扩展有限元法研究综述-毕业论文

毕业设计（论文）题目扩展有限元法研究综述学院（全称）土木建筑学院专业、年级工程力学2005级学生姓名赵松华学号05980110指导教师郑佳艳前言俗话说“千里之堤溃于蚁穴”，棋盘上虽然一个很小的失误便会全盘皆输。下棋如此，生活如此，工程上亦如此。工程中往往都存在大量不连续问题，比如裂纹、杂质和孔隙。一般而言不连续部位对整个结构或破坏起控制作用，而同时这些问题又是不可避免，难以计算和监控，且时刻存在的。由于各个数值方法分析裂纹扩展的局限性限制了它们的实际应用，不得不寻求新的解决裂纹扩展问题的途径。从通用性和理论基础成熟性角度而言，有限单元法是最好的数值方法。有限元法的运用的确在一些实际的工程问题中起到了很大的作用，为我们的设计、计算和监控工程实际带来了很大的方便。但它对工程中大量存在的裂纹，杂质，孔隙和复杂流体等不连续问题的处理却不尽人意。传统的有限元分析静态裂纹问题的缺点主要是数据准备复杂，分析动态裂纹问题能力不强，若能够改进传统的有限元，让有限元的形函数既能满足常规部分的连续性又能反映裂纹部分的不连续性，则有限元就具有较强的处理裂纹问题的能力。处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内需进行高密度网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序设计相当复杂，且效率极低。在处理多裂纹问题时，其求解规模之大、网格剖分之难是不可想象的。1999年以来，在有限元框架内发展起来的扩展有限元法XFEM，以解决不连续问题为着眼点，对常规有限元在求解裂纹问题时所遇到的困难提出了近乎完美的解决方案。扩展有限元是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，在单位分解的基础上保留了传统有限元的所有优点，且不需要对结构内存在的几何或者物理界面进行网格剖分。为了解决这个问题，且同时充分利用有限元的优化模型和计算方法，我们在传统有限元的基础上引入扩展有限元。目录前言II目录III摘要IABSTRACTII第1章绪论111研究背景和意义1111扩展有限元基础有限元1112课题研究的现状212研究的目的和意义313主要研究内容414扩展有限元发展趋势4第2章有限元基本理论521有限元法概述522平面桁架单元分析步骤8221整体坐标系9222位移9223应变10224单元节点位移向量10225应变位移矩阵10226应力11227虚位移11228单元节点力向量11229虚功112210虚应变112211虚变形能122212单元刚度矩阵122213变体虚功原理122214单元平衡方程132215单元刚度矩阵性质1323平面桁架实例分析14231单元114232单元215233单元316234单元416235单元517236节点受力分析18237方程组装19238整体刚度矩阵特点19239位移边界约束202310求解方程20第3章扩展有限元基本理论分析2131单位分解法（PUM）2132不连续位移场的建立22321裂纹贯穿单元位移模式23322裂纹尖端所在单元的改进24323含任一裂纹的位移场UX2533离散方程的建立26331虚功方程26332支配方程26333形函数偏导2834水平集法（LSM）30341基本概念30342水平集对裂纹的描述3035积分方案3136扩展有限元法应用32第5章结论及展望3551结论3552展望35521XFEM自身的研究35522XFEM在非均匀介质中的应用36523XFEM在非线性固体力学问题中的应用36523XFEM在其他问题中的应用36致谢37主要参考文献38摘要随着人类的进步，科技的发展，在诸多工程领域，比如航空航天，土木工程，机械制造等众多领域方面，求解不连续力学问题越来越多，而且精度要求也越来越高。但在实际计算中，不连续力学问题的求解往往是解决整个计算的瓶颈，如何正确有效的求解不连续问题便成了我们的当务之急。20世纪50年代发展而来的有限元（FEM）为解决复杂的力学问题带来了极大的便利。同样，1999年美国西北大学的BELYTSCHKO教授提出了扩展有限元方法（XFEM），用来解决复杂的不连续力学问题。时至今日，扩展有限元（XFEM）已经在人类社会的发展中做出了很大的贡献，对科学发展起着举足轻重的作用。随着问题的深入，科学的发展，扩展有限元（XFEM）将在众多科学家的研究下，发展成为一门贯穿诸多学科（比如断裂力学，岩土力学，航空航天等），具有独立的，成熟的理论指导，能够完美解决实际问题的学科。本文在有限元得基础上，阐述了扩展有限元的基本理论和相关概念，并简要介绍了现今扩展有限元的应用状况，对扩展有限元（XFEM）的理论应用具有指导意义。