论文_浅析函数极值的求法及应用

XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级、班级08数本姓名XXX学号XXXXXXX指导教师职称XXXXX2012年3月15日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。关键词函数极值求法应用ANALYSISOFTHEFUNCTIONEXTREMEVALUESOLUTIONANDITSAPPLICATIONABSTRACTTHEEXTREMEVALUEOFFUNCTIONISONEOFTHEIMPORTANTCONTENTSOFMATHEMATICSSTUDY,SOTHEFUNCTIONEXTREMEPROBLEMSOFTHEFUNCTIONEXTREMEVALUEHASIMPORTANTSIGNIFICANCETHISPAPERDISCUSSESTHEUSEOFTHELAGRANGEMULTIPLIERMETHOD,THECAUCHYINEQUALITYMETHODANDGRADIENTMETHODFORFUNCTIONCONDITIONALEXTREMUM,ANDTHEUSEOFDIRECTIONALDERIVATIVEMETHOD,MATLABSOFTWAREANDFUNCTIONUNCONDITIONALEXTREMUM,SUMMARIZEDSOMEAPPLICATIONSABOUTTHEEXTREMEVALUEOFFUNCTIONINTHEPROOFOFINEQUALITY,PHYSICS,PRODUCTIONANDSALESANDBEEHOUSEPROBLEMSKEYWORDSFUNCTION；EXTREMEVALUE；SOLUTION；APPLICATION目录摘要关键词第一章引言1第二章函数极值的定义及其存在的条件121多元函数极值的定义222多元函数极值存在的条件2第三章函数极值的若干求法331拉格朗日乘数法求极值332柯西不等式法求极值433梯度法求极值534利用方向导数判别多元函数的极值735MATLAB求函数极值9第四章函数极值理论的应用1241函数极值在不等式证明中的应用1242函数极值在物理学中的应用1343函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用1444运用函数极值分析蜂房的最优化问题15第五章结束语18致谢语18引用文献18第一章引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。由于函数极值应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对求函数极值的方法研究较多，这些与许多数学家的努力是分不开的。他们将理论与实际有机的结合起来，不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在物理、经济、现实生活等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数极值问题比较困难，所以在本文将重点介绍多元函数极值的求法。而我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。所以，本文重点探讨多元函数条件极值问题。针对多元函数条件极值求法，文中归纳出了三种方法，拉格朗日乘数法、柯西不等式法、梯度法。其中拉格朗日乘数法就是求条件极值最常用的方法。对于求无条件极值，求解的方法相对来说就更多了，除了数学分析课本介绍的判别法之外还有方向导数判别法等。随着现代科技的进步，计算机软件已得到广泛应用，应用软件求解函数极值应运而生，大学期间就开设了数学建模与数学实验的课程，可以从中学习运用MATLAB软件求函数极值，它不但方便而且准确，是一种求无条件极值的好方法。在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题等方面有着广泛的应用。不等式的证明是数学学习过程中我们经常遇到的，其对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式，本文以举例说明的方式给出应用多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件来证明不等式。函数极值在物理学中的应用也是非常广泛的，比如利用函数极值来证明光的折射定律等。在生产和销售商品的过程中销售量、成本与售价是相互影响的，厂家可以运用函数极值，知道如何选择合理的销售价格才能获得最大利润。很多的数学模型都源于生活，是从一些实际问题中抽象出来的，所以，可以通过探讨函数极值的方法来分析现实生活中许多有趣的问题，如著名的数学家华罗庚就利用极值探讨过蜂房结构有关的数学问题。综上所述，我们对函数极值的求法及应用做一个比较全面的了解是相当重要的。第二章函数极值的定义及其存在的条件极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。我们先来了解下一元函数极值的定义。定义1设函数在的某个邻域有定义，如果对该邻域的所有点，都有FX00X，0FX则是函数的一个极大值；如果对该邻域的所有的点，都有0FXFX，0FX则是函数的一个极小值。极大值和极小值统称为极值；极大点和极小0FXFX点统称为极值点。下面重点了解多元函数极值的定义及其存在的条件。21多元函数极值的定义定义2设元函数在点的某个邻域内有N12,NZFX0012,NPX定义，如果对该邻域内任一异于的点都有00P，01212,NNFXFX则称函数在点有极大值；类似的，若在该邻域内0012,NP0任一异于的点都有012,NX12,NPX，0012,NFFX则称函数在点有极小值。