毕业论文_广义逆矩阵的求法探讨

广义逆矩阵的求法探讨THESEEKINGOFTHEDHARMAANDRESEARCHINTOGENERALIZEDINVERSEMATRIX专业数学与应用数学作者指导老师学校二一摘要本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由MOOREPENROSE方程所定义的各种广义逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义逆矩阵的计算方法关键词广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法ABSTRACTTHISARTICLEDISCUSSESTHESYSTEMOFGENERALIZEDINVERSEMATRICESDEFINED,DISCUSSEDBYTHEMOOREPENROSEEQUATIONISDEFINEDBYTHENATUREOFTHEVARIOUSGENERALIZEDINVERSE,GENERALIZEDINVERSEMATRIXELEMENTARYTRANSFORMATIONANDFULLRANKDECOMPOSITION,STUDIEDSEVERALPARTICULARGENERALIZEDINVERSEMATRIXCALCULATIOKEYWORDSGENERALIZEDINVERSEMATRIXFULLRANKDECOMPOSITIONELIMINATIONELEMENTARYTRANSFORMATION目录摘要IABSTRACTII0引言11广义逆矩阵的概念与定理82广义逆矩阵的计算方法821广义逆矩阵的奇异值分解法8A22广义逆矩阵的最大值秩分解法922极限法求广义逆矩阵923广义逆矩阵的满秩分解法1124初等变换法求广义逆矩阵15参考文献210引言矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。因此，有必要推广逆矩阵的概念为此，本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。1广义逆矩阵的概念与定理定义11设是的矩阵，若的矩阵满足如下四个方程的全部AMNNMGPENROS或者一部分，则称为的广义逆矩阵，简称广义逆G11A1213HG14A则称是的逆，记为GAMOREPNS如果某个只满足（11）式，为的1广义逆，记为G1；如果另一个A满足（11），（12）式，则称为的1,2广义逆，记为1，2；如果GA1，2，3，4，则是逆等下面介绍常用的5种GAMOREPNS1,1,2，1,3,1,4,1,2,3,4A每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下（1）1中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或G逆，记为；AA（2）1,2中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为；R（3）1,3中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为；M（4）1,4中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为；ALA（5）1,2,3,4唯一一个，称作加号逆，或，记为MOREPNS定义12设是的矩阵（,当时，可以讨论），若有一个MNNMT的矩阵（记为）存在，使下式成立，则称为的减号广义逆或者逆NMAAG15当存在时，显然满足上式，可见减号广义逆是普通广义逆矩阵的推广；A另外，由得TTTAA，即可见，当为的一个减号广义逆时，就是的一个减号广义逆A定义13设的特征值为MNHRC，1212N0RR则称为矩阵的正奇异值，简称奇异值II,R（，）A定义14设矩阵MN，121212NMMNAA如果时存在；或者当时，存在有，称这两种长方MNRAKARAKAN阵为最大秩方阵（满秩方阵），前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵），后者又称为列最大秩矩阵（列满秩矩阵）定义15设是矩阵,若有矩阵满足或,则称NNMGMINGI为的右逆或左逆,记为或GA1RA1L定理11设是的矩阵，则的逆存在且唯一MMOREPNS证明先证的存在性设的奇异值分解0HRAUV其中，是的非零奇异值，与是酉矩阵令12,RRDIAG，1,2I，AUV0HRGVU容易验证满足四个方程，因此存在GPENROSA下面证的唯一性假定也是满足4个方程，则AYPENROSHHGYGAYHA因此,说明是唯一的，且GY10HRVU若是非奇异矩阵，容易验证满足4个方程，此时由此可见AAPENOSA逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）MOREPNS定理12设，存在阶的可逆矩阵及阶可逆矩阵，MNCRAKRMPNQ使0REPAQ则阶矩阵使得的充分必要条件是NMGA12RG其中分别是阶任意矩阵122,RMNMR，证明先证必要性，由条件有阶及阶可逆矩阵，使PQ，0REPAQ那么110R根据应满足的,有GA1111000RRREEEPQGPPQ1000RRR再令121GQP分块如题设要求，代入上式1200RRREE100RG所以,于是有1RGE121REQPG得到12R再证充分性，由于12110,RREGEQPAQ则1211100RRRAP110REQA引理11对于任意的矩阵，它的减号逆总存在，但不唯一，并且1,TTARANKAMCDDC当当当是的满秩分解时；是的一个减号逆【1，2】A引理12对于任意的矩阵，它的极小范数总存在，但不唯一，并且AMA1,TMRANK当在一般情况下；1,TMLARANKAMCD当在一般情况下；是的一个极小范数逆【12】A引理13对于任意矩阵,它的最小二乘逆总存在,但不唯一,并且L1,TLARANKAM当；在一般情况下；它是的一个最小二乘逆【1，2】A引理14对于任意矩阵,它的加号逆总存在，并且唯一其中A1TTMLCD或这里是的满秩分解式【1，2，3】ADC定理13是矩阵,若是行满秩矩阵,则总有；NA1TMA是列满秩矩阵，则总有；，则总有TLIN,RAK，其中是的满秩分解式MLACADC定理14设则可将做满秩分解（或的最大秩分,MIN,IJMNARKAA解）AD其中是阶矩阵，且CRRANKCR将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称为满秩分解在各种广义逆的直接计算方法中,几乎都要对矩阵进行满秩分解,例如分解等等但当计算某些广义逆时,分解将带来大量非必要的计算,因而有必QUQU要对满秩分解的方法进行简化,为此,我们首先用构造性方法证明下述定理定理15对任意矩阵,总存在着矩阵和矩阵，使0MNACRMRBCRN得成立ABC证明设，则必有一个最大线性无关列，12,NAA1JA，故令2JAJR，B1JA2JJRA于是有非奇异矩阵，使,亦即有G1IO161IBG成立，其中为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵O1RKKJPI便有,IMGAORNA于是由（1）知，171I1IPP1BC其中,且显然有，1CIMPMR1BCRN1类似地可证存在着和，使有NRH1RKKJQI,OANMRC成立，倘令182IBQ1912CIOH同样有2ABC特别，若A为行满秩或者列满秩，则与中之一为单位阵，定理依然成立B定理16对任何的矩阵，都有MNAHHA性质111的充分必要条件是，此时,称RANKANAE1HA为的一个左逆，记为A1L2的充分必要条件是，此时称为的一个RKMMH1右逆，记为1R证明1充分性，若则NAERAKRARANK所以RANK必要性，若，则存在阶及阶可逆矩阵,使ANMPQ或0NEPQ110NEA由定理12可得,则有R12GA12NEP即，于是有GNE由于HRAKARANK所以是可逆阵，那么HA1HNE所以，可取11HLAA2同理可证性质2，可逆，有H1HME所以，可取1H1RAA2广义逆矩阵的计算方法21广义逆矩阵A的奇异值分解法设矩阵，由定理11知存在并且唯一，当时，则有奇异值分解MNC0A1RS,0MNAUV其中，为的奇异值，则具有如下形式0R12,0,RSSA11RS0NMAVU例1用奇异值分解求，其中A10解的奇异值分解为A,1201UDV212所以12A0102104例2设A102用奇异值分解法求A解H125001022|10HEA因此特征值HADE1230，求出对应于1120的单位特征向量所以A121002，012022广义逆矩阵的最大秩分解法A的矩阵的秩，的最大秩分解为MNRACD其中是阶矩阵，是阶矩阵，且，则CMRDRNRANKRANKA2111HH）特别当时（行满秩阵）RANKA221HA）当时（列满秩阵）R231H例3求矩阵的逆102453AMPA解首先求得的满秩分解为，1024ABC1故11HH0113124021854