一维双原子链的色散关系毕业论文

一维双原子链的色散关系THEDISPERSIONRELATIONOFTHEONEDIMENSIONALDIATOMICCHAIN学生姓名吴刚所在专业应用物理学班级物理091指导教师陈冰泉，刘彦平申请学位理学学士论文提交日期201365论文答辩日期2013618学位授予单位青岛理工大学摘要物理学中对晶格振动的研究一直是一个重要且有意义的课题。关于晶格振动的研究通常建立在原子链的研究上。本文在介绍关于原子链研究基础理论的基础上，讨论了一维单原子链晶格的色散关系，从一维双原子链的角度介绍了晶格的色散关系，然后在前面讨论的基础上对三维晶格的色散关系进行了推导。关于原子链色散关系的研究，让我们对于晶格振动有个更加清楚地认识。论文重点介绍了一维双原子链的色散关系，在公式推导的基础上，作者完成计算机编程和模拟计算，得到色散关系的曲线。关键词晶格振动，一维单原子链，一维双原子链，三维晶格，色散关系ABSTRACTTHESTUDYOFLATTICEVIBRATIONHASBEENANIMPORTANTANDMEANINGFULTOPICINPHYSICSTHEINVESTIGATIONOFLATTICEVIBRATIONISUSUALLYBASEDONTHESTUDYOFATOMICCHAINWITHTHEINTRODUCTIONOFTHETHEORETICALBASISOFATOMICCHAIN,THISTHESISDISCUSSESTHEDISPERSIONRELATIONOFONEDIMENSIONALMONATOMICCHAINLATTICE,ASWELLASTHEDISPERSIONRELATIONOFONEDIMENSIONALDIATOMICCHAINLATTICEBASEDONTHEKNOWLEDGEABOVE,THEEQUATIONSFORDESCRIBINGTHEDISPERSIONRELATIONOFTHREEDIMENSIONALLATTICEARETHENDERIVEDTHESTUDYOFDISPERSIONRELATIONSALLOWSUSTOHAVEAMORECLEARUNDERSTANDINGOFLATTICEVIBRATIONTHISTHESISMAINLYPRESENTSTHESTUDYANDDISCUSSIONOFTHEDISPERSIONRELATIONOFONEDIMENSIONALDIATOMICCHAININADDITIONTOTHEEQUATIONDERIVATION,WECARRYOUTPROGRAMMINGANDSIMULATIONSFOROBTAININGSOMEIMPORTANTDISPERSIONRELATIONCURVES目录前言1第一章理论基础3第二章一维单原子链的色散关系621建立振动模型622建立振动方程并求解623玻恩卡曼条件824的函数关系9QW第三章一维双原子链的色散关系1331建立振动模型1332原子运动方程的求解1333周期性边界条件1534对于声学波和光学波的讨论16第四章三维晶格振动的推导2141一维多原子链问题的处理2142建立三维模型和求解运动方程2143波矢的取值和范围23Q44理论上的计算25第五章结论和讨论28致谢29参考文献31前言讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。但实际上，物质是在不断运动的，而量子力学告诉我们，即使达到绝对零度，仍然具有零点能的振动。我们一般常用晶体中的格点来表示原子的平衡位置，用晶格振动来表示原子在各个点附近的振动。晶格振动是研究固体宏观性质和微观性质的主要基础，人们最早对于晶格振动的一些研究是从晶体的热力学性质开始的。上世纪人们根据经典的统计规律来对杜隆珀替经验定律进行说明（每摩尔固体都会有3N个振动自由度，按照能量的均分定律，每个自由度的平均热能是KT,那么摩尔热容量就为3NK3R），这是把原子振动和热容量相互联系起来的一个非常重要的成就。