初中数学题及符号集合(附详细解答)

符号AX2903A1/A2103XY1、怎么用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线过此点用圆规画弧，与直线形成两个交点，分别过两点再以相同长度画弧，交点与原点相连就是已知直线的垂线。可以用三角形全等来证明。2、已知两条等宽的纸条倾斜相交（注意不垂直）求证四边形ABCD是菱形证明很容易证明是平行四边形。两种思路由两平行线距离相等，且由平行四边形面积公式可得，这平行四边形底也相等，所以邻边相等由两平行线距离相等推出三角形全等，得邻边相等。3、如图,已知各点坐标A11，0，A21，1，A31，1，A41，1，A52，1，A62，2，A72，2，A82，2，A93，2求A2007的坐标解周期性由A142A11，02，2A145013A93，2A2005A2005502,501A2006502,502A2007502,5024、ABC的中线为BD，过B作BEAC，过A作AEBD，AE与BE相交于E，连结CE交BD于点O问BD与CE是何关系请给出证明。BD与CE相互平分证明连结ED由EBADCD得四边形EBCD是平行四边形/平行四边形对角线相互平分5、如图所示，在ABC中，M是BC中点，AN平分BAC，BNAN。若AB14,AC24,求MN的长。解延长BN到D，则ABNADNASAN为BD中点NM为BCD的中位线NMDC（2414）5126、矩形内有一点P到各边的距离分别为1,3,5,7，则该矩形的最大面积为64平方单位。解面积（长宽）当长和宽越接近时越大。所以长宽8时面积最大。面积为88647、三角形三边长为，5，2，求最大边上的高为136设X，由21X2225X2X42H8、如图所示，在AABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G。BG42，则CEF的周长为（8）首先AG262（4）2AG2由ABGEBG得EGAG2且BEBA由FBAFDAF得DFAD9FC963由平行线分线段成比例得FEAEFCCD得FE2由EC963CEF的周长为32389、平行四边形是（中心）对称图形。10、把两个全等三角形按各种方式拼成四边形，则这些四边形中平行四边形有（3）个。11、把三边长为4、5、6的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成6种不同的四边形，其中有3个平行四边形。12、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（3）个。13、以不在一条直线上的三个已知点A、B、C为顶点作平行四边形，这样的平行四边形可作3个。14、平行四边形两邻边上的高是2和3，高的夹角是，则周长是（20）60解显然BAF，设BFX，则AB2X30由12X2AB42X同理得BC6平行四边形的周长为4622015、如图所示矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板，则矩形ABCD的周长为（8）5解过G作GHAE于H，则图中分成四个相似的直角三角形由GH4，AH2得AG2AH2HG2得AG25由相似比222GDGD5由相似比244ABAB85矩形ABCD的周长为228216、如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，问当两张纸条垂直时，菱形的周长为最小，为什么那么最小值为多少什么时间菱形的周长最大最大值是多少解显然在打斜时菱形的边长变长此时AE2,显然AEX10046、一组数据的方差是2，将这组数扩大到原来的3倍，则所得新数据组的方差是（18），为什么解利用公式S1N2XXA221X218347一个样本M的数据是，它的平均数是5；另一个样本N的数据是1X2NX，它的平均数是34，那么下面结果一定正确的是（A），请说明理由。21X2NXA9B9C3D3MSNS2M2NS解（N）2MS1N2X2X34N25N950一个样本的容量为80，分组后落在某一区间的频数为5，则该组数据所占百分比为（625），为什么解频数出现的次数（即出现多少次）5/8062551、某县抽取200名学生进行调查，画出如图所示的直方图。已知图中从左到右的4个小组所占百分比分别是4，10，16，40。则第五个小组的频数是（60），为什么解第五小组的频数为200141016402003060【第五小组的频数即为第五组的人数出现的次数。】52如图所示，已知正方形ABCD中，M为AB中点，BN平分CBE，且DMNM请用两种证法证明DMMN（两种证法都是构造出全等三角形转化）证法一取AD中点F，连接MF由DFMMBN（ASA）得DMMN证法二过N作NGBE，NHBC易得四边形NHBG为正方形；且证出四边形NHMB为平行四边形得MBNHBGAMNGDAMMGNAAS得DMMN53、如图所示，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF四边形ADEF是什么四边形，请证明。当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形。当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。