关于行列式的计算方法

行列式的计算方法综述目录1定义法（线性代数释疑解难参考）2化三角形法（线性代数释疑解难参考）3逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）4升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）5利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）6递推法（线性代数释疑解难参考）7数学归纳法（线性代数释疑解难参考）8拆项法（课外辅导书上参考）9换元方法（课外辅导书上参考）10拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法1定义法由定义看出，级行列式有个项。较大时，是一个很大的数字。直接NNN用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在级行列式中的等于零的项的个数较N多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。例1算上三角行列式12120NNAA解展开式的一般项为1212NNJJJA12220NNA同样，可以计算下三角行列式的值。121210NNNAA2化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。例2计算NABDBA解各行加到第一行中111NABANBANBD11BABAN把第二列到第列都分别加上第一列的倍，有N111000NBAANANBAB3逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。例3计算级行列式N123121NXDXX解从第二行起，每一行的倍都加上上一行，有111101XXDX上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素，且最后一0或行有元素都是。因此可再用两列逐列相减的方法第列起，每一列1NX1N的倍加到后一列上001010XDXX1010XX10001NXX11NNX4升降法（加边法）升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的阶成为阶，且往往N1让阶行列式的值与原阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计1NN算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。例4计算级行列式N12121NND解121201NND120N1100NINI5利用范德蒙德行列式例5计算级行列式N11122211NNNNAAADN解这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。的第行依次与行，行行,行对换，再将所得到的行列式ND1N21的第行，依次与行，行行对换。如此继续下去，直到最后将第,行与行对换，这样经过次对换后，N11122NN得到12222111NNNNNAAAD这是一个范德蒙行列式。于是有12NNJINDAINJ12NJINJ范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。6递推法这种方法是计算阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给定的N阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。ND然后从递推关系式出发求出的一般表示式。N例6计算级行列式N12211000NNNXXDAA解本题第一列只有两个非零元素，且的余子式恰为。因此我们有可ND能找出递推关系式。按第一列展开得11001NNNXDXAX211NNNXADA故1NNX这就是本题行列式的一个递推关系式，往减少方向递推有12NNDAX故有212121NNNNNAXDAXD3AX3221NNNX3221AXAAX132NNNNNX7数学归纳法计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。例7试证阶行列式N12211000NNNXDXAA12NXX证明用归纳法步骤1验证当时，2N左211221XXAXAA右左边右边2注意当本题行列式为阶时，应取右下角的阶与有关的行列式，而不能12,A取左上角的。2设当阶时，结论成立。1N则将用第一列展开，有ND11001NNXDXAX11231121NNNNNNNNXAXAXAAA22NX右8拆项法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。此法称为拆行（列）法。例80000NAABBDA00ABBAB01001AABBA对于上面的第一行列式，将第列乘加到其余各列上，对第二个行列式按第NB列展开，最后可得N110010NNNBABADB这样我们得一个递推公式1NDAB如果将第一列对按类此方法拆项，又可得到另一递推公式B1NNDA取立上述两递推公式1NNABD当时，AB1NNABD当时，1NN9换元方法这种方法利用行列式的这样一条性质设12111212221212,NNNNNNNXXDD则,1IJIXA例9计算阶行列式NNXDX解000NXX100NXX11NNNXX10拆因法如果行列式中有一些元素是的多项式，那么可以将行列式当作一个多项式DXD，然后对行列式施行某些变换，求出的互素的一次因式，使得与FXFXFX这些因式的乘积只相差一个常数因子，根据多项式相等的定义，比较GC与的某一项的系数，求出的值，便可求得FXCGX例10计算1231123NNXDX解已知行列式是的次多项式，利用行列式的性质我们把NX次多项式分解成的一次因式的乘积。当时，的第一列和第二列1ND1XND的对应元素成比例，所以。显然是的一个因式。0NN当时，的第一列和第三列的对应元素成比例，所以。显然是2XN0N2X的一个因式。ND同法得出是的因式。因为和3,4,1XXNNDXI为互素，所以，但J,1,2,IJ121ND的展开式中的最高项的系数是，因此ND1NXX总结以上我们介绍了计算行列式的10种方法。在具体计算时，要根据行列式构造上的特点，利用行列式的性质，选用适当的方法来计算。这就需要我们熟悉个类型行列式的构造上的特点及善于不断的归纳总结。学无止境。明天，将是我终身学习另一天的开始。在此谨向帮助过我的所有老师和同学表示诚挚的感谢此致敬礼潘滨2013年12月28日【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。顶3收藏2【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。顶7收藏7【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点瞬间回眸，点亮了生命精彩。顶11收藏9【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。顶0收藏2【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。顶3收藏4【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。顶0收藏2【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。顶1收藏3【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。顶2收藏3【唯美句子】那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。顶4收藏5【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。顶3收藏5【唯美句子】在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。顶4收藏3【唯美句子】看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。顶1收藏1【唯美句子】很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。顶2收藏0【唯美句子】我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。顶2收藏1【唯美句子】那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠【优美语句】踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。顶0收藏0【优美语句】人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。顶0收藏0【优美语句】母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃；母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。顶0收藏0【优美语句】生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔；生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大；生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。顶0收藏0【优美语句】母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然；母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱；母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。顶0收藏0【优美语句】努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。顶0收藏0【优美语句】品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。顶0收藏0【优美语句】母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。顶0