关键词有限元法，扩展有限元法，应用ABSTRACTWITHTHEPROGRESSOFMANKIND,SCIENCEANDTECHNOLOGYDEVELOPMENTPROJECTSINMANYAREAS,SUCHASAEROSPACE,CIVILENGINEERING,MACHINERYMANUFACTURING,ANDMANYOTHERFIELDS,THEDISCRETEMECHANICALPROBLEMSOLVINGHASBECOMEMOREANDMORE,ANDINCREASINGLYHIGHPRECISIONISIMPORTANT。HOWEVER,INPRACTICALCALCULATION,THEMECHANICALPROBLEMOFDISCONTINUOUSFORSOLVINGISOFTENTHEBOTTLENECKOFTHEWHOLECALCULATION,HOWTOCORRECTANDEFFECTIVESOLUTIONTOTHEPROBLEMHASBECOMEOURTOPPRIORITY。THE20THCENTURYFROMTHE50STHEDEVELOPMENTOFFINITEELEMENTFEMISAGREATCONVENIENCETOSOLVECOMPLEXMECHANICALPROBLEMSSIMILARLY,THEUNITEDSTATESIN1999,PROFESSORBELYTSCHKOOFNORTHWESTERNUNIVERSITYADVANCESEXTENDEDFINITEELEMENTMETHODXFEMFORSOLVINGCOMPLEXMECHANICALPROBLEMSTODAY,THEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMHASMADEGREATCONTRIBUTIONSDURINGTHEDEVELOPMENTOFHUMANSOCIETYANDPLAYSAVITALROLEINTHEDEVELOPMENTOFSCIENCEWITHINDEPTHOFTHEPROBLEMSANDSCIENTIFICDEVELOPMENT,THEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMSCIENTISTSINMANYSTUDIESWILLDEVELOPINTOANEWDISCIPLINERUNINGTHROUGHANUMBEROFDISCIPLINESSUCHASFRACTUREMECHANICS,ROCKANDSOILMECHANICS,AEROSPACE,ETC,ITISANINDEPENDENTANDMATURETHEORETICALGUIDANCETOTHEPERFECTDISCIPLINETOSOLVEPRACTICALPROBLEMTHISARTICLEELABORATESTHEBASICTHEORYANDRELATEDCONCEPTSOFTHEFINITEELEMENTOFTHEEXPANSIONINTHEBASEOFFEM,ANDBRIEFLYINTRODUCEDTHECURRENTEXPANSIONOFTHEAPPLICATIONOFFINITEELEMENTITHASTHEGUIDINGSIGNIFICANCETOAPPLICATIONOFTHEEXPANSIONOFTHEFINITEELEMENTXFEMKEYWORDSFINITEELEMENTMETHOD,EXTENDEDFINITEELEMENTMETHOD,APPLICATION第1章绪论11研究背景和意义111扩展有限元基础有限元有限元（FEMFINITEELEMENTMETHOD）作为一种有效的求解不连续问题的数字方法，已经历了50余年的发展。20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。1943年，COURANT第一次提出单元概念。19451955年ARGYRIS等人在结构矩阵分析方法取得了很大进展。1956年，TURNER、CLOUGH等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。1960年，CLOUGH首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”，并描绘为“有限元法REYLEIGHRITZ法分片函数”。几乎与此同时，我国数学家冯康也独立提出了类似方法。FEM理论研究的重大进展引起了数学界的高度重视。自20世纪60年代以来，人们加强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。FEM理论研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析（FEAFINITEELEMENTANALYSIS）系统，如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析，从而推动了FEM在工程中的实际应用。20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYSPC、NISA、SUPER、SAP等。