解由EBDCBASASDEAC，且AFAC同理DAEF两组对边相等的四边形是平行很容易计算当BAC2时DAF，这时四边形就为矩形36091509很容易当BAC时形成不了四边形54如图所示，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少为什么解做这道题先明白一个原理对下去得对角线上的小正方形块数和边上的块数相等接下来就好办了一条边的小正方形块数10112151块一共有51512601块55如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。问PE是否过某一定点并说明理由。恒过对角线的中点O。连结PE和AC，设它们相交于K。只需证明K为AC的中点，与O重合即可。通过APKCEKAAS56如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10CM，母线OEOF长为10CM，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA2CM，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点。求此蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米解因为OEOFEF10（CM）所以底面周长10（CM）将圆锥侧面沿OE剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE10（CM），弧长等于圆锥底面圆的周长10（CM）设扇形圆心角度数为N，则根据弧长公式得N10/18010所以N180即展开图正好是一个半圆因为F点是展开图弧的中点所以EOF90连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形AOE中由勾股定理得EA2OE2OA210064164所以EA241（CM）即蚂蚁爬行的最短距离是241（CM）57如图所示，矩形ABCD，AD6，AB8，P为DC上一动点不与D、C重合，且BQAP。设APX，BQY，求X与Y的函数表达式。解提示用等面积法连结PB58若双曲线Y上两点点A4，2、C的纵坐标为8，O为原点。求AOC的面积。8X解先算出C1，8作ABX轴于B,CDX轴于D,SAOCS（OCDSCDBASOAB4823/241559已知抛物线Y1与X轴的交点为A、BB在A的右边，与Y轴的交点为C。当点B在2XM原点的右边，点C在原点下方时，是否存在BOC为等腰三角形的情形若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由。解首先由图象分析函数只能在右边B在原点右边，M0由Y0得012XX1MXBXAXB1M由X0YC1注意是02由等腰直角三角形有|1M|1|2M得1M12得M20M2存在M使BOC为等腰三角形2M60、如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC5，O为对角线的交点。现过点O作OEAC交AD于E。求AE的长。解用等面积法勾股定理AOE的高是ABAOAC121234由等面积法AEABOE1234OE34AE由勾股定理22342AE5342AE1761如图所示，在梯形ABCD中，ABDC，ADC，ADDC4，AB1，F为AD的中点，求F到BC的90距离。解用面积法。AFFD42连接BF、FC12过点B作BEDC交DC于E。F到BC的距离为BFC中BC边上的高则SBFCS梯形SAFBSFDCBC高12即1441242BC高12而BC5BC21014高52高2F到BC的距离为2。62如图所示，二次函数YAX2BXC的图象开口向上，图象经过点1，2和1，0，且与Y轴交于负半轴。以下结论ABC0；2AB0；AC1；A1正确的是，为什么解显然A0，0B0，C02由102AB由得B1AC1A12B2A63（1）已知线段A8，B4，C25，D5，判断它们是否成比例线段为什么（2）已知线段A8，B4，C5，D25，判断它们是否成比例线段为什么解把四条线段按从小到大或从大到小排列，之后看是否成比例。它们都是比例线段。64若与A0均有意义，则一定有D3AABCD以上结论都不对3A3A65某个图形上的各点的横、纵坐标都变成原来的1/2，连结各点所得的图形与原图形相比一定是选“是”/“不是”/“无法确定”位似图形。为什么解某个图形上的点A的横、纵坐标为M,N，则该点对应点为AM/2,N/2，由YKXB过M,N0,0得B0M/2，N/2一定过直线YXNM所以O、A、A三点共线，且|OA|2|OA|可知新旧图形位似，【位似中心】为坐标原点O，【位似比】为12。66二次函数YX22X3在0X2这个范围有没有最大值若有，请求该最大值；若没有则请说明原因。解由图象得函数在此区间上无限接近最大值3，但始终取不到。没有。若题目改为在0X2这个范围则函数有最大值3。67有一个病毒，经过两轮传染后共有169人得了病，若每轮每个病毒传染人数相同，平均每个病毒传染了多少人解设平均每个病毒传染了X人第一轮后，有X1个人被传染（增加了X人，原来有1人，X1）第二轮后，有X12个人被传染即增加了X1X人，原来有X1人，X1XX1X12X12169X113（负值舍去）X12答平均每个病毒传染12人。