数学毕业论文-浅谈微积分思想在几何中的应用

毕业论文题目浅谈微积分思想在几何问题中的应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学毕业年限2013年学生姓名学号指导教师目录摘要2关键字2ABSTRACT2KEYWORDS21微积分介绍311微积分的基本内容32微分在几何问题中的应用521一元微分的几何应用522多元微分的几何应用73积分在几何问题中的应用931定积分的几何应用932二重积分的几何应用1633三重积分的几何应用17结束语20参考文献21浅谈微积分思想在几何问题中的应用（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）摘要微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。关键词一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积APPLICATIONOFDIFFERENTIALCALCULUSTHOUGHTINGEOMETRICPROBLEMSLVDANQINCOLLEGEOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,NORTHWESTNORMALUNIVERSITY,GANSULANZHOU730070ABSTRACTAPPLICATIONOFDIFFERENTIALCALCULUSTHOUGHTINGEOMETRICPROBLEMSCONSISTSOFADIFFERENTIAL,MULTIPLEDIFFERENTIAL,INTEGRAL,DOUBLEINTEGRAL,INTEGRALRESPECTIVELYTHREEAPPLICATIONSINGEOMETRICPROBLEMSADIFFERENTIALCANFINDTHELENGTHOFTHECURVETANGENT,MULTIVARIATEDIFFERENTIALCANFINDTHECURVETANGENTPLANE,NORMAL,NORMALPLANEDEFINITEINTEGRALCANBETHELENGTHOFTHECURVE,THEGRAPHAREA,VOLUMEOFSOLIDDOUBLEINTEGRALCANBEGRAPHICSAREA,THREEDIMENSIONALVOLUMETHREEPOINTSCANBEOBTAINEDTHREEDIMENSIONALVOLUMEKEYWORDSADIFFERENTIALMULTIPLEDIFFERENTIALNTEGRALDOUBLEINTEGRALTHREEINTEGRALCURVELENGTHAREAVOLUME1微积分介绍11微积分的基本内容111一元微分定义设有函数，若存在常数A，使得对于自变量的改变量，函数的FXXX改变量可以表示为，则称Y0Y在点处可微，并称为在点处的微分，记为或，即FXXFXDYFX或DYADFXA几何意义表示曲线在点处的切线上的点的纵0YYFX0,MY坐标相应于的增量。X112多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义设有二元函数，若存在常数A,B使得对于自变量和的改变,ZFXYXY量和，函数的改变量可以表示为XYZ则称函数在,0ZFFXYABY,ZFXY点可微，并称为在点处的全微分，记为或,XY,FX,D，即或DFDZXYDY113定积分定义设函数在区间上有定义，用分点F,AB将区间分成N个小区间，小区间的长度为011NAXX,，记，在每个小区间上任取一点,2II1MAXIIN1,IX，作乘积和式成为积分和，1IIIX,2IIF1NIIISF当（即N无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与的分法0,AB及的取法无关，则称函数在区间上是可积的，并称此极限为函数FX,AB在区间上的定积分，记作。FX,AB01LIMNIIAFDXFX其中符号“”称为积分符号，称为被积函数，称为积分变量，区间F称为积分区间，称为积分下线，称为积分上限。,ABAB114二重积分定义设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分,FXYDD以及任意属于的点，作和式（其中12,NDI,IIP1,NIIIF表示的面积）。当时（为的直径），如果不论对II1MAX0IINDIDI怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数在区IP,FXY域上是可积的，并称该常数为函数在区域D上的二重积分，记作D,FXY，即。