充分必要条件是M1M2N1N2P1P202直线L与平面之间的关系L；AXBYCZD0PZNYX000直线L与平面垂直的充分必要条件PCNBA直线L与平面平行的充分必要条件AMBNCP0直线L落在平面上的充分必要条件AMBNCP0AX0BY0CZ0D00三、简单的二次曲面曲面方程如果FX,Y,Z0为二次方程，则它表示的曲面称为二次曲面。1柱面方程FX,Y0方程表示母线平行于OZ轴的轴面，称之为柱面方程。方程X2Y2A20表示母线平行OZ轴的圆柱面方程。同理，FY,Z0,FX,Z0表示柱面，它们的母线分别平行于OX轴及OY轴。2球面方程XA2YB2ZC2R2表示球心在A,B,C半径为R的球面方程。3椭球面方程表示中心在原点的椭球面。1CZBYA4锥面方程表示顶点在原点，OZ轴为对称轴的正锥面。022X5旋转抛物面方程如果L为YOZ坐标平面上的抛物线,则F,Z02YX第五章多元函数微积分学一、求二元函数的定义域记住常用初等函数的定义域。二、偏导数与全微分DYZXDYZ全微分看作常数。的偏导数将同理求等看作常数的偏导数就是将导数求X,三、二元函数的极值极值存在的必要条件0,0,0YXFYXFPYXFZ必有数存在取得极值且在该点偏导在极值的充分条件是极值。可能是极值，也可能不时不是极值；时，的极小值；为的极小值点为时或且的极大值；为的极大值点为时或且如果记且该点为驻点即导数领域有连续一阶、二阶在点函数,032,01,000200YXFACBYXFFYXFPFCFBYXFFYXYYX二元函数的条件极值下的可能极值点坐标。在条件就是则其中解出求解方程组构造函数。下的极值称为条件极值在条件函数0,0,YXYXFZYXYXFFYXFZX四、二重积分1直角坐标下的二重积分的计算选择积分次序及交换积分顺序原则如先对Y积分，作平行于Y轴的直线与积分区域D相交，沿Y轴正方向看入口线Y1X，出口线Y2X，积分区域积分下限Y1XY积分上限Y2X；再对X积分，积分区域在X轴上作投影，投影最小值A，最大值B，积分区域积分下限AX积分上限B2极坐标下的二重积分的计算RDXYRYRXDDFDYFDD换为将积分限；转换为极坐标下区域；令计算步骤区域。对应于极坐标下表示的为，32SIN,CO1,3二重积分的应用1几何运用DFVFZ,则体积为底的直在柱体以区域为曲一顶若空间形体以2物理运用设有平面薄片D，其上点（X,Y）处的密度为FX,Y，则质量DXYFM,第六章无穷级数一、级数的收敛如果级数的和极限存在，则称级数收敛。性质级数收敛的必要条件0LIM1NNUU收敛，则必有若推论10LIMNNU必定发散。，则若注意N收敛。并不能保证常用标准级数（可直接引用）10N1P321,1P0PRARN收敛，发散，级数发散调和级数发散，等比级数（几何级数）二、正项级数为正项级数。，则称中每项若113,2NNNUU正项级数收敛的判别方法1比较判别法必发散。发散时，当必收敛；收敛时，当则皆为正项级数与若1112,0,NNNNNVUVV2比值判别法的收敛性。此法不能判定时当发散；时当收敛；时当，则且为正项级数设1111,32,LIMNNNNUUU3极限形式比较法的收敛性相同。与则且为正项级数与设11,0LIM,NNNVUKVVU判定正项级数收敛性的方法选择1发散。则可知若是否等于应先判定易求如果1,LI,LI,LIMNNNNUU2用比值判别法，特别含有N的情形；3比较判别法。三、任意项级数任意项级数如果中各项可以是正数、负数或零，则称为任意项级数。1NUN1NU交错级数形式如的级数称为交错级数。01321NNUU其中莱布尼茨定理。其余项的绝对值必定收敛，且其和则满足其中若交错级数1111,0LIM2,2,0NNNNNNURUSUK莱布尼茨级数为收敛级数（可作公式）432四、绝对收敛与条件收敛若收敛，则必定收敛，此时称绝对收敛。1NU1NU1NU若收敛，而发散，则称条件收敛。判定步骤1先判定收敛性，如收敛则可知绝对收敛；1NU1NU2如发散，再考察收敛性，如收敛则为条件收敛。1NU1N五、幂级数形如的级数称为的幂级数。000NNXAX或0X或存在一个正数R当时,绝对收敛,则R称为收敛半径，（R,R）称为收敛区NA间。收敛半径的求法，定理0,3021,1,LIM,100RAXXNNN定义时当定义时当有时当则的系数有设幂级数对于不缺项的幂级数0R,3021,11,LIM,212定义时当定义时当时当级数收敛，可知当考察例如对于缺项的幂级数XUXANN标准展开形式1,1LN1,1LN2COS,2SI,1111110010XNXXNXXXXXEXNNNNNN第七章常微分方程一、可分离变量微分方程形式如的方程为可分离变量的微分方程。0211DYNXMDYX求解方程通解的一般步骤1分离变量，将方程变形使等式一端只含Y的微分，系数为Y的函数，另一端只含X的微分，系数为X的函数。2两端分别积分可得方程通解。如果求特解，只需将初始条件代入通解，定出常数C即可。例1微分方程的通解为03Y分离变量；两端积分DXXEYXY313LN或例2已知,1,12FFF求且分离变量两端积分CXF313,0XF故可得由于二、一阶线形微分方程形式如称为一阶线性微分方程。QYP求解公式CDXEEPDX三、求解二阶线形常系数齐次方程求通解0