但是，上世纪人们通过大量的实验研究居然发现杜隆珀替定律仅仅只是在室温或者更高的温度下，才与固体基本上是一致的，可是在温度较低的情况下，伴随着温度的降低，固体的热容量也开始再不断降低。在这个问题的困扰下，爱因斯坦进一步对于普朗克的量子假说进行了发展，第一次得到量子的热容量理论，发现了热容量在低温的情况下下降，并在T趋于零时趋于零的结论，这项在量子理论的发展中占有重要地位的研究，对于原子振动也有重要的影响。量子理论的热容量值和经典不同，它与原子振动的具体频率有关，也推动了对固体原子振动进行了具体的研究。研究晶格振动的意义远远不限于热学性质。晶格振动也是研究晶体的电学性质、光学性质、超电导性、结构相变、磁性等一系列物理问题，晶格振动都起着很重要的作用。晶格振动虽然是一个十分复杂的多粒子问题，但是在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动简单可解，又能反映出晶格振动的基本特点。原子振动也不是孤立的，而是相互联系着的，在晶体内形成各种模式波，我们通过研究原子链振动得出的色散关系能够帮助我们了解晶格振动1,2第一章理论基础如果晶体中包含N个原子，我们把平衡位置设为，把偏离平衡处的位移矢量设NR为，则得原子位置为。在处理一些小振动的问题时，我们常常TNTRTNN选用偏离平衡位置的量为宗量。用分量来表示位移矢量，所以N个原子的位移矢量N总共会有3N个分量，写成（I1,2,3，3N）。N个原子体系所包含的势能也可以在I平衡位置附近用泰勒级数展开（11）高阶项INIIV0310下脚符号0说明是在平衡位置时才所具有的值。那么设V00,并且（12）0IV忽略高于二阶的高阶项，我们得到（13）JINJIJIV031,2该系统的势能函数就保留至的二次方程，我们称它为简谐近似。处理小的振动I问题时一般都采用简谐近似，至于一个具体的物理问题对于它是否可以采取简谐近似，还要看在简谐近似条件下我们推导得到的理论结果是否与实验结果互相一致。在有些物理的问题上就需要考虑到高阶项的作用，一般称为非谐作用。为了使问题简化，引入所谓的简正坐标N321Q,，简正坐标与原子的位移坐标之间通过如下形式的正交变换相互联系I（14）NJJIIAM31应用正则方程可以得到I1,2,，3N（15）02IQW这是三个相互无关的方程，表明各个简正坐标描述独立的简谐振动，其中任意简正坐标的解为（16）SINWTAQI是振动的圆频率，原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系IWIIV2（14）。只考察某一个的振动时，公式（14）可以化为J（17SINTWAMJIJI这表明，一般讲，一个简正坐标并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率相同。我们常称体系中所有原子一起参与的共同振动称为振动模。3按照一般方法把写成，得到谐振子方程的解IPIQ18）IIIWN21（19）IINNHWQ2EXP系统的本证态为110INIIWNE312111ININQQI3121,第二章一维单原子链的色散关系21建立振动模型假设一维无限长的单原子链，在平衡时相邻原子的距离为A（即原胞体积为A）,每个原胞内含一个原子，质量为M，原子限制在沿链的方向运动，偏离格点的位移用，UN2，UN1，UN，表示，如图11表示。图21一维单原子链22建立振动方程并求解假如只考虑近邻原子间存在互相作用，互相作用能可写成（21）高阶项21AV其中表示对平衡距离的偏离。按照一般小振动近似互相作用能保留到项，2即简谐近似，在这种近似下，相邻原子间的作用力为（22）DVF它表明存在于相邻原子间的是正比于相对位移的弹性恢复力。