对不等式选讲的认识与思考

对不等式选讲的认识与思考1不等式选讲构成的背景及其定位众所周知，不等式一直在中学数学教材中占有相当的位置，也一直是高考中的必考内容，但由于“不等式的证明”所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点，给学生的学习带来了一定的困难，因此，近些年来，不等式内容有逐渐淡化处理的倾向。例如，1963年制定的全日制数学教学大纲在我国数学教育史上首次提出要培养学生的“三大能力”（计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），根据该大纲编写的高中数学教材（普遍认为是建国以来编写得最好的一套教材）对不等式学习的要求较高；1978年制定的全日制十年制学校中学数学教学大纲，首次提出了“逐步培养学生分析问题和解决问题的能力”，对不等式学习的要求有增无减；1986年，国家教委按照“适当降低难度、减轻学生负担、教学要求尽量明确具体”的三项原则制定了全日制中学数学教学大纲，对不等式学习的要求开始降低，特别是对“不等式的证明”只要求会用重要不等式证明或求解一些简单问题；伴随着90年代“素质教育”的大力提倡，被认为“繁难”的不等式证明最终以“选修”教材的形式出现。总的来说，不等式问题的处理逐渐呈现出淡化理论阐述与推导、减少恒等变换的技巧训练的趋势。普通高中数学课程标准（实验稿）对不等式的处理分为两个部分一是必修模块数学5中的一元二次不等式、二元一次不等式组以及基本不等式，重在强调不等式的现实背景和实际应AB2用，把不等式作为描述、刻画优化问题的一种数学模型；二是选修系列4中的专题5“不等式选讲”，涉及的内容仍然大都是基础性的不等式知识，如，含有绝对值的不等式、不等式的基本证明方法、几个重要的不等式等。特别值得注意的是，“不等式选讲”仍属于高等院校招生考试的命题范围。而且，考虑到不等式在高等数学中的基础性和工具性特点，标准在“不等式选讲”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”等几个重要不等式的内容，并特别强调这些不等式的几何背景知识的介绍，意在增强学生对不等式本质的认识，为后续进一步的学习做准备。2新增内容的特点及其设列意向“不等式选讲”中真正能称得上是新增内容的实质上只有柯西不等式和排序不等式，贝努利不等式作为数学归纳法的一个简单应用算不上是新内容，而排序不等式的去留又一直存在着争议。这样，柯西不等式就成为本专题的一大特色内容。鉴于此，此处仅重点讨论一下柯西不等式的特点及其设列意向，顺便介绍排序不等式的大概情况。一般来讲，柯西不等式是由大数学家柯西NIINIIBAA1212CAUCHY在研究数学分析中的“留数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为CAUCHBUNIAKOWSKYSCHWARZ不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，并将这一不等式应用到近乎完善的地步。BABABADXGXFDXGF222这也说明，柯西不等式主要是作为数学分析的重要工具受到关注的。但真正能显示其魅力的还在于它与高等代数中的内积空间的密切联系，即任意两个向量的夹角的余弦，于是,COS，这就是柯西不等式的向量形式，如果设1，容易得到。可以,2121NNBANIINIIBAA1212说，标准将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景。柯西不等式的向量形式将数学中的两个重要概念长度和角度（只考虑长度又如何）内在地统一起来处理，一定程度上体现了数学的统一性和美感，作为中学数学的内容很有必要（多个国家的数学教材中也早已采用）。但考虑到中学生数学学习的实际情况以及当前课程改革的基本理念，柯西不等式的呈现仍不宜过难，基本上应以二维形式为主，即重点研究及其简单222BDACCBA应用，而且还应淡化过于技巧化的式的变换。关于不等式的证明及其几何背景222DCCBA（1）由于,22CBABAD2CBDAC22C从而，又非负22D2DC所以，。22BACDC（2）证明2BA0222BDACCBA02DBAC22CDC0AB几何背景如图，在三角形中，OPQQOPDCBA,则Q（C，D）,22DCAOPOBCQP（A，B）将以上三式代入余弦定理，并化简，可得COS222OPQOP或22COSDCBAOS222DBAC因为，所以，10122CD于是222BABA教材编写和教学过程重点则应放在柯西不等式的几何解释、向量背景以及实际应用上。柯西不等式的相关内容简介（1）赫尔德HOLDER不等式1212121QPBABABAANQNQPNP当时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不Q等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。（2）平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）2221221221NNNBABABBAA可以借助其二维形式来2212A理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。该不等式的一般形式PNPPPNPPNPBABABBAA12112121称为闵可夫斯基（MINKOWSKI）不等式。它是由闵可夫斯基在对N维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点，定义其距离为,2121NNYYXXPIIX1,闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。排序不等式的设列意向及其基本思想排序不等式还从来没有作为正式内容进入中学教材。标准之所以将其作为重要不等式提出来，主要是看中了其蕴含的一种重要数学思想排序思想。如所知，在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）的数学问题时，如NA,21果根据对称性，假定他们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解。这就是数学中的排序思想。可以借助一个几何问题来认识排序不等式。BN设（常数），在边上顺次取NBJAOBOA个点，在边上顺次取N个点B1NA,21OB将任意两个点连结，得到OA1AIANBJI,，这样一共可以搭配成N个三角形。JIO显然，搭配的方式不同，得到的三角形不同，面积也就可能JIB不一样。问如何搭配，才能使得到的N个三角形面积的总和最大最小不妨设由题设知,21,JIBOBAAJII（1）321NA（2）,因为，而是常数。于是，上述几何问题SIN2JOBABASJISI就归结为下面的代数问题在数组（1）中取定，然后在数组1A（2）中任取，得乘积；再取及作乘积；类似地，得1J1J2A1JB21JB乘积。