0012,NPXX22多元函数极值存在的条件定理1（必要条件）若元函数在点存在12,NZF0012,NX偏导数，且在该点取得极值，则有。0012,IXNFX,I证明因为函数在点取得极值,所以固定12,NZF,0210NP在后所得的一元函数在点取得极值，于是2NX,02,NX,FX1X，01102XNXF同理，02201,XNXF01,NNX因此。0PGRAD12,NXFF0P定理2（充分条件）设元函数在附近具112,NFX0012,NX有二阶连续偏导数，且为的驻点。那么当二次型0012,NXZ0012,IJNXNIJIJGFX正定时，为极小值；当负定时，为极大值；0012NFXG0012,NFX当不定时，不是极值。G,X记，并记0012,IJIJXNAFX，1213212KKKAAA它称为的阶黑塞矩阵。FK特殊地，当时，有如下推论2N推论1若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导0,ZFXYY在点的数，且，00,XYF令，则00,XYABFCFX当时，；20C,A取极大值取极小值当时，没有极值；2AB当时，不能确定。0第三章函数极值的若干求法函数极值问题是数学中的一个重点问题，在讨论极值问题时，往往会遇到函数的自变量要受某些条件的限制，从而引出了极值和条件极值问题（或限制极值问题）。例如，决定一给定点到一曲面的最短距离的问题就是条件极值0,XYZ,0GXYZ问题。下面31、32和33将重点探讨函数条件极值的求法。31拉格朗日乘数法求极值拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有个变量与个约束条件的最优化问题转换为一个有个变NKNK量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值一种最常用的方法。求目标函数在条件函数，（）12,NFX12,0KNX1,2,KM组限制下的极值。若及有连续的偏导数，且雅克比矩阵,X的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值。12,NXM首先，构造拉格朗日函数，121,NMLX12,NFX12,MKNX然后，解方程组，从此方程组中解出驻点的坐标，0,2,IKLI，进而求出函数的极值。0012,NPX2例1求函数在条件下的极值。2ZXY1XYAB解本题是条件极值问题，设拉格朗日函数为,F2令021XYABA解得2AXBYB故得驻点22,又,0XYXYF所以22DD故是极小值点0022,ABABXY极小值202Z32柯西不等式法求极值柯西不等式是由法国数学家柯西（CAUCHY）研究得到的一个非常重要的不等式，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。某些函数的极值可以转化为柯西不等式的形式求解。柯西不等式对于任意的实数，总有1212,NNB和,，212NABAB222211NNABB简述为“积和方不大于方和积”，当且仅当实数与RII，12,NA对应成比例时，等号成立。由此，得到两个重要结论12,NB3（1）若，则12NAXAXS222112SNNBBXAAB（2）若，则221NBXXT12NAAX221NATBB（其中）。BRI,I4在使用时，往往要采取一些方法，如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。例2设,且,求U的最小值。,0XYZ1XYZ49XYZ解由柯西不等式可得14949UXYZXYZXYZ22136由及249YZX1XYZ可得，1,63此时MINU本题通过巧用“1”构造出了符合柯西不等式的形式及条件，继而达到解题目的。33梯度法求极值梯度法每次迭代都是沿迭代点函数值下降最快的方向搜索，所以梯度法又名最速下降法，是无约束优化方法中最基本的方法之一。用梯度法求目标函数在条件函数，12,NFX12,0INX组限制下的极值，方程组1,2,IMN的解,就是所求极值问题的可能极值12121,0,MNIINIGRADFXGRADX点。5其中表示目标函数的梯度向量，GRADF12,NFX12,NFFXX表示条件函数的梯度向量。I12,IN12,IIIN实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。这是因为将以上的梯度形式按各分量写开，就是拉格朗日乘数法的形式。例3试求个正数，其和为定值的条件下，什么时候乘积最大，并证明NL。1212NNNXXX证明本题的实质是求在条件下的,YF12NXL最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。1212NNGRADXGRADXLL进一步求解得23131211,NNNXXXL容易得到,12NLXX根据题意，则是唯一的极大值点，也是最大值点。所以1,N，即。212,NFX1212NNNXXX这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如求在,ZFXY条件下的极值,只要列出方程组，再求出相应的,0XY,0GRADFXYGRADXY,则其中是可能的极值点。,例4求斜边之长为的一切直角三角形中最大周长的直角三角形。L解设两条直角边为，本题的实质是求在条件,XY,FXYL22XYL下的极值问题。根据梯度法,列出方程组2222GRADXYLGRADL进一步求解得221,XYL容易解出L根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点。