苏教版高中数学必修4教案学案全集（精品）第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切（三）

第九课时二倍角的正弦、余弦、正切三教学目标灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力教学重点和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用教学难点二倍角公式的变形式的灵活应用教学过程课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用先看本章开始所提问题，在章头图中，令AOB，则ABASIN，OAACOS，所以矩形ABCD的面积SASIN2ACOSA22SINCOSA2SIN2A2当SIN21，即290，45时，A2SIN2A2S不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是A，矩形的面积最大，于是问题得到解22决讲授新课例1求证SIN221COS2分析此等式中的可作为的2倍2证明在倍角公式COS212SIN2中以代替2，以代替，即得2COS12SIN2SIN2221COS2请同学们试证以下两式1COS22TAN221COS221COS1COS证明1在倍角公式COS22COS21中以代替2、以代替，2即得COS2COS21，COS2221COS22由TAN2SIN2COS2221COS221COS2得TAN221COS1COS这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点1用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；2由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”即用此式可达到“降次”的目的这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法另外，在这三式中，如果知道COS的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从2而求得SIN、COS与TAN222下面，再来看一例子例2求证SINCOSSINSIN12分析只要将S、S公式相加，即可推证证明由SINSINCOSCOSSINSINSINCOSCOSSIN得SINSIN2SINCOS即SINCOSSINSIN12请同学们试证下面三式1COSSINSINSIN122COSCOSCOSCOS123SINSINCOSCOS12证明1由SINSINCOSCOSSINSINSINCOSCOSSIN得SINSIN2COSSIN即COSSINSINSIN122由COSCOSCOSSINSINCOSCOSCOSSINSIN得COSCOS2COSCOS即COSCOSCOSCOS123由COSCOSCOSSINSINCOSCOSCOSSINSIN得COSCOS2SINSIN即SINSINCOSCOS12不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式和差形式是否可以化为乘积的形式呢看这一例子例3求证SINSIN2SINCOS分析可有代替，222222证明左式SINSINSINSIN2222SINCOSCOSSINSINCOSCOSSIN222222222SINCOS右边22请同学们再证下面三式1SINSIN2COSSIN；222COSCOS2COSCOS；223COSCOS2SINSIN22证明1令，2222则左边SINSINSINSIN2222SINCOSCOSSINSINCOSCOSSIN222222222COSSIN右边222左边COSCOSCOSCOS2222COSCOSSINSINCOSCOSSINSIN222222222COSCOS右边223左边COSCOSCOSCOS2222COSCOSSINSINCOSCOSSINSIN222222222SINSIN右边22这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆课堂练习1已知、为锐角，且3SIN22SIN21，3SIN22SIN20求证22证法一由已知得3SIN2COS23SIN22SIN2得TANTAN（2）COS2SIN22、为锐角，0，02，20，222222，222证法二由已知可得3SIN2COS2，3SIN22SIN2COS2COSCOS2SINSIN2COS3SIN2SINSIN23SIN2COSSIN3SINCOS032又由20，3222证法三由已知可得SINSI3COSIN2SINCOS2COSSIN2SIN3SIN2COSSIN23SINSIN2COS23SIN32又由，得3SINCOSSIN222，得9SIN49SIN2COS21SIN，即SIN2113又02，2322评述一般地，若所求角在0，上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在，上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，22也可考虑取此角的正切2在ABC中，SINA是COSBC与COSBC的等差中项，试求1TANBTANC的值2证明TANB1TANCCOT45C1解ABC中，SINASINBC2SINBCCOSBCCOSBC2SINBCOSC2COSBSINC2COSBCOSCCOSBCOSC0TANBTANC12证明又由上TAN1TANC1TANC1TANCTAN45C1TANCCOT45C1TANC1TANC课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的课后作业课本P111习题7、8、10二倍角的正弦、余弦、正切1已知SIN，23，那么SINCOS等于（）1322ABCD63632332332SIN10SIN30SIN50SIN70的值是（）ABCD11618143163已知FSINXCOS2X，则FX等于（）A2X21B12X2C2XD2X4设SINSIN85，则COS等于（）2ABCSINCOSSINCOS121212126化简COSCOS（447SIN2121283TAN67501TAN267509已知COS2，0，SIN，求COS72525133210已知SINSIN，COSCOS，求COS的值1213211已知SIN，COS，且，求COS3451343544434二倍角的正弦、余弦、正切答案1D2A3B4B56COS2783212343249已知COS2，0，SIN，求COS725251332解由0，得SIN，COS23545，32COS1SIN21213代入COSCOSCOSSINSIN45121335513336510已知SINSIN，COSCOS，求COS的值12132两式平方相加，得112（COSCOSSINS