求解链的振动模，考察图21中第N个原子的运动方程，它受到左右两个近邻原子对它的作用力（23）2111NNNNNUUUM每个原子都对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方程，公式（23）实际上表示着N个联立的线性齐次方程。验证方程具有下列“格波”形式的解24NAQWTINAEU其中W、A为常数，代入方程（23），有2112NAQWTINQWTIAQNWTINAQWTIAEEAEEM25SI4COS22M公式25与N无关，表明N个联立的方程都归结为同一个方程。即是说，只要W和Q之间满足公式（25）的关系，公式（24）就表示了联立方程的解。我们通常把W和Q的关系称为色散关系。式（24）与一般连续介质波262QXWTIXWTIAEE有完全相似的形式。其中W是波的园频率，是波长，称为波数。区别是2Q在连续介质波中X表示空间任意一点，而在（24）中只能取格点的位置，这是一系NA列呈周期排列的点。相邻原子之间的位相差为，格波与连续介质波一个重要的区别AQ在于波数Q的涵义。如果把式（24）中的改变一个的整数倍，那么所有原子的2振动实际上没有任何不同。所以可限制在下面范围内AQ（27）或（28）AQ这个范围以外的Q值，并不能提供其他不同的波，这个Q的取值范围常称为布里渊区。23玻恩卡曼条件前面所考虑的运动方程实际上只适用于无穷长的链，然而一个有限的链两端的原子显然和内部的原子有所不同。例如，在只有近邻原子作用时，最两端的两个原子只受到一个近邻原子的作用，所以它们具有与其他原子形式不同的运动方程。为了避免这种情况，玻恩卡曼提出如图22所示的包含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原子，而且保持所有原胞等价。以前的运动方程依旧适用如果N很大使得环的半径很大，沿环的运动依旧可以看成是直线运动。和以前的差距仅仅在于必须考虑链的循环性。即，原胞的标数N增加N，振动情况必须复原。参见格波解公式（24）的形式可以知道，这等于要求图22一维链的玻恩卡曼边界条件291NAQIE或者（H是整数）210）NAQ2前面指出，Q的取值范围是由到，所以式（29）中的H只能取到，2N一共有N个不同值。所以，N个原胞组成的链，Q可以取N个不同的值，每一个Q值对应着一个格波，共有N个不同的格波。N就是一维单原子链的自由度数，表明，现已取得了链的全部振动模。玻恩卡曼的模型相当于要求一个有限链头尾相衔接，起到了一个边界条件的作用，其实我们也注意到，用这个模型并没有改变运动方程的解，只是对解提出了一定的条件（29）我们将它称为玻恩卡曼条件，或者称为周期性边界条件24的函数关系QW我们这里对式（25）做两点讨论。表面上看一个Q对应两个频率，事实上，QW由于W是Q的偶函数，所以只需要取式（25）的正根就足够了，因此式（25）可以写成（211）AQMW21SIN图24画出了关系之间的函数曲线。由于格波的特性，Q取值在到之A间，由于周期性边界条件Q的允许值为这一区间中的均匀分布的N个点。我们令M8351024，15N/M,并且为了更易显示图形我们令1，利用MATLAB软件把公式（211）编程，如下图23一维单原子链色散关系编程图24一维单原子链的函数关系QW根据分析力学的原理，引入简正坐标求解链的振动模。我们可得每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，能量本征值为（212）QNQW21所以，由N个原子组成的一维单原子链，其振动模为N个格波，在简谐近似下格波是互相独立的，格波的振幅对应着系统的简正坐标，按量子理论每种简正振动的能级是量子化的，能量激发的单元时。QW当以上的结论用声子的“语言”描述，声子就是格波的量子，它的能量等于。QW一个格波，也就是一个振动模，称为一种声子；当这种振动模处于本征态QQN21的时候，一般称有个声子，个声子数；当电子或者光子与晶格振动互相作用时，QNQ交换的能量为，假如电子从晶格中获得的能量，称为吸收了一个声子，如果点QWQW子给了晶格的能量，称为发射一个声子。