2L所以，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大。2L函数无条件极值也是解决数学问题中会经常遇到的，对于它的求法也有很多。下面34和35讲重点探讨函数无条件极值的求法。34利用方向导数判别多元函数的极值定义3设函数在点的某邻域内有定义，令6FX00UX0XU，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方0X0LIMF00LX向导数，记作。FX引理1设二元函数在点的某邻域内连续，在内3,FXY0,PXY0UX0UP可微，用表示方向。0,PXYUPL（1）若，则在点取得极大值；LFF0（2）若，则在点取得极小值。0LP与二元函数相类似。多元函数也可以利用方向导数来判别极大值和极小值。现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明。定理3设多元函数在点的某邻域内连续，在1,NFX01,NPX0UP内可微，用表示方向。0UP0,PUL0（1）若，则在点取得极大值；0LFF0（2）若，则在点取得极小值。LP证明设为领域内任意一点，L为领域内过点和的直线段，,PXY0,PXY,X由假设知，函数在点处沿方向的导数，且在L上点ZF,XY0LF与处，该方向的方向导数均为正。由引理知，在L上单调减少，0,PXY,X,XY即。由的任意性，是极大值。情形（2）同理可证。0FFY,PXY0,FXY推论2设多元函数在的某邻域内连续，在1NF01NP0UP内可微，。0UP,XU（1）若，则在取极大值；1001NXXNFF1,NFX0（2）若，则在取极小值。1NP例5讨论函数的极值。22,46UFXYZZXYZ解先求三个一阶偏导数，令它们为0。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。20,24,26XYZUU求得稳定点为1,32223130XYZXYZ由推论知在点处取得极小值。22,46UFXZXYZ,3。0123124PF也可以利用上述方法按下面的步骤判别极值1求出函数的驻点,用射线及将的,FXY0PXY30,A0,XYF0P邻域划分成若干区域；2及上和各部分区域内，判断方向导数各项符号，30,2A,FFXY进而判断方向导数的符号；3根据定理3、推论2判断该驻点是否为极值点。例6求函数的极值。,FXY24XY解令,，得到稳定点，即驻点方向0X0YF2,P2,导数42COS4SINLFPXAYA在点邻近，各项符号见表12,P0,/,3/2/3/2,004X00COS002Y00IN/FL表1所以，由定理1,点2,2为极大值。0LFP35MATLAB求函数极值MATLAB是一款可用于数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件。用它来求函数既方便，又可避免复杂的计算，可谓好处多多。MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数FMIN和FMINS，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为XFMINFNAME,X1,X2XFMINSFNAME,X0这两个函数的调用格式相似。其中FMIN函数用于求单变量函数的最小值点。FNAME是被最小化的目标函数名，X1和X2限定自变量的取值范围。FMINS函数用于求多变量函数的最小值点，X0是求解的初始值向量。7例7解函数XYXYXF93,23的极值。解实验使用的函数与命令1、函数求导指令DIFF；2、方程求解指令SOVLE；3、显示文本指令DISP；4、创建二维等高线指令CONTOUR1）CONTOURZ，参数Z为一个矩阵，表示相对于XY平面的高度，Z最小为2行2列的矩阵；2）CONTOURZ,N，根据矩阵绘制N组等高线；3）CONTOURZ,V，根据矢量V绘制指定等高线；4）CONTOURX,Y,Z或CONTOURX,Y,Z,N或CONTOURX,Y,Z,V，其中矢量X,Y,分别表示两个坐标范围。如果它们为矩阵，必须与矩阵Z大小相同，此时的Z为一般用函数SURF创建的面。解题总共分为四步第一步，求解偏导数YFX,。MATLAB的M文件程序及结果SYMSXYFX3Y33X23Y29XDIFFF,XDIFFF,YANS3X26X9ANS3Y26Y第二步，求解驻点坐标X,YSOLVE3X26X90,3Y26Y0,X,Y得到四个驻点为P1,0,Q3,0,R1,2,S3,2第三步，求借二阶偏导数，并输出结果ADIFFF,X,2BDIFFDIFFF,X,YCDIFFF,Y,2A6X6B0C6Y6第四步，分别判别P,Q,R,S四点是否为极值，建立M文件，自动判断P,Q,R,S四点的极值情况XX1313驻点横坐标YY0022驻点纵坐标FORI14D6XXI66YYI6IFD0IF6XXI60XXXIYYYIDISP为极小值点；DISP极小值为FMINX3Y33X23Y29XENDENDIFD0XXXIYYYIDISP该点不是极值点；ENDIFD0XXXIYYYIDISP无法确定ENDEND运行输出结果为X1Y0为极小值点；极小值为FMIN5X3Y0该点不是极值点；X1Y2该点不是极值点；X3Y2为极大值点；极大值为FMAX31下面绘出函数图形观察极值点和鞍点的情形，在函数曲面图1左中，观察不到细节。而右图的等高线图中有两个极值点1,0，3,2，又因为极值点有等高线环绕，而3,0，1,2周围没有等高线，故不是极值点，是鞍点。