20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于WINDOWS的微机版FEA系统。经过半个多世纪的发展，FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题；从精力问题扩展到动力问题、稳定问题、和波动问题；从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程，目前已成为工程计算最有效的方法之一。人类社会的进步决定了有限元的发展不会止步于此。对于不连续力学问题的完善解决始终困扰着我们。1999年，以美国西北大学BELYTSCHKO教授为代表的研究组首先提出扩展有限元思想，2000年，他们正式使用扩展有限元（XFEM）这一术语。XFEM是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，保留了CFEM的所有优点，但并不需要对结构内存在的几何或物理界面进行网格剖分。XFEM与CFEM的最根本区别在于所使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关，从而克服了在诸如L裂纹尖端等高应力和变形集中区进行高密度网格剖分所带来的困难，当模拟裂纹扩展时也无需对网格进行重新剖分。例如在处理裂纹问题时，XFEM包括以下三方面内容第一，不考虑结构的任何内部细节（例如材料特性的变化和内部几何的跳跃），按照结构的几何外形尺寸生成有限元网格；第二，采用其他方法（如水平集法）确定裂纹的实际位置，跟踪裂纹的生长；第三，借助于对所研究问题解的已有知识不必知道封闭形式解，改进影响区内单元的形状函数，以反映裂纹的存在和生长由于改进的形状函数在单元内部具有“单位分解”特性，扩展有限单元的刚度矩阵具有与常规有限单元一样的优点，即对称、稀疏且带状可见，单位分解概念保证了XFEM的收敛，基于此，XFEM的逼近空间中增加了与问题相关的特定函数；水平集法是XFEM中确定内部界面位置和跟踪其生长的常用数值技术，任何内部界面可用它的零水平集函数表示112课题研究的现状在国内，扩展有限元的研究处于理论初步形成以及一些工程问题的简化处理阶段。比如西安交通大学的李录贤39综述了XFEM的基本思想，实施步骤及其应用，初步展望了该领域需进一步研究的课题。董玉文，余天堂等51直接计算应力强度因子的扩展有限元法也只是对扩展有限元的一些简单的应用方法进行研究。在国外，扩展有限元已经得到了快速发展和广泛应用。在静态和模拟动态裂纹扩展研究方面都有很大的突破，并且得到了实践的验证。理论较为成熟，分析方法灵活多样。在实际问题研究上考虑的比较周全，更加贴合实际。比如STOLARSKA等5把水平集法LSM和XFEM结合起来研究裂纹扩展问题，LSM用以表征裂纹和裂尖位置，XFEM用于计算应力和位移，以确定裂纹扩展率。PATZAK和JIRASEX33将XFEM应用于非局部连续损伤力学中，通过引入能准确捕捉局部变化概貌的特殊形状函数，在非常粗糙的网格上改进标准的位移逼近等等。12研究的目的和意义所有的工程中都存在大量的不连续问题，比如裂纹，杂质和孔隙。一般而言不连续部位对整个结构或破坏起控制作用，而同时这些问题又是不可避免的，难以计算和监控，且时刻存在的。固体力学中存在两类典型的不连续问题，一类是因材料特性突变引起的弱不连续问题，这类问题以双材料问题和夹杂问题为代表，其复杂性由物理界面处的应变不连续性引起。另一类是因物体内部几何突变引起的强不连续问题，这类问题以裂纹问题为代表，其复杂性由集合界面处的位移不连续性和端部的奇异性引起。物体内部物理界面的脱粘或起裂，是上述两类问题的混合，也属于这里所讨论的范围。另外，在复杂流体、复杂传热、物质微结构演变等复杂问题中，也存在许多不连续力学问题。数值方法，如有限元、边界元、无单元法等，一直是处理不连续问题的主要途径。有限元具有其他数值方法无可比拟的优点，即适用于任意几何形状的边界条件、材料和几何非线性问题、各向异性问题、容易编程等，因而成为数值分析裂纹等不连续问题的主要手段。比如ORTIZ以及BELYTSCHKO等通过使用多场应变分原理，用可以横贯有限单元的“弱”应变间断模拟剪切带。在强间断分析中，位移包括常规部分及改进部分，其中改进部分在横贯不连续界面时出现跳跃。使用假定改进应变变分公式，可以在单元层次上对改进自由度进行静力凝聚，以获得单元切向刚度矩阵。JIRASEK给出了这方面工作的全面评述与其他嵌入式不连续方法进行了比较。模拟断裂现象的另以个途径是XU和NEEDLEMAN提出的内聚力模型，这已被用于模拟脆性材料的损伤问题。内聚力公式是一种唯象框架，材料的断裂特征体现在粘结表面的勉励位移关系中。此方法在建模时使用了本证长度，并且不需要K主导型断裂准则，可以得到裂纹的生长路径。常规有限元采用连续函数作为形状函数，要求在单元内部形状函数连续且材料性能不能跳跃，在处理像裂纹这样的强不连续（位移不连续）问题时，必须将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的节点、在裂尖附近的高应力区需要令人难以接受的网格密度，同时在模拟裂纹生长时还需要对网格进行重新划分，效率极低甚至无能为力。