我们用声子的“语言”描述晶格的振动不但会使的表述简化，而且还有这深刻的理论意义。其实声子不是真实的粒子，我们成为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。第三章一维双原子链的色散关系31建立振动模型一维双原子链可以看做是最简单的复式晶格每个原胞内包含2个不同的原子P和Q，如图31所示。在平衡时相邻原子距离用A表示，P、Q质量用M和M表示。原子限制在沿链的方向运动运动，偏离格点的位移用，,表示。12NX12NX图31一维双原子链的模型32原子运动方程的求解仍假设只有近邻原子间存在互相作用能，互相作用能取简谐近似、类比一维单原子链的情况，可以得到原子的运动方程P原子2122NNNXXMQ原子（31）21212NNNM这是两个典型的运动方程。当原子链包含N个原胞（即有N个P原子和N个Q原子）时，它事实上代表的是2N个方程的联立方程组。这个方程组有如下形式的格波解22QNAWTINAEX（32）1212AQNWTINBEX把式（32）带入式（31），除去共同的指数因子后，可以得到ABEAMWIAQI22（33）BMII方程与N无关，表明所有联立方程对于格波形式的解式（32）都归结为同一对方称。式（33）可看作是以A、B为未知数的线性齐次方程0COS22AQBAMW（34）COSMAQ它的有解条件是2COS2CSWAQBM（35）0SIN44AQMW则可以看作是决定的方程，从而得到两个值22（36）2122SIN41AQMWW把和代回公式（34），可以求的相应的A和B的解2AQWCOS2（37）MABS33周期性边界条件由格波解（32）可知道相邻原胞之间（原胞为2A）的位相差2AQ，所谓相邻原胞之间位相差应理解为相邻原胞P原子（或者Q原子）之间的位相差。所以，若把2AQ改变的整数倍，所有原子的振动实际上没有任何不同，这说明Q的取值范围限制在2（38）AQ2或者（39）AQ2范围内，这个范围就是一维双原子链的布里渊区。在这个范围内任意的波数Q有两个格波解，它们的频率为式（36）所给出和，和一般波的解一样，格波解可以W有任意的振幅和位相，但是两种原子的振幅比和位相差事确定的，并由A、B的解决定，仍采用周期性边界条件,（H整数）HAQN2即（310）2NAHQ由于Q的取值范围是由到，所以式（310）中的H取值只能是到，22N一共有N个不同取值。所以，由N个原胞组成的一维双原子链，Q可以取N个不同的值，每个Q对应两个解，总共加起来，共有2N个不同的格波，数目恰好等于链的自由度，这说明，我们已经得到链的全部振动模。34对于声学波和光学波的讨论我们根据公式（36）运用画图软件我们能得到各个不同Q的格波频率和，属W于的格波我们成为光学波，属于的格波我们称为声学波。WW对于一维双原子链我们令M51671024G，M/M4,1510N/M,为了更清楚地显示图形，我们让A1，编程过程如下图32中所示图32一维双原子链色散关系编程4在下图33中声学波和光学波，我们也称为的色散关系。QW图33声学波和光学波的长波在许多实际问题中具有特别重要的作用，光学波和声学波的命名也主0Q要是根据它们在长波极限的性质，下面重点讨论长波极限的问题先讨论声学波的长波极限的情况，从公式（36）可以看出，当时，W0Q，正如图33所示。当Q很小时0W（311）14SIN422AQMMAQM可以把式（36）中根式对展开得到222AQMW或者（312）QMMAW2表明对于长声学波频率正比于波数正比于波数。长声学波就是把一维链看做连续介质时的弹性波，这也就是为什么称支为声学波的原因。对于长声学波，当时，因此0QW（313）1AB表明在长声学波时，原胞中的两种原子的运动基本是完全一致的，振幅和位相都没有什么差别。