,FXYD01,LIM,NIIDFXYDF其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，,F,FXYDD和叫做积分变量，叫做积分区域。XY115三重积分定义设是定义在空间有界闭区域上的有界函数。对区域的任意,FXZ划分以及任意取法，作和式123,IIIP（其中表示的体积）。当（为1,NIIIFVII1MAX0IINDI的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常IIP数，则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区,FXYZ,FXYZ域上的三重积分，记为，即。,FXYZDV01,LIM,NIIFXYZDVFV其中叫做被积函数，叫做体积元素,叫做积分变量，叫,FXYZDVZYX,做积分区域。2微分在几何问题中的应用21一元微分的几何应用211求平面曲线的切线若函数在包含的区间上可导，则曲线在点YFXUYFX有切线，切线方程为。,AUFYFXUF例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。1,3A1解将曲线方程写成函数形式。设所求直线与曲线相切于点XYYFX,则直线斜率为。根据直线斜率意义可得,BUFFUAB。13F将和代入上式得到关于U的方程FU21FU。21整理后得二次方程，解得或，230U3U1即切点可能是或；13,所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为和20XY960XY如图一图一212求参数方程曲线的切线设曲线由下列参数方程表示，,XUTYVTI函数和都在区间上可导，则对于任,ITVYTUXXT意，当时，对应的上的点处有切线，其方0I22000,PXYL程为。这里。也就是说，TYVTX0,XUTVT是曲线在处切线的方向向量。0,UV0,PY例2、设曲线的参数方程为，求曲线上对应于的3SIN,2COSXTYKTUT点处的切线方程0,XY解计算得3COS,2SITYKT故曲线上对应于处的切线的方向向量为0X3COS,2INUK结合，可得点处的切线方程为0SIN,CSXUYKU0,XY，3CO2IN3SIU整理得SICO6KXY22多元微分的几何应用221空间曲线的切线与法平面设曲线的参数方程为，并假设参数方程中三个函L,XTYTZT数的导数均存在，且在的某一个确定值处，三个导数不同时为零。设取参T0数时，对应曲线上的点为则有直线的两点式得0T10,MXYZ割线方程为。向量为割线的方向向量，向量000XYZ,同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为,YZTT。000XZTTT当时，点沿曲线趋于点,因为不同时为零，1ML000,XTYZT所以非零向量为曲线在点处的切线方向向量，切00,SXTYZTM线的方程为。000TTT向量又称为曲线在点处的切向量，显然向量,SXYZL0S又是曲线上的点处的法平面的法向量，所以曲线在点处的法平面方L0M0M程为。000XTYTZT例3、求柱面螺旋线在处的切线方程与法平面COS,IN,XATYTB2T方程。解因为，SIN,2XTATXACOS,02YTTY。,ZTB故当时，对应点为2T0,2BMA所以在点处的切线方程为02MT02ABZXYBZAYX或法平面方程为，或。20BXZ例4、求曲线在点（1,1,1）处切线方程。045322ZYXX解对方程两边同时对自变量求导数并移项，得的条件下，由克拉默法则，得061532ZYZJ在，4XY2364910YXJZ所以，。1096Z所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为，91,6N故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为，XYZ即。169XYZ222曲面的切平面与法线设曲面的方程为，曲面上一点，设函数,FXYZ00,MXYZ在点处具有连续的偏导数（即在点处连续），且不同,FXYZ0M,XYZF时为零（不全为零）。设曲面上过点的任意一条曲线的参数方程为0L，设时，对应于曲面上的点，且,XTYTZTT00,XYZ存在但不完全为零。向量垂直于曲000,XYZNFMF面上过点的任意曲线在该点处的切线。这就是说，过点M0的的所有曲0ML面曲线在点处的切线都在过点且垂直于向量的平面上，所以平面0MN为曲面在点处的切平面，向量即为切平面的法向量。曲面在点0N处的切平面方程为。000000XYZFFFZ又因为曲面在点处的的法向量，所以曲面在点处的法线方程为0M。