在处理多裂纹问题时，要求解规模之大、网格划分之难是不可想象的，使问题变得更加复杂。处理杂质问题时，要求单元的边必须位于杂质与基体的界面处，即使对于网格自动化程度很高的二位问题也不容易。为了解决这样的问题，1999年以来在有限元的框架内发展起来的扩展有限元法，以解决不连续性问题为着眼点，对常规有限元法在求解裂纹问题时所遇到的困难提出了近乎完美的解决方案。13主要研究内容本文在有限元发展的基础上引入扩展有限元，从有限元的背景、现状、模型建立及实施有限元法的基本步骤和方法逐步给予介绍，同时阐述了扩展有限元的产生、发展背景、现状及扩展有限元的基本理论和方法。最后对扩展有限元发展至今所取得的成就做了简要的介绍，总结前人的成功实例，提出个人对于扩展有限元需要改进的地方，同时展望扩展有限元的未来发展前景。14扩展有限元发展趋势未来，扩展有限元将继续在有限元的基础上，密切结合断裂力学，岩土力学等相关科目，形成一门新的，独立的，成熟的学科，能够多层次，多角度的深入分析静态和动态裂纹等不连续问题，在模拟界面、裂纹增长、复杂流体等不连续工程实际的研究中取得突破性进展，从而能够更加精确有效的监控和设计工程实际。第2章有限元基本理论21有限元法概述有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域单元，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量自由度。根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。有限元法分析过程包括1结构离散化结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过结点连接结构的离散化是有限单元法分析的第一步关系到计算精度与计算效率，是有限单元法的基础步骤，包含以下两个方面的内容1单元类型选择离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状、单元结点数与结点自由度数等的内容。基本的单元类型见下表2单元划分划分单元时应注意以下几点I网格的加密网格划分越细，结点越多，计算结果越精确对边界曲折处、应力变化大的区域应加密网格，集中载荷作用点、分布载荷突变点以及约束支承点均应布量结点，同时要兼顾机时、费用与效果。网格加密到一定程度后计算精度的提高就不明显，对应力应变变化平缓的区域不必要细分网格II旧单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体。如三角形单元三边应尽量接近，且不出现钝角，如图21所示；矩阵单元长宽不宜相差过大等，如图22所示。III单元结点应与相邻单元结点相连接，不能置于相邻单元边界上。如图23所示IV同一单元由同一种材料构成。V网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。3结点编码整体结点编码和单元结点编码。2单元分析单元分析有两个方面的内容1选择位移函数位移法分析结构首先要求解的是位移场要在整个结构建立位移的统一数学表达式往往是困难的甚至是不可能的结构离散化成单元的集合体后，对于单个的单元，可以遵循某些基本难则，用较之以整体为对象时简单得多的方法设定一个简单的函数为位移的近似函数，称为位移函数。位移函数一般取为多项式形式，有广义坐标法与插值法两种设定途径，殊途同归。最终都整理为单元结点位移的插值函数。2分析单元的力学特征I单元应变矩阵B单元应变矩阵反映出单元结点位移与单元应变之间的转换关系，由几何学条件导出。II单元应力矩阵S单元应力矩阵反映出单元结点位移与单元应力之间的转换关系，由物理学条件导出。III单元刚度矩阵EK单元刚度矩阵反映出单元结点位移与单元结点力之间的转换关系，由EEF平衡条件导出，所得到的转换关系式称为单元刚度方程（21）EEF3整体分析整体分析包括以下几方面内容1集成整体结点载荷向量R结构离散化后，单元之间通过结点传递力所以有限单元法在结构分析中只采用结点载荷。所有作用在单元上的集中力、体积力与表面力都必须静力等效地移置到结点上去，形成等效结点载荷。最后，将所有结点载荷按照弊体结点编码顺序组集成整体结点载荷向量。2集成整体刚度方程K集合所有的单元刚度方程就得到总体刚度方程（22）R式中称为总体刚度矩阵，直接由单元刚度矩阵组集得到；为整体结点R载荷向量。3引进边界约束条件，解总体刚度方程求出结点位移分量位移法有限元分析的基本未知量，由上述可知，有限元在杆系结构，桁架结构，梁系结构，板系结构等的工程结构中都有广泛的应用。下列以平面杆系结构为例，简要概述有限元实施的步骤和基本方法。22平面桁架单元分析步骤整体坐标系标系如图，杆件的弹性模量为E，泊松比为，截面半径为R，长度为，分LJIYX,别为I节点和J节点上沿X和Y方向的节点力，分别为I节点上沿X和Y方向的IVU,节点位移，分别为J节点上沿X和Y方向的节点位移，为杆与X轴正方向夹JVU,角，分别为I和J节点沿杆轴方向的节点位移。