不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉

不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉王勇,唐立强,杨勇哈尔滨工程大学建筑工程学院,黑龙江哈尔滨150001摘要利用YCGAO给出的一类应变能函数,分析了不可压缩橡胶圆柱受静载荷作用时在等温条件下及有温度场分布时空穴产生的问题,给出了存在分叉解的条件,确定了外载荷与空穴半径的函数关系,研究了空穴形成时应力的分布,讨论了本构参数和温度对极限载荷和应力分布的影响结果表明当本构参数满足00表示圆柱体中出现空穴且空穴的半径为K故K21R6ZA2R在初始构形中的平衡方程为DRRDR7DR基本方程文中考虑橡胶圆柱在外表面RA处受拉伸载荷P0作用的力学模型采用柱坐标系,设物质坐标系和空间坐标系的坐标分别为R,Z和R,Z,则变形前的构形为1DRR9YCGAO在研究橡胶类材料中,给出的应变能函数为NNAI138W式中A0,N0当A/2,N1时即可退化为NEO2HOOKEN材料因此,方程8较NEO2HOOKEN材料更具普遍性CAUCHY应力为R,Z/0RA,02,H/2ZH/2变形模式为RRR,C0PI29WB29WB199I19I21式中P为静水压力,I为单位张量变形不变量为ZZZ式中RRR为待定函数若R00则认为橡胶2222I1ZZ,圆柱未发生分叉,仍为实心若R00,则认为在圆柱体的中心将出现一个圆柱形的空穴由方程1可得变形梯度张量为I222ZZ,22101I3等温条件下圆柱体空穴的产生2DRER0ERRE0EZEZ0EZ2FDRR考虑到9WANIN1,9W左、右CAUCHY2GREEN张量分别为0,由式3、4、919I19I2DR2ERR2E0EBFFT0ER可得DRZ2EZRRN122ZP2ANI1,0EZ,P2ANIN12,111CFTFDR2ER0ERR2E0EDRZ2EZ0RZP2ANIN1Z21EZ将式11代入式7有3式中ER、E、EZ和ER、E、EZ分别为空间坐标系和物质坐标系标准正交基矢量取主伸长为R2ANIN12221ZDRDR12R即时构形中边界条件为RAAP0DR,13RRAZDR式中P0为初始构型中所施加的拉伸载荷当形成空穴时空穴边界应力自由,边界条件为4R,RZ对不可压缩材料有ZR00对式12积分,结合式14得14JDETF1,即DRRZN1222R2ANI1RZ1DR15RDRRRR0积分可得故ANIN12222A01RZ2RK2RR5RA16DRZR式中K为积分常数,K0表示圆柱体发生均匀变由式13、16可得哈尔滨工程大学学报第28卷982A2ANIN1R2Z22P0ZRA01DRAR17利用式6可将式17化为21KP0ZZA2K212AN2ZA2222N1222ZZZD3Z18从而给出应力分布为K212222N1222ZA22ANZZZRD,3Z2AN2222N1222ZZZK2122AN2222N1222ZAZZZD,3ZZ2AN2222N1ZZZ222ZK2122AN2222N1222ZAZZZD3Z19式18即为载荷P0,Z与空穴半径K的关系,若令K0可得临界载荷为1Z2ANZZZ2222N1222ZDPCR3Z20欲使PCR为有限值,则2N1230149时,PCR/随Z的增大而单调递减N0149,PCR/随Z的增大先增大而后递减若令K015A,Z1则由式19得到应力分布曲线,即图24由图可以看出随着本构参数N值的增大,应力值R/、/、Z/均增大2RC0CT0EXP22B2R温度场作用下圆柱体空穴的产生该节考虑温度场对橡胶圆柱体空穴产生的影响在材料的变形中本构参数是随温度的变化而变化的由文献8给出3将式22代入式20并考虑K0,得PCR/0ZT02222N1222ZZZ2Z2CN1K10T0EXPZ0DB22RZ1Z323式23即是考虑温度影响时PCR/Z间的关系由式19、22可以得出在温度场中的应力分布见式24式中0为参考温度下小变形时材料的剪切模量,为与温度有关的材料参数,K为空穴半径,BR为温度的分布系数故本构参数2ZKAC0CT0EXPB22RZ12CN1T0EXP2R2222N12222ZZZK21BRA20R/0ZD,Z3T0R2/0Z2222N122ZZ22CN1EXPB20R2CN1T0EXP2R2222N1222ZK210B2224ZARD,3ZT0R2Z/0Z2222N122ZZ22CN1EXPB20R2CN1T0EXP2R2Z222N1222ZK21Z0B22ZARD3Z取C1,对应不同的N值,PCR/0与Z的变化曲线由图5、6给出由图5、6可以看出温度场只是将PCR/0值相应的降低,这与文献8的结论是一致的这就表明T0/0越高,材料越易发生孔洞化不稳定现象图6N013时,PCR/0与Z的关系图PCR/0VSZWHENN013FIG16PLOTOF令N015,K015A,Z1,BR1,C1,A1CM,应力分布由图79给出如图79所示,随着图5N015时,PCR/0与Z的关系图T/00的增高,应力值相应的降低PCR/0VSZWHENN015FIG15PLOTOF哈尔滨工程大学学报第28卷9842随着本构参数N的增大,极限载荷也将不断增大,材料越不容易发生孔洞化不稳定现象计算表明当N0149时,PCR/随着Z的增大而单调递减N0149,PCR/随着Z的增大先增大而后递减3在温度场中,T0/0越高,PCR值相对降低,材料越易于发生孔洞化不稳定现象参考文献1GENTAN,LINDLEYPBINTERNALRUPTUREOFBONDEDRUBBERCYLINDERSINTENSIONJPROCRSOCLOND,1958,A2491952052BALLJMDISCONTINUOUSEQUILIBRIUMSOLUTIONSANDCAV2ITATIONSINNONLINEARELASTICITYJPHILTRANSROYLOND,1982,30635576103HORGANCO,ABEYARATNERABIFURCATIONPROB2LEMFORACOMPRESSIBLENONLINEARLYELASTICMEDIUMGROWTHOFAMICRO2VOIDJJELASTICITY,1986,1621892004ANTMANSS,NEGRONMPVTHEREMARKABLENA2TUREOFRADIALLYSYMMETRICEQUILIBRIUMSTATESOFAEOLO2TROPICNONLINEARLYELASTICBODIESJJELASTICITY,1987,1821311645HAUGHTONDMCAVITATIONINCOMPRESSIBLEELASTICMEMBRANEJJOURNALOFENGINEERINGSCIENCE,1990,2821631686ABEYARATNER,HOUHSGROWTHOFANINFINITESI2MALCAVITYINARATE2DEPENDENTSOLIDJJAPPLMECH,1989,56140467HORGANCO,PENCETJVOIDNUCLEATIONINTENSILEDEAD2LOADINGOFACOMPOSITEINCOMPRESSIBLENONLINEARLYE2LASTICSPHEREJJELASTICITY,1989,21161828宁建国,李伟,郝玖锋,等平面应变条件下孔洞化不稳定性问题研究J固体力学学报,2003,243359363NINGJIANGUO,LIWEI,HAOJIUFENG,ETALINFLUENCEOFTHETEMPERATUREONTHECAVITATIONINSTABILITYUNDERPLANESTRAINCONDITIONJACTAMECHANICASOLIDASINICA,2003,2433593639GAOYC,GAOTIANJIEMECHANICALBE