同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式138402解124301111801321814124816442BAC解ACBBACCBABBBAAACCC3ABCA3B3C3321解2CBABC2CA2AB2AC2BA2CB2ABBCCA4YX解XXYYYXXYXYYXY3XY3X33XYXYY33X2YX3Y3X32X3Y32按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数11234解逆序数为024132解逆序数为44143423233421解逆序数为532314241,2142413解逆序数为32141435132N1242N解逆序数为321个52542个7274763个2N122N142N162N12N2N1个6132N12N2N22解逆序数为NN1321个52542个2N122N142N162N12N2N1个421个62642个2N22N42N62N2N2N1个3写出四阶行列式中含有因子A11A23的项解含因子A11A23的项的一般形式为1TA11A23A3RA4S其中RS是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子A11A23的项分别是1TA11A23A32A4411A11A23A32A44A11A23A32A441TA11A23A34A4212A11A23A34A42A11A23A34A424计算下列各行列式17105解2401423C3413201430201472931C265解203142605314C04132R4R3EFCBFDA解FFECBADFADBCE41401解DCBA1DCBAAR1022023CABCDABCDAD1CDAB11235证明1AB32证明12202213ABCAB3ABA2312YXZZYXBZYX3证明BZAAZBZAYXXYXZBAZ22ZYXY33BZA33YXZBA33032122222DDCCA证明C4C3C3C2C2C1得2221DDCCBBAAC4C3C3C2得52012DCBA44422CBAABACADBCBDCDABCD证明44221C01222ADAB11222ADCABDACB0B1ADBCDCACBABACADBCBDCDABCD5XNA1XN1AN1XAN210XN证明用数学归纳法证明当N2时命题成立2112AXXAD假设对于N1阶行列式命题成立即DN1XN1A1XN2AN2XAN1则DN按第一列展开有1001XNXDN1ANXNA1XN1AN1XAN因此对于N阶行列式命题成立6设N阶行列式DDETAIJ,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得N11112NA13AN证明D3D21证明因为DDETAIJ所以NNNAAD2111312121NNNADN2121同理可证NAD1122NTN2121NNN12121237计算下列各行列式DK为K阶行列式1,其中对角线上元素都是A未写出的元素都是0AN1解按第N行展开ADN01011NNA12NNAANAN2AN2A21NNA212XDN解将第一行乘1分别加到其余各行得AXXAN0再将各列都加到第一列上得XN1AXAN1DN001311111NAANNN解根据第6题结果有NNNNAAD11211此行列式为范德蒙德行列式121JINNJ12JIN12JIN1JIN4NNNDCBAD12解按第1行展开NNDCBAD12NNDCBA00011111001111112CDBABNNNNN再按最后一行展开得递推公式D2NANDND2N2BNCND2N2即D2NANDNBNCND2N2于是III而112CC所以NIIIBDA5DDETAIJ其中AIJ|IJ|解AIJ|IJ|043213102DETNNIJN043211213NNR152431023NNC1N1N12N26,其中A1A2AN0NNAD12解NNAA121NNAC10032123113221001NNAANINAA113221001121NIAA8用克莱姆法则解下列方程组101235431XX解因为42D12053128410352D4613D所以1X23DX142150654321X解因为6510D76114506152D70351063D39516054D25所以6107X5426703X5946214X9问取何值时齐次线性方程组有非零解321解系数行列式为21D令D0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组有非零解0132432XX解系数行列式为134D13341213132123令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换321325YX求从变量X1X2X3到变量Y1Y2Y3的线性变换解由已知2325故3121XY3214769Y321347692已知两个线性变换32135YX321Z求从Z1Z2Z3到X1X2X3的线性变换解由已知2132540Y321054Z316091Z所以有321326094ZXZ3设求3AB2A及ATBA1504B解113229407309658658121BAT4计算下列乘积170532解171027534496522321323164404解21312658753231321XAX解321231321XXA11X1A12X2A13X3A12X1A22X2A23X3A13X1A23X2A33X31321XA5设问31A20B1ABBA吗解ABBA因为所以ABBA64812AB2A22ABB2吗解AB2A22ABB2因为5522BA9148但306327156所以AB2A22ABB23ABABA2B2吗解ABABA2B2因为510296而784382BA故ABABA2B26举反列说明下列命题是错