采用一次线性位移插值模式函数,IJ221整体坐标系任意位置下杆单元的坐标表示（是任意的）（23COSINCOSINIIIIIJJJJUUVV）整体坐标系表示（24COSIN00COSINIIJJUUV）222位移整体的位移表示（25COSIN00COSINCOSINCOSINIIJJIIJJIIJJJUUXNUVUVNN）其中为单元形函数，为杆单元长度,IJNL223应变杆单元应变的向量表示（261COSIN00COSIN1COSINCOSINIJIJIJULUVLUVL）虚应变的向量表示（271COSINCOSINIEJUVBL）224单元节点位移向量单元节点的位移向量表示如下（28）IEJUV225应变位移矩阵应变位移矩阵表示（291COSINCOSINBL）226应力应力矩阵表示（210）EBE227虚位移虚位移表示（211）IIEJJUV228单元节点力向量单元节点向量表示（212）IEJXYF229虚功杆系结构中虚功表示方法（213IIJJIIIJJJEWXUYVUYVXYF）2210虚应变杆系结构中虚应变表示方法（214）EB2211虚变形能杆系结构中虚应变能表示方法（215VEELALEEEUDBEDALK）2212单元刚度矩阵杆系结构中单元刚度矩阵表示方法（216）ELAKBEDLAB2213变体虚功原理杆系结构中变体虚功原理表示方法（由能量守恒定律，作用在结构上的虚功与虚变形能相等）（217）UW由上述式子推导求得可知（上面式子带入变体虚功原理）（218EEEKF）如图由虚位移的任意性，可得下列式子虚位移的任意性（219）EEKF2214单元平衡方程任意单元刚度矩阵的表示方法（220121342341243IIJJUXKVY）2215单元刚度矩阵性质单元刚度矩阵具有对称性，半正定性，如下式子表示可知（2212222COSINSINCOSINSICOCICOSININSCOSINSOINIIISEKEALBLEAL）（222010EEAKL时）23平面桁架实例分析1234UVUV如图，杆件的弹性模量为E，泊松比为，截面半径均为R，长度均为，此模型L中有四个节点，五个单元，左端为固定铰支座，右端为滑动铰支座，分别为方向的节点位移，P为外荷载。,1,234IUVYX,离散把杆系结构离散为五个杆单元，以便于分析和计算。一单元划分每个杆单元为一个独立的单元，各个杆单元之间相互铰接，且杆二单元只承受轴力（忽略弯矩的影响），采用一次线性位移插值模式函数。节点编号每个杆单元有两个节点编号（两个杆端所在位置编号），相邻单三元节点编号有重合，但受力按照材料力学横切面内力来区别。231单元1单元1的单元刚度矩阵局部向量方程表示（22311112342312114243UKXVY）单元1的单元刚度矩阵整体向量方程表示（224）111123422312114243340000UKXVYUV232单元2单元2的单元刚度矩阵局部向量方程表示（2252221113413323224143UKXVY）单元2的单元刚度矩阵整体向量方程表示（226）222111341222233134344000000UKKXVYUVKKY233单元3单元3的单元刚度矩阵局部向量方程表示（22733331214233234124UKXVY）单元3的单元刚度矩阵整体向量方程表示（228）1333241224313332421400000000UVKXYUV234单元4单元4的单元刚度矩阵局部向量方程表示（22944441213232444123UKXVY）单元4的单元刚度矩阵整体向量方程表示（230）144433122344413124200000000UVKKXYUVKKY235单元5单元5的单元刚度矩阵局部向量方程表示（2315553121343234555441243UKXVY）单元5的单元刚度矩阵整体向量方程表示（232）144433122344413124200000000UVKKXYUVKKY236节点受力分析如图所示分别为1节点方向上的外力；为作用在4节点方向的1,XYR,XY4YRY外力；分别为与1节点相连的1单元作用在1节点方向上的力，分1,XY,X21,XY别为与1节点相连的2单元作用在1节点方向上的力；分别为与2节点相,12XY连的1单元作用在2节点方向上的力；分别为与2节点相连的3单元作用,XY32XY在2节点方向上的力；分别为与2节点相连的4单元作用在2节点方,XY42XY,XY向上的力；分别为与3节点相连的3单元作用在3节点方向上的力；3XY,XY分别为与3节点相连的2单元作用在3节点方向上的力；分别为与23,XY53,XY3节点相连的5单元作用在3节点方向上的力；分别为与4节点相连的4,XY4XY单元作用在4节点方向上的力；分别为与4节点相连的5单元作用在4节,XY54XY点方向上的力。