000XYZFMFM例5、设曲面上点处有，求曲面在,X0,XYZ2,XYZF此点处的切平面方程及法线方程。解由题意知曲面在给定点处的法向量2,N切平面方程为，0002XYZ即。XYZZ法线方程为。00022XY3积分在几何问题中的应用31定积分的几何应用311求平面曲线的弧长设平面曲线方程具有连续导数，则其弧长微分为，YFX21DSYX从而曲线位于区间A,B中的弧长为。21BALYDX例6、计算曲线的弧长（图二）320YX图二解由于，故由弧长公式知32XF32322094981151037XSD35即曲线的弧长约为。32YX53例7、设为心脏线的下半部，求的弧长L1COS0RALS解心脏线下半部分的极坐标方程为，所以1COS2RA。故SINRA2221COSSINLDAD2CSO4ADA312求平面曲线的全长例8、计算星形线的全长。33CS,INXTYT解因为，。223OICOSAA23SINCOYAT星形线是对称曲线，得204SXYDT20222204203SINCO3SINCO1SIC1SI6N6ATATDTTDTAA313求曲线包围的面积由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面YFXBX,X积为。BAFD由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面XGYDYC,Y积为。DC由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为YXBXA,。BAGXFD由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面,YXDYC,积为。DC例9、求由曲线所围成的图形面积。21,03YXYX解所围成的图形如图三，记为S图三求曲线的交点，解得YX211,2XY所以在区间0,1，。21016SXD在区间，。1,322313412X故所围成图形的面积为。126S例10、计算包围在双纽线内部及圆外部图形的面积。2COSRAAR解易见双纽线函数的周期为，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在即部分没有图形，由周期性知在3234也没有图形。且其图形对称于极轴，从而其图形分布在574及之间。354设所求图形面积为，则有对称性知应为第一象限部分面积的四倍。下AA图阴影部分是位于第一象限中的情形。图四（图中Q即为）先求出两曲线交点得交点为。从而AR2COS2,6A226014COSAAD23SIN6314求旋转体的表面积按照定积分的元素法，对于分点，因为11,IIIIMXYX,所以可以将弦绕X轴形成的侧面积来代替曲线弧10LIMIIXM1I形成的侧面积，从而当1I2221YDAFYFXX函数可导时，YFXAB（以切线长带弦）22221DAYFXFX对于曲线绕Y轴旋转的情况，可221BAAFXFDXXFYCXD得，221DYY。2CFF例11、求的曲线绕X轴旋转所成图形的表面积。301YX解由得21320AXDX321344100129936X7315求立体的体积3151旋转体体积由连续曲线在区间上围成的曲边梯形绕轴旋转一周形成的YFXBA,X旋转体的体积为。2BXAVD由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而GYYC,Y成的旋转体的体积为。2DYCG例12、求，及围成的图形围绕轴旋转20X0XX1X所得的旋转体的体积。解易见所求旋转体体积等于（即）在区间上围绕2Y20Y,轴形成的旋转体与（即）在区间上围绕轴形成X1XX1,X的旋转体的体积之差。由图五可知，在区间上，1,02X图五所以112200VXDXD1220453217920XXD3152已知平行截面表达式的立体体积设所给立体垂直于轴的截面面积为，区间上连续，则对应XAXBA,于小区间的体积元素为，因此所求立体体积为,XDV。BAVAD例13、设有一几何体，其底面为XY平面上的圆，而用任何220XYA位于区间而垂直于轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形。求其,X体积。解过轴上区间任意点作垂直于轴的平面与几何体相交，得截面为XA,X正三角形，因而其面积为221233AYYA从而知该几何体体积为322AAXVXD3432二重积分的几何应用321求曲线围成的面积3211在直角坐标系下当所求区域为型区域时，有DX,21XYBXAY；AYXDBAYXDFDFDYXF2121,当所求区域为型区域时，则有,2YXCX。