263023极限法求广义逆矩阵A设是阶矩阵，则AMN10LIMHHEA24证明因为HHHHAAA由定理16得1100LIMLIMHHHAEAEAHA例4设102用极限法求A解因为50HA05HE10512100HHA21因此102LIM0HHAEA24广义逆矩阵的满秩分解法对任意矩阵，由定理15知，其中是阶矩阵，是阶MNAACDMRDRN矩阵，且，再由性质11可得RAKCDRANK如果A是实矩阵，有111TTRLADCC设为矩阵的最大秩分解,则的广义逆矩阵的一般形式为BCA1RLACB例5设，求其广义逆矩阵101解首先对进行最大秩分解,对作行初等变换如下AA101102102所以的最大秩分解为AABC10102由定理13知，这里为3阶可逆方阵，故1RL11212LB为行满秩矩阵，故可取C1TRC2031401342从而1RLACB2134126512例6设矩阵A01求LMA及解有满秩分解为2RANK02101A行变换取，从而，得D10C021021ACD01取,C0210011,2P行变换这里2QI20CI得20110102PID得211001,0QPI列变换，这里，取200101DPI在依据性质11的15及16可分别求出112615C4HLLC1102HMRD于是得到26151004LLADC210MAC24初等变换法求广义逆矩阵方法和步骤经过一系列的初等行或初等列变换总可以将写成式A0REPQ的形式,这里分别是M和矩阵，由定理12，则的全部广义逆为,PQN10REGP这里、分别是任意的CDRMRNR，（）和（）矩阵。例71204AA求的广义逆矩阵解由上述定理,首先要将写成式的形式为此,将作初等P0REQA变换得100120A120设,102P210P120Q201Q则1122,AP,1201P120Q从而，有11122100020CCQPDFDF1210120CF1121224DCFDCFCC例8设,01302457A求广义逆A解340I13010245|7|100|1|110|20|3150|02于是,2013P150231Q所以的减号广义逆为A,2IUVWGQP其中21221,XUCVWC以上介绍了的初等变换法，那么我们现在给定一个矩阵,总有AMNA，有定理13知当时，有，当MRIN,RANKRANKA1T时，有,当时，有，ATLAI,NMLACD其中是的满秩分解式我们可以看出要求矩阵的任何一种广义逆矩阵,DC关键是求出一个那么下给出了利用初等变换法求出的具体方法ML和ML和设,不必限制则存在阶可逆矩阵使得TRANKARMIN,R,PQ0RTEPAQD则，令1TAPDQ0REGQPD由于11131TTAPDQPA所以是的一个广义逆矩阵GTA据此，我们对下面分块矩阵进行初等变换1100TTTPRMQCPAPAEOA0RTEPAQ因此,0RTMQ同理，对下面的分块矩阵施行初等变换1100TTTPRQCNNAPAPAEOE0RTEPAQ因此，0RTLEAQPA这里、均指可逆矩阵例9设，求的最小二乘逆A123ALA解因为，所以对下列矩阵施行初等行变换有1T14T124|2314|23750504174|001|0R112RC44123123|44750575050|0|771|4000214R75123|40|51|040所以12310405LA154例10设，求最小范数逆142536AMA解因为，所以,对下列矩阵施行初等变换有T145T5102341051510|0246|2314|39|0551|012|2646|0511230520|5123|046|5511|0520|3|10|02|51|10|10002|3|31|10|05220|0所以1015222053MA上述例题给出的求广义逆矩阵和的方法,简便易行且使各种广义逆矩阵的MAL计算得到了彻底解决致谢本文是在的指导下完成的，在此衷心的感谢周教授的细心的指导，才能顺利完成本论文参考文献1李宗铎求逆矩阵的一个方法J数学通报，1983（11）15162南京大学数学系计算数学专业线性代数M北京科学出版社，1978973任晓红球广义逆矩阵A的初等变换法J西北轻工业学院学报，2000（2）1051064周琳介绍广义逆矩阵及其计算方法J本溪冶金高等专科学校学报，2001（2）43455北京大学数学力学系高等代数M北京高等教育出版社，19781876杨明，刘先忠矩阵论M华中科技大学出版社，200595987刘丁酉矩阵分析M武汉大学出版社，20042412418苏育才，姜翠波等矩阵理论M科学出版社，20031929吴强基于矩阵初等变换的矩阵分解法J数学理论与应用，20