,XY（233）一121XYXRY二（234）134220（235）三2350XYP（236）四454YR237方程组装按照对应法则，将各个单元的刚度矩阵整体向量方程叠加在一起，组成总的结构整体刚度矩阵向量方程，如下所示12121122341314224334433313211144234414225130KKKK1255511332223244314132555544410UVUVKK1123412534450XYYRXYPXRY（237）238整体刚度矩阵特点整体刚度矩阵有如下特点1对称2带状3半正定（238）121341561782223334124345647855566671273475678888KKKKKK239位移边界约束在方程总加入位移边界约束条件，可得如下（239）121341561782223334124345647855566671273475678888KKKKKK1134400XYYRUVUPVR为1节点方向的外力，为4节点方向的外力，P为外荷载1,XYR,XYYRY2310求解方程第3章扩展有限元基本理论分析扩展有限元是20世纪数值分析计算领域中最杰出的成果，至今它仍在诸多计算领域中发挥作用。有限元采用连续函数作为形函数，要求在单元内部形状函数连续且材料性能不能跳跃，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内需进行高密度网格划分以及在模拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序设计相当复杂，且效率极低。在处理多裂纹问题时，其求解规模之大、网格剖分之难是不可想象的。1999年以来，在有限元框架内发展起来的扩展有限元法XFEM，以解决不连续问题为着眼点，对常规有限元在求解裂纹问题时所遇到的困难提出了近乎完美的解决方案，扩展有限元是迄今为止求解不连续力学问题最有效的数值方法，它在标准有限元框架内研究问题，在单位分解的基础上保留了传统有限元的所有优点，且不需要对结构内存在的几何或者物理界面进行网格剖分。31单位分解法（PUM）1996年MELENK和BABUSKA及DUARTE和ODEN先后提出了单位分解法（PUM），其基本思想是任意函数都可以用域内一组局部函数表示，即XINX（31）INX式子中，是有限元形函数，它形成一个单位分解，基于此，可以IN1INX对有限元形函数加以改进。单位分解函数从构造方法上看，其着眼点在于先分片尽可能精确的将局部函数逼近真实函数，再将各片“粘合”，从而形成对函数的全局逼近。空间上的局部逼近既可以通过分片变小H型实现，也可以通过在局部逼近中有良好特性的P型实现。如果单位分解中的局部逼近空间选作多项式空间，PUM就可以看作是经典H型和P型的推广，以这种方式构造的PUM空间在逼近特征上与传统有限元空间非常相似。这种方法由于采用了有限元网格，同时也带来了其它颇具吸引力的新特点这种方法自由度全部定义在结点上，不同于P型方法自由度主要定义在单位区域内，且不同的结点可以有不同阶次的多项式，也可以是非多项式，非常灵活。这是对P型有限元一大发展。单位分解联系局部到整体分析，不存在非协调问题，即不像传统有限元模拟裂纹时单元之间存在不协调性。本文采用扩展有限元方法模拟裂纹的扩展是基于单位分解的思想基础进行的。PUM的基本原理，给定重叠分片，它构成区域D的覆盖令为定义在II覆盖上的单位分解。在每一片上，用函数空间反映局部逼近，那么，总体试探空间IVV由V给出空间上的局部逼近既可通过分片变小H型实现，也可通过IIV的良好特性P型实现。总体空间V既继承了局部空间的逼近特性，也继承了单II位分解以及空间的光滑性，总体空间V可通过恰当选取单位分解使之协调，并通I过使用足够光滑的单位分解很容易地构造出更光滑的试探空间，对板壳模型这一点是必须的。在PUM实施过程中需要注意三方面问题1PUM中形状函数的积分。2寻求PUM空间的基，控制PUM所产生的刚度矩阵的条件数。3强制边界条件的实现。以上三点在无网格法中也必须注意。32不连续位移场的建立扩展有限元的最基本的思想就是用一些附加函数来改进传统有限元位移空间符合单位分解概念的向量函数U的逼近具有下列形式（32）XHNIMIAX11式中，为有限元形函数，为改进函数，表示改进函数的个数，根据式IN（32），有限元空间（，其他）将是改进空间的子空间。1I0321裂纹贯穿单元位移模式裂纹把单元贯穿图31裂纹贯穿单元如图31所示，裂纹贯穿单元的位移场为XUJJJJKUXNXUBHX（33）式中，是节点位移向量的连续部分（即与CFEM相同的部分），是被裂纹分割JJB单元的改进自由度（每个自由度方向增加一个自由度），为被裂纹分割的所有节K点集。为节点的形函数，HX为HEAVISIDE函数。在裂纹上端，HX取1在裂纹JN下端，HX取1。用HX函数反映裂纹分割单元的位移不连续性，表达式为34，在图31中，被裂纹分割单元的结点集，用方形符号10XNH（34）式中，为考察点，为裂纹上靠最近的一点，为处裂纹的单位外法线向XXXNX量。322裂纹尖端所在单元的改进裂尖单元图32含有裂尖的单元改进如图32所示，裂纹尖端单元的位移场为XU41LMMKUXNDB（35）式中，是节点位移向量的连续部分，为裂尖单元改进自由度（每个自由度MULMD方向增加四个自由度），为网格中所有单元的节点集。