DCYXDDCYXDFYFXYF2121,例14、用二重积分求曲线及轴在第一象限所围成的区域的XOS,SIN面积。解记所求区域为，其面积为，则DA4040COSINSINCDXDYXDYA12COSIN403212在极坐标系下如果，则在极坐标系下有,21RRRD21SIN,CO,RDRDFDXYF例15、计算心脏线所围成的平面区域的面积。SIR解因为对任意，所以心脏线所围区域可表示0N1SIN1R为，故其面积为SI,20,RRDDDAD2020SIN1SIN1202COSI130IN4123322求立体的体积体积，其中为曲顶柱体的曲顶。DDYXFV,YXF例16、计算由三个平面所围成的柱体被平面及1,00Z截得的立体的体积。YXZ1解所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是。区域YXZ，所以10,XYDDYXDYV101021021DXXX023623103XD6533三重积分的几何应用（求立体的体积）331在空间直角坐标系下设积分区域由集合V所确定，这里在,2121BXAYXYZYXZVV平面上的投影区域是一个型区域，它对XYD于平行于轴且通过内点的直线与的边界至多交于两点。现设在ZV,ZYXF上连续，在上连续，在A,B上连续，则有V,21YXZ,21XYDZFDDUXFVDYXZ,21,YXFYXBAZX,2121,同样的，当把区域投影到平面或平面上时，也可写出相应的累次积V分。例17、计算，其中为由平面与所围的VYXDZ2XYZX,02,1YZ区域。解在平面上的投影区域是型区域，这里,0,XYXD，所以有YXZYXZ,0,2121021022XXYVYDDZDXXYLNLN21021L2332在柱面坐标下柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系，由于变换的函数行列式,20,SIN,COZRZRYXTT，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为RRZRJ10COSSINI,，这里为在柱面坐标DZRRFDXYZFVV,SIN,V变换下的原象。T例18、计算，其中是由曲面与为界面DXYZV2VZYX224的区域。解在平面上的投影区域D为。按柱面坐标变换，区域可表XY22YXV示为所以有0,42,RZRVVVDZDXY3。3820242RZ333在球面坐标下球面坐标系与直角坐标系变量间的关系，由于变换的函数行列式20,COSIN,RRZYXTT，当在上取SIN0SINCSCOSICOI,2RRRJ,0值时，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为0IN，DRRRRFDXYZFVVSINCO,SIN,COSI,2这里为在球面坐标变换下的原象。T例19、求由圆锥体和球体所确定的立体COT2YXZ22AZYX体积，其中和为常数。2,0A解在球坐标变换下，球面方程可表示成，22AZYXCOS2AR锥面方程可表示成。因此COT2YXZ求得的体积为20,S0,ARRVV。COS134IN420CO20ADRDDV结束语微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立体的体积。也许还有其他应用，这就需要我们去探索研究。参考文献1龚升林立军简明微积分发展史M湖南湖南教育出版社，20052王宝富钮海多元函数微积分（第二版）M北京高等教育出版社，20103李启文谢季坚微积分学习指导与解题指南（第二版）M北京高等教育出版社，20044于新凯金少华郭献洲微积分典型问题分析与习题精选M天津天津大学出版社，20095张银升安建业微积分名师导学M北京中国人民大学出版社，20046张景中直来直去的微积分M北京科学出版社，20107华东师范大学数学系数学分析（下册第三版）M北京高等教育出版社，20018贾晓峰微积分与数学模型（上册）M北京高等教育出版社，19999美GB小托马士RL芬尼微积分与解析几何详解（上册）M北京晓园出版社，1994AGANEMPLOYMENTTRIBUNALCLAIEMLOYMENTTRIBUNALSSORTOUTDISAGREEMENTSBETWEENEMPLOYERSANDEMPLOYEESYOUMAYNEEDTOMAKEACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNALIFYOUDONTAGREEWITHTHEDISCIPLINARYACTIONYOUREMPLOYERHASTAKENAGAINSTYOUYOUREMPLOYERDISMISSESYOUANDYOUTHINKTHATYOUHAVEBEENDISMISSEDUNFAIRLYFORMOREINFORMU,TAKEADVICEFROMONEOFTHEORGANISATIONSLISTEDUNDERFURTHERHELPEMPLOYMENTTRIBUNALSARELESSFORMALTHANSOMEOTHERCOURTS,BUTITISSTILLALEGALPROCESSANDYOUWILLNEEDTOGIVEEVIDENCEUNDERANOATHORAFFIRMATIONMOSTPEOPLEFINDMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNALCHALLENGINGIFYOUARETHINKINGABOUTMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,YOUSHOULDGETHELPSTRAIGHTAWAYFROMONEOFTHEORGANISATIONSLISTEDUNDERFURTHERHELPATIONABOUTDISMISSALANDUNFAIRDISMISSAL,SEEDISMISSALYOUCANMAKEACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,EVENIFYOUHAVENTAPPEALEDAGAINSTTHEDISCIPLINARYACTIONYOUREMPLOYERHASTAKENAGAINSTYOUHOWEVER,IFYOUWINYOURCASE,THETRIBUNALMAYREDUCEANYCOMPENSATIONAWARDEDTOYOUASARESULTOFYOURFAILURETOAPPEALREMEMBERTHATINMOSTCASESYOUMUSTMAKEANAPPLICATIONTOANEMPLOYMENTTRIBUNALWITHINTHREEMONTHSOFTHEDATEWHENTHEEVENTYOUARECOMPLAININGABOUTHAPPENEDIFYOURAPPLICATIONISRECEIVEDAFTERTHISTIMELIMIT,THETRIBUNALWILLNOTUSUALLYACCEPTIIFYOUAREWORRIEDABOUTHOWTHETIMELIMITSAPPLYTOYOUIFYOUAREBEINGREPRESENTEDBYASOLICITORATTHETRIBUNAL,THEYMAYASKYOUTOSIGNANAGREEMENTWHEREYOUPAYTHEIRFEEOUTOFYOURCOMPENSATIONIFYOUWINTHECASETHISISKNOWNASADAMAGESBASEDAGREEMENTINENGLANDANDWALES,YOURSOLICITORCANTCHARGEYOUMORETHAN35OFYOURCOMPENSATIONIFYOUWINTHECASEYOUARECLEARABOUTTHETERMSOFTHEAGREEMENTITMIGHTBEBESTTOGETADVICEFROMANEXPERIENCEDADVISER,FOREXAMPLE,ATACITIZENSADVICEBUREAUTOFINDYOURNEARESTCAB,INCLUDINGTHOSETHATGIVEADVICEBYEMAIL,CLICKONNEARESTCABFORMOREINFORMATIONABOUTMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,SEEEMPLOYMENTTRIBUNALSTHELACKOFAIRUPTHEREWATCHMCAYMANISLANDSBASEDWEBB,THEHEADOFFIFASANTIRACISMTASKFORCE,ISINLONDONFORTHEFOOTBALLASSOCIATIONS150THANNIVERSARYCELEBRATIONSANDWILLATTENDCITYSPREMIERLEAGUEMATCHATCHELSEAONSUNDAY“IAMGOINGTOBEATTHEMATCHTOMORROWANDIHAVEASKEDTOMEETYAYATOURE,“HETOLDBBCSPORT“FORMEITSABOUTHOWHEFELTANDIWOULDLIKETOSPEAKTOHIMFIRSTTOFINDOUTWHATHISEXPERIENCEWAS“UEFAHASOPENEDDISCIPLINARYPROCEEDINGSAGAINSTCSKAFORTHE“RACISTBEHAVIOUROFTHEIRFANS“DURINGCITYS21WINMICHELPLATINI,PRESIDENTOFEUROPEANFOOTBALLSGOVERNINGBODY,HASALSOORDEREDANIMMEDIATEINVESTIGATIONINTOTHEREFEREESACTIONSCSKASAIDTHEYWERE“SURPRISEDANDDISAPPOINTED“BYTOURESCOMPLAINTINASTATEMENTTHERUSSIANSIDEADDED“WEFOUNDNORACISTINSULTSFROMFANSOFCSKA“AGEHASREACHEDTHEENDOFTHEBEGINNINGOFAWORDMAYBEGUILTYINHISSEEMSTOPASSINGALOTOFDIFFERENTLIFEBECAMETHEAPPEARANCEOFTHESAMEDAYMAYBEBACKINTHEPAST,TOONESELFTHEPARANOIDWEIRDBELIEFDISILLUSIONMENT,THESEDAYS,MYMINDHASBEENVERYMESSY,INMYMINDCONSTANTLYALWAYSFEELONESELFSHOULDGOTODOSOMETHING,ORWRITESOMETHINGTWENTYYEARSOFLIFETRAJECTORYDEEPLYSHALLOW,SUDDENLYFEELSOMETHING,DOIT一字开头的年龄已经到了尾声。或许是愧疚于自己似乎把转瞬即逝的很多个不同的日子过成了同一天的样子；或许是追溯过去，对自己那些近乎偏执的怪异信念的醒悟，这些天以来，思绪一直很凌乱，在脑海中不断纠缠。总觉得自己似乎应该去做点什么，或者写点什么。二十年的人生轨迹深深浅浅，突然就感觉到有些事情，非做不可了。THEENDOFOURLIFE,ANDCANMEETMANYTHINGSREALLYDO而穷尽我们的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可DURINGMYCHILDHOOD,THINKLUCKYMONEYANDNEWCLOTHESARENECESSARYFORNEWYEAR,BUTASTHEADVANCEOFTHEAGE,WILLBEMOREANDMOREFOUNDTHATTHOSETHINGSAREOPTIONALJUNIORHIGHSCHOOL,THOUGHTTOHAVEACRUSHONJUSTMEANSTHATTHEREALGROWTH,BUTOVERTHEPASTTHREEYEARSLATER,HISWRITINGOFALUMNIINPEACE,SUDDENLYFOUNDTHATISNTREALLYGROWUP,ITSEEMSISNOTSOIMPORTANTTHENINHIGHSCHOOL,THINKDONTWANTTOGIVEVENTTOOUTYOURINNERVOICECANBEINTHEHIGHSCHOOLCHILDRENOFTHEFEELINGSINAPERIOD,BUTWASEVENTUALLYINFARCTIONWHENGRADUATIONPARTYINTHETHROAT,LATERAGAINSTOODONTHEPITCHHEHASSWEATPROFUSELY,LOOKEDATHISTHROWNABASKETBALLHOOPS,SUDDENLYFOUNDHIMSELFHASALREADYCANTREMEMBERHISAPPEARANCEBAUMGARTNERTHEDISAPPOINTINGNEWSMISSIONABORTEDRPLAYSANIMPORTANTROLEINTHISMISSIONSTARTINGATTHEGROUND,CONDITIONSHAVETOBEVERYCALMWINDSLESSTHAN2MPH,WITHNOPRECIPITATIONORHUMIDITYANDLIMITEDCLOUDCOVERTHEBALLOON,WITHCAPSULEATTACHED,WILLMOVETHROUGHTHELOWERLEVELOFTHEATMOSPHERETHETROPOSPHEREWHEREOURDAYTODAYWEATHERLIVESITWILLCLIMBHIGHERTHANTHETIPOFMOUNTEVEREST55MILES/885KILOMETERS,DRIFTINGEVENHIGHERTHANTHECRUISINGALTITUDEOFCOMMERCIALAIRLINERS56MILES/917KILOMETERSANDINTOTHESTRATOSPHEREASHECROSSESTHEBOUNDARYLAYERCALLEDTHETROPOPAUSE,ECANEXPECTALOTOFTURBULENCEWEOFTENCL