误的1若A20则A0解取则A20但A012若A2A则A0或AE解取则A2A但A0且AE3若AXAY且A0则XY解取11则AXAY且A0但XY7设求A2A3AK解10123310KA8设求AK解首先观察0122132323A443406535451AKKK0211用数学归纳法证明当K2时显然成立假设K时成立，则K1时，0102111KKKA1102KKK由数学归纳法原理知KKKA02119设AB为N阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明因为ATA所以BTABTBTBTATBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵10设AB都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性因为ATABTB且ABBA所以ABTBATATBTAB即AB是对称矩阵必要性因为ATABTB且ABTAB所以ABABTBTATBA11求下列矩阵的逆矩阵1521解|A|1故A1存在因为2512故|2COSIN解|A|10故A1存在因为IACOSIN21A所以|31453解|A|20故A1存在因为436231所以|A17604A1A2AN0021解由对角矩阵的性质知NAA021NA102112解下列矩阵方程1126435X解126453802324102解13X0241358231014X解120342164021340X解1012341024313利用逆矩阵解下列线性方程组135321X解方程组可表示为23X故015132从而有0321X25321解方程组可表示为0132X故5321故有05321X14设AKOK为正整数证明EA1EAA2AK1证明因为AKO所以EAKE又因为EAKEAEAA2AK1所以EAEAA2AK1E由定理2推论知EA可逆且EA1EAA2AK1证明一方面有EEA1EA另一方面由AKO有EEAAA2A2AK1AK1AKEAA2AK1EA故EA1EAEAA2AK1EA两端同时右乘EA1就有EA1EAEAA2AK115设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及A2E1证明由A2A2EO得A2A2E即AAE2E或由定理2推论知A可逆且1由A2A2EO得A2A6E4E即A2EA3E4E或由定理2推论知A2E可逆且1A证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A|AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E|A2|A|20故A2E也可逆由A2A2EOAAE2EA1AAE2A1E又由A2A2EOA2EA3A2E4EA2EA3E4E所以A2E1A2EA3E4A2E116设A为3阶矩阵求|2A15A|2|解因为所以|1|5|11|251A|2A1|23|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A也可逆且A1A1证明由得A|A|A1所以当A可逆时有|A|A|N|A1|A|N10从而A也可逆因为A|A|A1所以A1|A|1A又所以|1A1|A|1A|A|1|A|A1A118设N阶矩阵A的伴随矩阵为A证明1若|A|0则|A|02|A|A|N1证明1用反证法证明假设|A|0则有AA1E由此得AAAA1|A|EA1O所以AO这与|A|0矛盾，故当|A|0时有|A|02由于则AA|A|E取行列式得到|A|A|A|N若|A|0则|A|A|N1若|A|0由1知|A|0此时命题也成立因此|A|A|N119设ABA2B求B3解由ABA2E可得A2EBA故3210321AEB120设且ABEA2B求B0解由ABEA2B得AEBA2E即AEBAEAE因为所以AE可逆从而10|2321设ADIAG121ABA2BA8E求B解由ABA2BA8E得A2EBA8EB8A2E1A18AA2E18AA2A18|A|E2A182E2A14EA14DIAG2121,DIAG42DIAG12122已知矩阵A的伴随阵8031且ABA1BA13E求B解由|A|A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3AE1A3AEA11A11263AE1030623设P1AP其中求A1142解由P1AP得APP1所以A11AP11P1|P|33而11120故34411A684273124设APP其中205求AA85E6AA2解85E62DIAG1158DIAG555DIAG6630DIAG1125DIAG1158DIAG120012DIAG100APP1|1230120425设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1ABB1B1A1A1B1而A1ABB1是三个可逆矩阵的乘积所以A1ABB1可逆即A1B1可逆A1B11A1ABB11BAB1A26计算302302解设121302B则2BOEA21A而4530301942所以211BOEA21A90342即30301527取验证DCBA|DCBA解41021021而|DCBA故|DCBA28设求|A8|及A42034O解令1则2A故818O821620|46424125A29设N阶矩阵A及S阶矩阵B都可逆求11O解设则4321CBASNEOBA2143由此得SNECO21431243所以AB21BCOA解设则4321DSNEOBDCA4231由此得SNEBCOA42311432所以130求下列矩阵的逆阵125038解设则1AB528532811于是050381211BA2412解设则0A3B21C1114203BCAOB412581036第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵13402解下一步R22R1R33R1下一步R21R3201下一步R3R2下一步R3301下一步R23R3下一步R12R2R1R3012174032解下一步R223R1R32R174032下一步R3R2R13R21下一步R1202353124301解下一步R23R1R32R1R43R15下一步R24R33R45105063841下一步R13R2R3R2R4R2001434720831解下一步R12R2R33R2R42R2下一步R22R1R38R1R47R18709421下一步R1R2R21R4R34下一步R2R3012412设求A98765320A解是初等矩阵E12其逆矩阵就是其本身1是初等矩阵E121其逆矩阵是0E12110098765432A2113试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵125解10310242/2/9732/10/1067故逆矩阵为232103解10210359420143201610231064故逆矩阵为102341设求X使AXBA2B解因为1324,BA412350R所以4501X2设求X使XAB32A132B解考虑ATXTBT因为410,4072R所以72TT从而41BAX5设AX2XA求X0解原方程化为A2EXA因为101,0所以0121AEX6在秩是R的矩阵中,有没有等于0的R1阶子式有没有等于0的R阶子式解在秩是R的矩阵中可能存在等于0的R1阶子式也可能存在等于0的R阶子式例如RA301是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式7从矩阵A中划去一行得到矩阵B问AB的秩的关系怎样解RARB这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是1010011000解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵0此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式110解下一步R1R2432下一步R23R1R3R110下一步R3R25640矩阵的是一个最高阶非零子式2秩为41328507解下一步R1R2R22R1R37R13123下一步R33R257094013矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式73023185解下一步R12R4R22R4R33R47下一步R23R1R32R103142056下一步R216R4R316R27023177矩阵的秩为3是一个最高阶非零子式0285010设A、B都是MN矩阵证明AB的充分必要条件是RARB证明根据定理3必要性是成立的充分性设RARB则A与B的标准形是相同的设A与B的标准形为D则有ADDB由等价关系的传递性有AB11设问K为何值可使321K1RA12RA23RA3解210KR1当K1时RA12当K2且K1时RA23当K1且K2时RA312求解下列齐次线性方程组104321XX解对系数矩阵A进行初等行变换有A3/1于是43241X故方程组的解为K为任意常数13421X2050564321X解对系数矩阵A进行初等行变换有A1于是432410X故方程组的解为K1K2为任意常数01432KX307265431431XX解对系数矩阵A进行初等行变换有A742163510于是043X故方程组的解为04321X4032716754141XX解对系数矩阵A进行初等行变换有A3127645017293于是434231709X故方程组的解为K1K2为任意常数073192432KX13求解下列非齐次线性方程组1831102X解对增广矩阵B进行初等行变换有B04603418于是RA2而RB3故方程组无解2694185ZYX解对增广矩阵B进行初等行变换有B69143285021于是ZYX即K为任意常数021K3124WZYX解对增广矩阵B进行初等行变换有B1240012/于是0WZYX即K1K2为任意常数012KZYX425342WZYX解对增广矩阵B进行初等行变换有B141007/59/61于是WZYX7596即K1K2为任意常数0756901752KZYX14写出一个以104231CX为通解的齐次线性方程组解根据已知可得104231432CX与此等价地可以写成24132CX或43或021X这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组15取何值时非齐次线性方程组2321X1有唯一解2无解3有无穷多个解解21B210R1要使方程组有唯一解必须RA3因此当1且2时方程组有唯一解2要使方程组无解必须RARB故1201120因此2时方程组无解3要使方程组有有无穷多个解必须RARB3故1201120因此当1时方程组有无穷多个解16非齐次线性方程组2321X当取何值时有解并求出它的解解21B210要使方程组有解必须120即12当1时0方程组解为或321X321即K为任意常数0321当2时421B021方程组解为或321X32X即K为任意常数02132X17设1542312X问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解时求解解B410102452要使方程组有唯一解必须RARB3即必须1100所以当1且10时方程组有唯一解要使方程组无解必须RARB即必须1100且140所以当10时方程组无解要使方程组有无穷多解必须RARB3即必须1100且140所以当1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B2方程组的解为3321X或K1K2为任意常数02132K18证明RA1的充分必要条件是存在非零列向量A及非零行向量BT使AABT证明必要性由RA1知A的标准形为0,101即存在可逆矩阵P