这N个乘积的和是NJBA1JBA21JNJ问怎样安排，使这个和最大或最小。这个问题的解就N,2是下面的排序不等式。一般地，设有两组正数与，且，NA,21NB,21NAA21若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时NBB21最大，倒序时最小即（倒序）（乱序）（同序）112121BABANNIIIN其中是的任一个排列，等号当且仅当NII,21,或时成立。NAA21NBB21其证明一般采用“逐步调整法”进行，教材对此不作要求，但要会用“向量递归方法”讨论这一不等式成立的事实。排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。此外，它在涉及最优化问题的实际生活中也是重要的解决工具。不等式选讲标准在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。内容与要求1回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。2理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式（1）；BA（2）C（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式；CBAX；AXC3认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义。（1）证明柯西不等式向量形式（2）证明222BDACCBA（3）证明23123123232121YXYXYX4用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况1212NIINIIBAA5用向量递归方法讨论排序不等式。6了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。7会用数学归纳法证明贝努利不等式。为正整数,11NXXN了解当N为大于1的实数时贝努利不等式也成立。8会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。9通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。10完成一个学习总结报告。说明与建议1在本专题教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质。2利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。3数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。不等式选讲标准解读一、设置“不等式选讲”专题的意义同等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数学关系，他们不仅在现实世界和日常生活中大量存在，而且在数学研究和数学应用中也起着重要的作用。本专题将介绍一些重要不等式（柯西、排序、贝努利）和他们的证明，数学归纳法和它的简单应用。本专题强调不等式的几何意义及其背景，旨在加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。本专题的内容是以初中课程为起点的。要求学生从几何意义和背景出发来理解不等式及其数学本质，要避免过多的代数恒等变形，不要对恒等变形的难度特别是一些技巧作更多的要求，不等式的教学不要陷入过与形式化和复杂的恒等变换的技巧当中。数学归纳法是重要的数学思想方法，同样不应陷于复杂的恒等变换之中，冲淡对数学归纳法本质的理解。本专题与高中课程中的必修内容没有必然联系，无需以他们作为预备知识。当然，如果学过上述内容，特别是数学必修4、必修5，对本专题可以更好的理解。二、本专题的主要内容和基本思想本专题中的重要不等式主要涉及绝对值不等式、柯西不等式、贝努利不等式和排序不等式，以及比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等不等式证明的的基本方法。其中，贝努利不等式的证明将很自然地和数学归纳法联系在一起。绝对值有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为的点到原AA点的距离。利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式。比如，不等式的解就可以直BXC接理解为数轴上满足到坐标为的点的距离与到坐标为的点的距离C之和大于等于的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为A（在，之间的点取到），因此，不等式的解取决于与CBBCB的大小关系。用类似的方法也不难证明，实际上ACAB只需要注意到，在数轴上的位置关系即可。ABC柯西不等式是有着很重要的数学背景的不等式，在许多领域当中，都能够看到它的影子。配方法是证明柯西不等式最直接的简单方法（包括证明柯西不等式的一般情形），平面三角不等式是柯西不等式的等价形式。如果从向量的角度来看，任意两个向量的夹,角的余弦，于是，这就是柯西不等式,COS1的向量形式。排序不等式也是应用范围比较广泛的不等式，我们也可以利用它来证明柯西不等式。贝努利不等式是一个很重要的不等式，在很多方面有着广泛的应用。用数学归纳法证明它简单明了。数学归纳法是证明关于自然数的有关命题的重要方法，本质上是一个原理。总体来看，数学归纳法有两个重要步骤构成首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必需的；然后需要有一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形。通常，这个一般意义的演绎规则是从所谓的归纳假设开始，从较小的规模成立的假设推导出较大规模的情形也成立，从而建立一个一般的演绎规则。一般所谓的第一数学归纳法，就是在假设PK1成立的前提下，得到PK也成立。第二数学归纳法则是从PK到PK。灵活应用以上原则，即可得到更多的数学归纳法的不同形式，有时根据演绎规则的需要，奠基步也会有相应的变化，比如所谓“跳步”数学归纳法和“倒序”数学归纳法。我们用具体问题说明如下。用数学归纳法证明一个正方形可以划分为N个小正方形（不一定全等），其中N4或N7首先，当N4,7,8,9时，有如下分法一分为四、一分为四后将其中一份再一分为四、第一行第一列分出七个相等的正方形、三等分成九个正方形。然后，假设NK时命题成立，我们来说明NK3时命题也成立。实际上，只需要注意到上述N4时的情形，再将其中一个小正方形根据假设划分为K个更小的正方形，于是NK3时命题也成立。这就是所谓的“跳步”数学归纳法。下面再以平均值不等式的证明为例，来说明“倒序”数学归纳法。我们熟知平均值不等式指的是对任意N个正数都,21NX有