对于长光学波，当时，频率趋于下列有限值0Q（314）MMW2代入式（37），并且令，我们能得到1COSAQ（315）AB当时，由式（32）可知，同一种原子具有相同的相位，所以每一种原子（P0Q原子或者Q原子）形成的格子象一个刚体一样整体的振动，公式（315）表明，在时，两种原子振动有完全相反的位相，长光学波的极限在实际上是P原子和Q两个格子的相对振动，振幅中保持他们的质心不变。在离子晶体中的长光学波有特别重要的作用，因为，不同离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波互相作用。具体分析对于单原子过程的一级谱，电磁波只和电磁波互相作用。具体分析证明对于单原子过程的一级谱，电磁波只和电磁波相互作用，如果它们具有相同的频率就可以发生共振，在图34中，我们把光波的关系QW光速）00CQW和格波画在同一图中，代表光波的直线与光学波的图线的交点对应于它们共振的情况。代表长声学波的直线的斜率C为弹性波速度，仅仅是光波直线斜率的约1/105,0C所以，在图中光波直线应当十分陡峻，在图上难以区分，图中把它画的较倾斜是为了便于辨认。这种情况表明，与光波共振的将是的长光学波。实际晶体的长光学波0Q的在的范围，对应于远红外的光波。离子晶体中的光学波的共振能0WS/143够引起对远红外光在附近的强烈吸收，这是红外光谱中的一个重要的效应。正W是因为长光学波的这种特点，的格波支称为光学波。图34电磁波和光学波的共振第四章三维晶格振动的推导41一维多原子链问题的处理我们处理一维多原子链的步奏基本上分为了模型运动方程试探解色散关系波矢Q的范围波矢Q的取值由前面的推导我们知道晶格振动的波矢数目晶体的原胞数N，格波振动频率数目晶体的自由度数，格波的支数原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数1，即有一只格波；晶体的自由度数N，即频率数为N。一维双原子链，设晶体有N个原胞。原胞内原子的自由度数2，即2支格波；晶体的自由度数2N，频率数为2N。42建立三维模型和求解运动方程一维单原子和一维双原子链的模型已经比较全面的表现了晶格振动的基本特征，现在我们来对比一维单双原子链的方法来说明三维晶格的振动。设三维无限大的晶体,每个原胞中有N个原子，各原子的质量分别为，1M，原胞以标志，表明它位于格点2M3N321L（41）321LLR原胞中个原子的位置用（42）NLLR,2,1表示，偏离格点的位移则写成（43）NLL,2,1和双原子链一样，可以写成一个典型原胞中的运动方程（44）KLM其中K表明原胞中的各原子，取值1,2,3，N。表示原子的三个位移分量，方程右端是原子位移的线性齐次函数。方程解的形式和一维完全相似，可以表示成（45）QKLRWTIKEAL指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式，是其波数矢量，也Q即是波数，的方向是指波传播的方向。，都Q,11ZYXA,22ZYXA可以是复数，表示个原子的位移分量的振幅和位相可以有区别。公式（45）实际上可以表示为三位晶格格波的一般形式。同样可以证明公式（45）代入式（44）中，得到以，ZYXA11,为未知数的3N个线性齐次联立方程NZYNXA,（46）,2KKAKAQCAWM它的有解条件是的一个3N次方程式，从而给出了3N个解。具2），N3,21JW体分析表明，当时，有三个解，从而对这三个解趋于相同，0QQJA,1也就是说在长波极限整个原胞一起移动。这三个解实际上与弹性波相合。另外（3N3）个解的长波极限描述N个格子之间的相对振动，并具有有限的振动频率。所以在三维晶格中，对于一定的波矢Q，有3个声学波，（3N3）个光学波，或者说有3支声学波，（3N3）支光学波。43波矢的取值和范围Q在三维情况中，一样受到边界条件的限制，只能取得某些特定的值而不是任意的。我们常引入所谓的“空间”来表示边界条件所允许的值，即是说，我们常常把QQ看作是空间的矢量，而边界条件允许的值将表示为这个空间中的点子。