和Q使或,10A110,QPA令BT100Q1则A是非零列向量BT是非零行向量且AABT1PA充分性因为A与BT是都是非零向量所以A是非零矩阵从而RA1因为1RARABTMINRARBTMIN111所以RA119设A为MN矩阵证明1方程AXEM有解的充分必要条件是RAM证明由定理7方程AXEM有解的充分必要条件是RARAEM而|EM|是矩阵AEM的最高阶非零子式故RARAEMM因此方程AXEM有解的充分必要条件是RAM2方程YAEN有解的充分必要条件是RAN证明注意方程YAEN有解的充分必要条件是ATYTEN有解由1ATYTEN有解的充分必要条件是RATN因此，方程YAEN有解的充分必要条件是RARATN20设A为MN矩阵证明若AXAY且RAN则XY证明由AXAY得AXYO因为RAN由定理9方程AXYO只有零解即XYO也就是XY第四章向量组的线性相关性1设V1110TV2011TV3340T求V1V2及3V12V2V3解V1V2110T011T101101T101T3V12V2V33110T2011T340T312033121430210T012T2设3A1A2A2A5A3A求A其中A12513TA2101510TA34111T解由3A1A2A2A5A3A整理得61,4510,TTT1234T3已知向量组AA10123TA23012TA32301TBB12112TB20211TB34413T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由31230,9718205640R540761R0342R知RARAB3所以B组能由A组线性表示由012102214RR知RB2因为RBRBA所以A组不能由B组线性表示4已知向量组AA1011TA2110TBB1101TB2121TB3321T证明A组与B组等价证明由012312031,RR知RBRBA2显然在A中有二阶非零子式故RA2又RARBA2所以RA2从而RARBRAB因此A组与B组等价5已知RA1A2A32RA2A3A43证明1A1能由A2A3线性表示2A4不能由A1A2A3线性表示证明1由RA2A3A43知A2A3A4线性无关故A2A3也线性无关又由RA1A2A32知A1A2A3线性相关故A1能由A2A3线性表示2假如A4能由A1A2A3线性表示则因为A1能由A2A3线性表示故A4能由A2A3线性表示从而A2A3A4线性相关矛盾因此A4不能由A1A2A3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关1131T210T141T2230T140T002T解1以所给向量为列向量的矩阵记为A因为01272RRA所以RA2小于向量的个数从而所给向量组线性相关2以所给向量为列向量的矩阵记为B因为020431|所以RB3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问A取什么值时下列向量组线性相关A1A11TA21A1TA311AT解以所给向量为列向量的矩阵记为A由|A知当A1、0、1时RA3此时向量组线性相关8设A1A2线性无关A1BA2B线性相关求向量B用A1A2线性表示的表示式解因为A1BA2B线性相关故存在不全为零的数12使1A1B2A2B0由此得212121A设则21CBCA11CA2CR9设A1A2线性相关B1B2也线性相关问A1B1A2B2是否一定线性相关试举例说明之解不一定例如当A112T,A224T,B111T,B200T时有A1B112TB101T,A2B224T00T24T而A1B1A2B2的对应分量不成比例是线性无关的10举例说明下列各命题是错误的1若向量组A1A2AM是线性相关的则A1可由A2AM线性表示解设A1E11000A2A3AM0则A1A2AM线性相关但A1不能由A2AM线性表示2若有不全为0的数12M使1A1MAM1B1MBM0成立则A1A2AM线性相关,B1B2BM亦线性相关解有不全为零的数12M使1A1MAM1B1MBM0原式可化为1A1B1MAMBM0取A1E1B1A2E2B2AMEMBM其中E1E2EM为单位坐标向量则上式成立而A1A2AM和B1B2BM均线性无关3若只有当12M全为0时等式1A1MAM1B1MBM0才能成立则A1A2AM线性无关,B1B2BM亦线性无关解由于只有当12M全为0时等式由1A1MAM1B1MBM0成立所以只有当12M全为0时等式1A1B12A2B2MAMBM0成立因此A1B1A2B2AMBM线性无关取A1A2AM0取B1BM为线性无关组则它们满足以上条件但A1A2AM线性相关4若A1A2AM线性相关,B1B2BM亦线性相关则有不全为0的数12M使1A1MAM01B1MBM0同时成立解A110TA220TB103TB204T1A12A201221B12B2013/42120与题设矛盾11设B1A1A2B2A2A3B3A3A4B4A4A1证明向量组B1B2B3B4线性相关证明由已知条件得A1B1A2A2B2A3A3B3A4A4B4A1于是A1B1B2A3B1B2B3A4B1B2B3B4A1从而B1B2B3B40这说明向量组B1B2B3B4线性相关12设B1A1B2A1A2BRA1A2AR且向量组A1A2AR线性无关证明向量组B1B2BR线性无关证明已知的R个等式可以写成0,2121RR上式记为BAK因为|K|10K可逆所以RBRAR从而向量组B1B2BR线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组1A11214TA29100104TA32428T解由012930819,321RR知RA1A2A32因为向量A1与A2的分量不成比例故A1A2线性无关所以A1A2是一个最大无关组2A1T1213A2T4156A3T1347解由05914180947635124,1RRA知RA1TA2TA3TRA1A2A32因为向量A1T与A2T的分量不成比例故A1TA2T线性无关所以A1TA2T是一个最大无关组14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组148203597解因为482035197132R534732R01437所以第1、2、3列构成一个最大无关组240解因为140325142R2015234R0215所以第1、2、3列构成一个最大无关组15设向量组A31T2B3T121T231T的秩为2求AB解设A1A31TA22B3TA3121TA4231T因为520136101,2143BABRR而RA1A2A3A42所以A2B516设A1A2AN是一组N维向量已知N维单位坐标向量E1E2EN能由它们线性表示证明A1A2AN线性无关证法一记AA1A2ANEE1E2EN由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E|A|K|可见|A|0所以RAN从而A1A2AN线性无关证法二因为E1E2EN能由A1A2AN线性表示所以RE1E2ENRA1A2AN而RE1E2ENNRA1A2ANN所以RA1A2ANN从而A1A2AN线性无关17设A1A2AN是一组N维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一N维向量都可由它们线性表示证明必要性设A为任一N维向量因为A1A2AN线性无关而A1A2ANA是N1个N维向量是线性相关的所以A能由A1A2AN线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一N维向量都可由A1A2AN线性表示故单位坐标向量组E1E2EN能由A1A2AN线性表示于是有NRE1E2ENRA1A2ANN即RA1A2ANN所以A1A2AN线性无关18设向量组A1A2AM线性相关且A10证明存在某个向量AK2KM使AK能由A1A2AK1线性表示证明因为A1A2AM线性相关所以存在不全为零的数12M使1A12A2MAM0而且23M不全为零这是因为如若不然则1A10由A10知10矛盾因此存在K2KM使K0K1K2M0于是1A12A2KAK0AK1/K1A12A2K1AK1即AK能由A1A2AK1线性表示19设向量组BB1BR能由向量组AA1AS线性表示为B1BRA1ASK其中K为SR矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩RKR证明令BB1BRAA1AS则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有RRBRAKMINRARKRK及RKMINRSR因此RKR充分性因为RKR所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是OERB1BRCA1ASKCA1AR因为C可逆所以RB1BRRA1ARR从而B1BR线性无关20设13212321NNN证明向量组12N与向量组12N等价证明将已知关系写成01,2121NN将上式记为BAK因为01|1NK所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12N与向量组12N可相互线性表示因此向量组12N与向量组12N等价21已知3阶矩阵A与3维列向量X满足A3X3AXA2X且向量组XAXA2X线性无关1记PXAXA2X求3阶矩阵B使APPB解因为APAXAXA2XAXA2XA3XAXA2X3AXA2X103,所以103B2求|A|解由A3X3AXA2X得A3XAXA2X0因为XAXA2X线性无关故3XAXA2X0即方程AX0有非零解所以RA3|A|022求下列齐次线性方程组的基础解系102683542143XX解对系数矩阵进行初等行变换有04/131RA于是得4321/XX取X3X4T40T得X1X2T163T取X3X4T04T得X1X2T01T因此方程组的基础解系为116340T20104T267854321XX解对系数矩阵进行初等行变换有0019/7/21RA于是得432119/7/4XX取X3X4T190T得X1X2T214T取X3X4T019T得X1X2T17T因此方程组的基础解系为1214190T217019T3NX1N1X22XN1XN0解原方程组即为XNNX1N1X22XN1取X11X2X3XN10得XNN取X21X1X3X4XN10得XNN1N1取XN11X1X2XN20得XN2因此方程组的基础解系为11000NT20100N1TN100012T23设,求一个42矩阵B,使AB0,且8593ARB2解显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解因为8/1512R所以与方程组AB0同解方程组为43218/5XX取X3X4T80T得X1X2T15T取X3X4T08T得X1X2T111T方程组AB0的基础解系为11580T211108T因此所求矩阵为B24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为10123T23210T解显然原方程组的通解为,即K1K2R0321432KX42X消去K1K2得3412此即所求的齐次线性方程组25设四元齐次线性方程组III0421X04321X求1方程I与II的基础解系2I与II的公共解解1由方程I得421X取X3X4T10T得X1X2T00T取X3X4T01T得X1X2T11T因此方程I的基础解系为10010T21101T由方程II得43取X3X4T10T得X1X2T01T取X3X4T01T得X1X2T11T因此方程II的基础解系为10110T21101T2I与II的公共解就是方程III04321X的解因为方程组III的系数矩阵02110RA所以与方程组III同解的方程组为4321X取X41得X1X2X3T112T方程组III的基础解系为1121T