68如图所示，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，ABOC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OBOC（1）求点B的坐标；（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PHOB，垂足为H，设HBP的面积为S（S0），点P的运动时间为T秒，求S与T之间的函数关系式（直接写出自变量T的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P作PMCB交线段AB于点M，过点M作MROC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF，当T为何值时，25EGF解1注意是OBOC10AB6点B6，82由相似三角形得出面积的求法SHBPBHPH12由BNOPHO有两角得注意NOBA6NOHBP即6108105T1010BH6030TBH43TPH84TSHBP43T84T1216T24T160T2不能取25T1069典型题如图1所示，抛物线YX2BXC与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C0，2，连接AC，若TANOAC2（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴L上是否存在点P，使APC90，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由。（3）如图2所示，连接BC，M是线段BC上不与B、C重合的一个动点，过点M作直线LL，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为T。当T为何值时，BCN的面积最大最大面积为多少图1图2解1TANOAC2OA1二次函数经过C0，2，A1，0OA二次函数解析式YX23X2201BC3B2用相似或直角三角形知识都可以解特别是相似设对称轴L与X轴交于E点，过点C作CDL交L于D且令CPD1，APE2，PAE3（注意APC90是已知条件）对称轴X点P的坐标为，PE2BA332EA1CD3APC90129013解一（用相似解）CDPPEA（有两角）即即（2PE）PE解得PE或PEPDAEC21PE334321解二用直角三角形解由13得TAN1TAN3即即解得PE或PE32PD132PE1321点P坐标为，或，3用折分法SBCNSCNMSBMN先求B点坐标2，0（由对称轴看出）C点坐标0，2由得直线BC的解析式YX202KBM点坐标T，T2SBCNMNTMN2TMN12而MNT2T23T2T22TT121当T1时，SBCN的最大值为1。70如图所示，ABC沿AB边平移到ABC的位置，它们的重叠部分的面积阴影部分是ABC的面积的一半，若AB，则三角形移动的距离AA是A2A1BC1D21解利用小学学过的“三角形面积之比是对应线段的比的平方”来做设ABX2X1X1AA171如图所示，要建一个面积为130M2的小仓库，仓库的一边靠墙且墙长16M，并在与墙平行的一边开一道1M宽的门，现有能围成32M墙的木板，求仓库的长平行于墙的边长和宽。解设宽为X，则长为3212X注意“32M”为右图红色部分3212XX130注意长3212X16即2X233X1300解这个一元二次方程得106512X由10解得长32121013，由65解得长331320舍去2答仓库的长为13M，宽为10M。72如图。有一块三角形土地，它的底边BC100M，高AH80M，某单位要沿着BC边修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米解用相似二次函数矩形的长和宽分别为DGX、DEY由相似三角形得10XADBMHAHX100AM即80X10080YX80Y54矩形面积S80YYY2100YY280YY280Y160020005454Y4022000当Y取40时面积S取最大2000当矩形的宽等于40M，长为50M时面积最大。73如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，E是BA的中点，DFBC，垂足为F，则AEDEFB吗为什么证明（凡是中点都是伸出凑在一起）延长DE与CB相交于G，则DEGE，AEDBEGEF为直角三角形斜边上的中线，EFEGEFBG又GADGADGAED（等角对等边）AEDEFB74如图，在等腰直角ABC中，ACB90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF（1）求证ADCF（2）连接AF，试判断ACF的形状。证明1要证明CGA90，需证明1290只需证明13（2390）只需证明ACDCBF可计算出CBFACD180得CBF90由445得545FBDBDCACDCBF（SAS）整理（2）ACF是等腰三角形由ACDCBF得ADCF又由AB为线段DF的垂直平分线或ADBAFB（SAS）得ADAF由上题得ADCFCFAFACF是等腰三角形75如图，D是ABC的BC边上的一点，且CDAB，BDABAD，AE是ABD中线。求证AC2AE证明（伸出）延长AE使FEAE，连结FD显然BEADEFAF2AEEFDEAB需证ACAF需证ADFADC（SAS）由ADADFDABCDAD