“空间”QQQ是以倒矢量为基矢，也就是可写成321,B（47）321BXXQ的形式。仍采用玻恩卡曼边界条件，在三维情况下为（48）321LLLLRN其中为晶格基矢，为三个基矢方向的原胞数，显然有晶体总原321,21,胞数。代表格点上原胞的位移（可以是K中任何一类原子的位移）。NLRL便捷一傲剑表示，沿着方向，原胞的标语增加，振动情况必须相同（I1,2,3）。IIN公式（48）边界条件要求（49）332211,NHXNQX其中为整数。代入式（47）可得321,H（410）321BNHBHQ代表空间均匀分布的点子，每个点子占据的空间体积为QQ倒格子原胞的体积NB1321考虑到倒格子原胞的“体积”与正格子原胞的体积之间的关系，可以得到边界条件允许的在空间均匀分布的密度Q分布密度4113303212VNVBV为晶体的体积。从晶格的振动考察，的作用只是在于确定不同原胞之间振动位相的联系。我们Q把的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方便的，我们通常是选在在第一布里渊Q区内。可以证明第一布里渊区的体积等于原胞的体积，且第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点。由于边界条件所允许的的分布密度为，因此不同的Q的总数应当是Q32VN32V（倒格子的原胞体积）和晶体中包含的原胞数目相同。对于每个有3个声学波，（3N3）个光学波，所Q以不同的格波的总数NN3正好等于晶格NN个原子的自由度。这表明，上述的格波已经概括了晶格的全部振动模。44理论上的计算作为的函数称为晶格振动谱，或称为格波的色散关系。它可以通过实验的QWJ方法测量得到，也可以根据原子间相互作用力的模型从理论上进行计算。由理论与实验的比较重获得对相互作用力的认识。共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体等由于它们的原子间互相作用力有着不同的特点，因而在格波的谱上也有相应的特征。下面我们举几个典型的例子。三维晶格中是矢量，在作图时总是固定的方向，一般QQ选典型的对称轴方向。分别画出沿不同方向时的变化。三维晶格还需要考虑原WJ子位移方向与格波传播方向之间的关系，若沿着晶体的一个对称轴，晶体绕这个轴转，或、是对称操作时，这时格波可以分为纵波和横波，纵波原子位移平行23于波的传播方向；横波原子位移垂直于波的传播方向，而且包括两个频率兼并的波。通常用TA表示横声学波，LA表示纵声学波，TO表示横光学波，LO表示纵光学波。图41中给出了硅的格波谱，由于金刚石结构中每个原胞包含两个原子，因而存在纵光学波和横声学波。（TA，TO是两重兼并的），可以看出长声学波极限纵波与横波有不同的波速，长光学波极限，纵波横波有相同的频率。图41硅的格波谱图42给出了GAAS的格波谱，GAAS是IIIV族化合物，具有闪锌矿结构，它的格波谱与SI很相似，主要区别在于Q0时纵光学波与横声学波的频率是不同的，这是离子性的反应，离子型越强，两个频率只差越大。图42GAAS的格波谱图43中给出了金属PB的格波谱，由于它具有面心立方简单晶格结构，只有声学波。在图中某些值附近函数出现扭转，这是因为对于这些值的格波与金属中QWQ电子之间耦合特别强的结果，科恩1959年曾预言与此相关的效应，故称为科恩异常。图43PB的格波谱第五章结论和讨论晶格振动在在研究固体物理宏观微观性质方面有着重要的作用，可是晶格振动是一个多原子的复杂运动问题，不好直接研究说明。所以我们通过研究原子链的色散关系来形象说明晶格振动的一些具体性质和在固体物理学中的重要作用。通常一维双原子链的色散关系能更加形象的让我们了解晶格振动，可是我们首先要先了解一维单原子链的色散关系，只有这样我们才能更加容易一维双原子链的色散关系。最后我们在通过研究三维晶格的研究，把我们的研究方向由一维增加到多维，这样更贴近实际，能更好地了解晶格振动。关于一维双原子的色散关系的论