是与裂尖单元有关单元的IK节点集。为裂尖单元节点的形函数，用裂尖函数反映裂尖单元的位移不连续NXBL性。在图32中，用圆形符号表示裂尖单元，一个节点如果同时属于裂尖单元和被裂纹分割单元时，这优先属于裂尖单元。裂尖函数XBL41,SIN,COS,INSI,COSIN222LLRRRRR（36）式中第一个函数在横穿裂纹时不连续。（）是局部裂尖场坐标系2SINR,R统中的极坐标。引入裂尖函数的目的如果裂纹在单元内部停止，用HEAVISIDE函数改进裂尖单元将不再准确，因为这样做，裂尖就被模拟为好像延伸到了单元的边上。裂尖函数就是用来保证裂纹精确地终止在单元内部使用线弹性渐进裂尖场作为改进函数是恰当地，一方面由于它具有正确的裂尖性态，另一方面它的使用可在相对粗糙的二维有限元网格上获得较好的精度。323含任一裂纹的位移场UX裂尖裂尖图33含有两个裂尖的单元改进14122LJIMIJLIIJKMKLAUXUDNXXHNBXVV（37）式中、为节点的形函数，为网格中所有单元的节点集。（）IJMI,IUV是节点位移向量的连续部分，是被裂纹分割单元的节点改进自由度，（12,JA）为裂尖单元的节点改进自由度。为被裂纹分割的所有单元的节点集，用12,LMDK方形符号表示，为裂尖改进单元的节点集，用圆形符号表示。K式（37）表明，若单元中没有裂纹经过，则该单元的位移场为等式右边第一项；若单元被裂纹贯穿，则该单元的位移场为等式右边的前两项；若单元是裂尖所在单元，则该单元的位移场为等式右边第一项和第三项之和。由上述位移模式可知，为了在常规有限元位移模式中考虑裂纹对位移的影响，需对裂纹周围的节点自由度进行加强。加强节点通过水平集函数自动搜索。综上所述，对于平面问题，裂纹完全贯穿的单元，在常规每个自由度方向增加1个自由度，其每个节点的自由度为4个；裂缝尖端所在的单元，在常规每个自由度方向增加4个自由度，其每个节点的自由度为10个。33离散方程的建立331虚功方程位移模式构造后，可以和常规有限元方法一样，由虚功原理推到扩展有限元的支配方程。假设结构产生了一个允许的虚位移，其虚功方程为HUHHHBSUCDFUDF（38）式中，和分别为分布体力、分布面力和集中力；为弹性矩阵；BFSC为应变。U332支配方程扩展有限元的支配方程为KUR（39）式中为整体刚度矩阵，由单元刚度矩阵集合而成KUAUBIJIJIJEIJBIJIJIJK（310）311ETRSRSIJIJKBDD,RSUAB分别代表单元位移向量的连续部分、被裂纹分割单元和裂纹尖端所在单元,UAB的节点改进自由度；代表单元节点数目。分别为是常规应变矩阵，裂纹,IJ,UABII穿过单元以及裂纹尖端单元的附加应变矩阵。0IUIIIINXBYX1,234I（312）0IIAIIINHXBYX1,234I（313）1112223334440000TIIIIIIIIBIIIIIIIIINNXYXXYNXBXYXNNXYX1,234I（314）为整体荷载列阵，由单元荷载列阵集合而成R1234,TEUABBIIIIRRR（315）式中为常规单元的荷载列阵向量；，分别为被裂纹穿过UIAI1234,TBBIIR单元和裂尖单元的荷载附加列阵；在无裂纹穿过单元荷载列阵取第一项，由裂纹穿过单元荷载列阵取前两项，裂纹尖端所在单元取除第二项之外的其余所有项。EUIISIBIRNFDNF（316）EAIISIBIRHDDH（317）EBAIIASIABIARNFDDNF（318）上述式中为面力，为体力，为集中力。SB333形函数偏导形函数的偏导形式为IIIINHXY（319）1,234,IJJIJIIJJIJINXXYY（320）裂纹与X轴夹角为裂纹X1轴与R轴夹角为图34裂纹的局部坐标裂尖函数要对整体坐标（X,Y）求偏导数，需先转换成对坐标（X1,X2）求偏导，如J图34所示12COSINJJJXX（321）12SINCOSJJJYX（322）为了计算和（J1，2，3，4），可先计算和，和及和1JXJJRJ1RX2RX，其中为裂缝尖端切线与轴夹角。2XX1SIN2XR（323）21COSXR（324）313SIN2XR（325）413COSIN2XR（326）12COSXR（327）21SINXR（328）3213SINCOS2XR（329）4213COSCOS2XR（330）34水平集法（LSM）341基本概念水平集法是一种确定界面位置和追踪界面移动的数值技术，该方法中，界面可以用比界面维数高一维的函数的零水平集表示，界面的变化方程可以表示成,XT关于变化的方程。移动界面可表示为函数的水平集曲线2R,XT，其中2,0TT的移动可由的演化方程得到T0,TFX给定其中，是界面上点在界面外法线方向的速度。FT342水平集对裂纹的描述水平集函数常取下列符号距离函数，即,MINXTT若位于所定义的裂纹上侧，上式前面的符号取正，否则取负。如图35所示XT考察点位于裂纹面上方时,INXTT裂纹面X考察点位于裂纹面下方时,MINXTT图35裂纹面及考察点处的水平集函数35积分方案由于扩展有限元在裂纹经过单元不需要网格的重新划分，所以在裂纹经过单元采用和常规有限元相同数目的积分显然是不能达到要求的。