X5015Y1013X,YMESHGRIDX,YZX3Y33X23Y29XSUBPLOT2,1,1MESHX,Y,ZTITLE函数曲面图SUBPLOT2,1,2CONTOURX,Y,Z,200XLABELXYLABELYTITLE等高线图第四章函数极值理论的应用函数极值不但在数学、物理等学科中有着广泛的应用，而且在现实生活中的某些问题也可以借助函数极值来分析。下面归纳了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的应用。41函数极值在不等式证明中的应用不等式证明具有很强的技巧性，是对知识的综合性灵活运用。我们已经接触了很多证明不等式的方法，本节给出应用函数极值的求法来解决不等式证明，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件，把问题转化为求函数极值的问题。例8证明不等式,其中N1,0,0。2NXYNXY证明设函数,在求条件下的最小值。F,NC根据拉格朗日乘数法，做辅助函数，则,2NXYLYXC0,即1N12N0,即12NY1NY0LXC图1函数曲面图与等高线图由和解得，将代入解得XY2CXY函数存在最小值,而无最大值。F,2N所以函数在,处取得最小值。C故，当N1时等式成立。2NXY1N2NC2NXY关于不等式的证明，高中时候就有学过一种很清晰的思路，即要证明一个式子大于等于0或小于等于0，只需证明这个式子的最小值大于等于0或最大值小于等于0。例9证明不等式。LN0,1YEXYXY证明令，则只需证明函数在区域,FX,FXY上存在最小值且大于等于0。,|10DY对于，令，得，且X,0YYFXELNYX当时，当时，0LN,YF易知为最小值点，YX即在曲线上取得最小值。L,FY最小值。LN,LN0XFEX故在上，即。D0YYY42函数极值在物理学中的应用函数极值为其它学科问题的求解带来了方便，其在物理学中就有着非常广泛的应用，比如可以利用函数极值来证明光的折射定律。例10设定点和位于以平面分开的不同光介质中，从点射出的光线折射后ABA到达点，已知光在两介质中的传播速度分别为，求需时最短的传播方式。B1V2解设到平面的距离为，到平面的距离为见图2，AB，光线从点射到点所需时间为，CDDM1COSAV光线从点射到点所需时间为，B2SB且，即，图2CMDTANTD问题转化为函数在条件下的最小值。12,COSABFVTANTBD作拉格朗日函数；112,TTCSLV令，122112SIN0COSSTANTAAVBBLD由此解得，即光线的入射角与折射角应满足12SIIV（光的折射定律）时光线传播时间最短。12SIN43函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量。但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的。厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润。例11假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是,其中和分别表示该产品在两个市场的价格单1128QP21P2位万元/吨,和分别表示该产品在两个市场的销售量即需求量,单位吨，并且该企业生产这种产品的总成本函数是,其中表示该产品在两个市场的销5QC售总量，即。21Q（1）如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。解1总利润函数。521QPCRL5106221Q令,；01641QL02Q分别得唯一驻点吨,吨，5对应的价格分别为万元/吨,万元/吨。1P72P又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处取得，即最大利润为万元。521046522L2如果实行价格无差别策略，即,则有约束条件。2P621Q作拉格朗日函数51062,2122121QQF令0642121解得唯一驻点吨，吨，51Q4对应的统一价格万元/吨。82P又实际问题一定存在最大值，故最大值必在唯一驻点处达到，即最大利润为万元。495106452L由上述可知，企业实行差别定价所得最大总利润要大于统一定价时的最大总利润。44运用函数极值分析蜂房的最优化问题8随着现代科学技术的迅速发展，人们在解决各种实际问题时更加精确化和定量化，数学更加深入的渗透到生活领域。很多的数学模型都源于生活，是从一些实际问题中抽象出来的，因此我们可以运用函数极值将现实生活中的某些问题加以分析。例12著名生物学家达尔文说巢房的精巧构造十分符合需要，如果一个人在观赏精密细致的蜂巢后，而不知加以赞扬，那人一定是个糊涂虫。有人比喻小小蜜蜂是卓越的建筑师。他们认为蜜蜂们“设计”的蜂房是最优化的。蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是正六棱柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此可以抽象出一个数学问题，即寻找体积相同、表面积最小的立体模型。假设蜂房的边长为固定边长，运用函数极值与微分知识，我们可以计算出满足设想的模型数据。问题分析建立一个模型，假设蜂房是一个固定边长为的标准正六棱柱，上方R被替换成三个交于一个共同点的菱形。如下图3所示，我们先将四面体截下，ABCD再将与贴合，得到图4，再对另外两个四面体做同样的动作，最终得到图ABDO5。图3图4图5柱的地面是空的，而总体面积会是一个常数，不妨设成，假设，接VCO下来是求此柱体的表面积，然后求出并证明当为何值时最小。S表S表先是计算蜂房（图5）的表面积。表面积为六棱柱的柱面面积，减掉六个小三周角形，再加上三个菱形面积。由于它是正六棱柱构成的，所以我们可以只算一S三菱小部分的表面积即可。体积，底面积为六个小的正三角形组成，边长为，VS