为了保证积分的精度，采用以下积分方案（1）没有节点加强的单元，其积分方案和常规有限元中的积分一样，采用2X2个高斯积分点。（2）没有裂纹穿过，若由HEAVISIDE函数加强节点的单元，采用2X2个高斯积分点，若有裂尖函数加强节点的单元，采用4X4个高斯积分点。（3）在裂纹贯穿单元，裂纹将单元分为两个子域，分别由每个子域的角点形成DELAUNAY三角形，每个三角形内采用三个高斯积分点。（4）在裂纹尖端单元，缝尖延长，将单元分为两个子域，将裂尖点与裂尖单元四个角点相连，由此将该子域划成六个三角形单元图38伪，在每个三角形单元内采用13个高斯点积分。在积分时将积分区分为这些三角形，并不增加整体的自由度数，只是积分的需要。在积分方案中，采用了将单元划分为若干子单元的方法进行积分，这与传统有限元模拟不连续问题所采用的网格细分或重新划分有所不同，下面讨论两者之间的区别。网格重构的核心是增加逼近基函数数目，扩充离散空间，通过对奇异性附近网格的加密来改善逼近能力。网格重构要求基函数的导数在任何单元上不能太大，由于形状糟糕的单元对有限元方法的精度和收敛性会产生很大影响，裂纹裂纹单元裂尖子单元A被裂纹分割单元B裂尖所在单元图36裂纹单元的积分方案均匀性条件一般通过强制约束单元形状得以采用满足。扩展有限元单元分解与网格重构的不同反映在以下几个方面（1）在XFEM中，单元分解的目的是进行数值积分，在离散空间中并不引入额外自由度。2由于基函数与结点相连，它们维系在母单元上而不是在子三角形上，因而XFEM对分解所得的单元形状没有限制。36扩展有限元法应用扩展有限元（EXTENDEDFINITEELEMENTMETHOD）是基于单位分解的思想在常规有限元位移模式中加进一些特殊的函数，即跳跃函数和裂尖渐近位移场，从而反映裂纹的存在。扩展有限单元法将结点位移分为常规位移和加强位移两部分，加强位移是由于裂纹的存在而产生的，采用跳跃函数和渐近裂尖位移函数来模拟。在XFEM中，不连续裂纹面与计算网格是相互独立的，划分单元时不依赖于裂纹的几何界面，在裂纹扩展后也不要重新划分网格，因此能方便地分析不连续力学问题1XFEM在计算断裂力学中的研究与应用XFEM问世后在国际上引起了极大关注，得到了快速发展和广泛应用。KARIHALOO和XIAO1综述了XFEM在静态和扩展裂纹问题中的应用，并与早先提出的广义有限元GFEM进行了比较。SUKUMAR等2用XFEM对任意材料细观结构准静态裂纹扩展问题进行了模拟，并提出了一种用新的约束三角化算法形成初始有限元网格。NAGASHIMA等3采用XFEM研究了双材料界面裂纹问题的应力强度因子的计算。SUK切MAR等4把XFEM用于研究三维裂纹问题中，采用单位分解概念，在传统有限元的逼近中增加了不连续函数和二维裂纹的裂尖渐近位移场，解决裂纹存在问题。STOLARSKA等5把水平集法LSM和XFEM结合起来研究裂纹扩展问题，LSM用以表征裂纹和裂尖位置，XFEM用于计算应力和位移，以确定裂纹扩展率。DAUX等6利用XFEM研究了任意源自孔洞的分支和交叉裂纹，根据不连续几何特征的相互作用，对逼近空间进行了改进。MOES等7,8利用XFEM研究了非共面三维裂纹扩展问题，其中不但使用了HEAVISIDE跳跃函数表征裂纹，而且引入了分支函数表示裂纹波前以改善方法的精度。CHESSA等10通过扩展应变法改善了扩展有限元自由度和标准有限元自由度混合出现始时单元的性能。DOLBOW等11利用XFEM求解了板的断裂问题，提出了一种恰当形式的相互作用积分。DOLBOW和GOS12用XFEM研究了功能梯度材料中的混合型应力强度因子。JRTHOR6等14,15采用XFEM模拟动态裂纹的扩展，其正确性通过与理论解或试验数据得到验证。对动载荷的静态裂纹，该方法具有静态情况一样的优点对移动裂纹，证明该方法是稳定的且能满足能量守恒。TMENOULNARD等16采用XFEM模拟动态裂纹扩展，他们得到了这样的结论XFEM模拟动态裂纹扩展时，采用合适的时间步，可以使用显示时间积分技术。TEDBELYTSCHK。等17采用XFEM和水平集模拟率无关材料的动力开裂。TEDBELYTSCHK。等18采用XFEM模拟弹性动力裂纹扩展。BPRABEL等19采用XFEM模拟弹塑性介质中的动态裂纹扩展，数值模拟和试验结果一致。JEONG一HOONSONG等20通过重新安排XFEM基函数和结点自由度，用叠置单元和虚结点描述不连续体。算例表明该方法模拟动态裂纹的扩展具有有效性和健壮性。GOANGSEUPZI等21采用XFEM模拟动态裂纹的扩展，数值分析表明XFEM能很好地捕捉冲击载荷下混合模式断裂的实验现象。JOHNDOLBOW等9采用XFEM模拟摩擦接触裂纹的扩展，接触面采用三种不同的非线性本构关系完全接触、摩擦接触和无摩擦接触，用LATIN法迭代求解非线性边值问题，数值结果和解析解或实验结果吻合得很好。ARKHOEI和MNIKBAKLLT13采用只用跳跃函数加强的XFEM模拟摩擦接触引起的不连续问题。基