2011成人高考(高数二)笔记、定理及公式

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莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁荿袄肈膇莈薃袁肃莇蚆肆罿莆螈衿芈蒅蒈肄膄蒄薀袇肀蒃蚂肃羆蒃袅袆莄蒂薄螈芀蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈薈薁螅芇薇蚃羀膃薇螆螃聿薆薅罿肅薅蚇袂莃薄螀肇艿薃袂袀膅薂薂肅肁腿蚄袈羇芈螆肄芆芇蒆袆膂芆蚈肂膈芅螁羅肄芅袃螈莃芄薃羃艿芃蚅螆膄节螇羁肀莁蒇螄羆莀蕿羀芅荿螁螂芁第一章函数、极限和连续11函数一、主要内容函数的概念1函数的定义YFX,XD定义域DF,值域ZF2分段函数21DXGFY3隐函数FX,Y04反函数YFXXYF1YYF1X定理如果函数YFX,DFX,ZFY是严格单调增加或减少的；则它必定存在反函数YF1X,DF1Y,ZF1X且也是严格单调增加或减少的。函数的几何特性1函数的单调性YFX,XD,X1、X2D当X1X2时,若FX1FX2,则称FX在D内单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内单调减少；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调减少。2函数的奇偶性DF关于原点对称偶函数FXFX奇函数FXFX3函数的周期性周期函数FXTFX,X，周期T最小的正数4函数的有界性|FX|M,XA,B基本初等函数1常数函数YC，C为常数2幂函数YXN,N为实数3指数函数YAX,A0、A14对数函数YLOGAX,A0、A15三角函数YSINX,YCONXYTANX,YCOTXYSECX,YCSCX6反三角函数YARCSINX,YARCCONXYARCTANX,YARCCOTX复合函数和初等函数1复合函数YFU,UXYFX,XX2初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数12极限一、主要内容极限的概念1数列的极限AYNNLIM称数列以常数A为极限NY或称数列收敛于AN定理若的极限存在必定有界NYNY2函数的极限当时，的极限XXFAXFAXFXXXLIMLIM当时，的极限0XFAFXLIM0左极限XFXLI0右极限AXFXLIM0函数极限存的充要条件定理AXFXFXFXXXLIMLIMLI000无穷大量和无穷小量1无穷大量LIMXF称在该变化过程中为无穷大量。FX再某个变化过程是指,XXX000,XXX2无穷小量0LIMF称在该变化过程中为无穷小量。XF3无穷大量与无穷小量的关系定理0,1LIM0LIMXFXFXF4无穷小量的比较0LI,LI若,则称是比较高阶的无穷小量；0LIM若（C为常数），则称与同阶的无穷小量；LI若，则称与是等价的无穷小量，记作；1LIM若,则称是比较低阶的无穷小量。LIM定理若；，2211则2121LIMLIM两面夹定理1数列极限存在的判定准则设（N1、2、3）NNNZXY且ANNNLIMLI则AXNNLI2函数极限存在的判定准则设对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有XHXFG且AXXLIMLIM00则AFXLI0极限的运算规则若BXVAXULIM,LIM则BAXVXUXVXULIMLILIMLILILIBAXVUXVULIMLI0LIMXV推论LIM21XUUUNLIMLILI21XUXXNLILIXCUCNNUXLILIM两个重要极限1或1SINLI0XX1SINLIM0XX2EXX1LIMEXX10LI13连续一、主要内容函数的连续性1函数在处连续在的邻域内有定义，0XXF01O0LIMLI0000XFXFYXX2OLI00FFX左连续LIM00XFXFX右连续LI00FFX2函数在处连续的必要条件0定理在处连续在处极限存在XF0XF03函数在处连续的充要条件0X定理LIMLIMLIM00000XFXFXFXFFXXX4函数在上连续BA,在上每一点都连续。XF在端点和连续是指AB左端点右连续；LIMAFXFAX右端点左连续。LIBFFBXA0BX5函数的间断点若在处不连续，则为的间断点。XF00XF间断点有三种情况1O在处无定义；XF02O不存在；LIM0FX3O在处有定义，且存在，XF0LIM0XFX但。LIM00FXFX两类间断点的判断1O第一类间断点特点和都存在。LI0XFXLIM0XFX可去间断点存在，但LIM0FX，或在处无定义。LI00XFFXXF02O第二类间断点特点和至少有一个为，LIM0XFXLIM0XFX或振荡不存在。LI0FX无穷间断点和至少有一个为LIM0FXLIM0XFX函数在处连续的性质0X1连续函数的四则运算设，LIM00XFXFXLIM00XGXGX1OLI000XFXGFX2OLIM000XGXFXGXFX3OLI000XGFXGFX0LIM0XGX2复合函数的连续性,XFYXUFYLIM,LIM0000XFUFXXUX则LILI000XFFXFXX3反函数的连续性,001XFYXFXFYLIMLIM011000YFFFFYX函数在上连续的性质,BA1最大值与最小值定理在上连续在上一定存在最大值与最小值。XF,XF,BAYYMMFXFX0ABXMM0ABX2有界定理在上连续在上一定有界。XF,BAXF,BA3介值定理在上连续在内至少存在一点XF,，使得，CF其中MCMYYMFXCFX0ABXM0A12BX推论在上连续，且与异号XF,BAAFBF在内至少存在一点，使得。,0F4初等函数的连续性初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学21导数与微分一、主要内容导数的概念1导数在的某个邻域内有定义，XFY0XFXFXYXXLIMLI00000LI0XFFX000XXDYFY2左导数00LIM0XFFXFX右导数00LI0XFFFX定理在的左（或右）邻域上连续在XF0其内可导，且极限存在；则LIM00XFXFX（或）LI00FFX3函数可导的必要条件定理在处可导在处连续XF0XF04函数可导的充要条件定理存在，00XFYX00XFF且存在。5导函数,XFY,BA在内处处可导。YXF,BA0XFXF6导数的几何性质是曲线上点0XFXFYX处切线的斜率。OX0X0,M求导法则1基本求导公式2导数的四则运算1OVUVU（2O（3O2VUVU0V3复合函数的导数,XFYXUFY，或DXUYDXXFF注意与的区别FXF表示复合函数对自变量求导；XF表示复合函数对中间变量求导。FX4高阶导数,3FXFXF或4,32,1NXFXFNN函数的N阶导数等于其N1导数的导数。微分的概念1微分在的某个邻域内有定义，XFXOXAY其中与无关，是比较高XX阶的无穷小量，即0LIM0XOX则称在处可微，记作FYXADDY0X2导数与微分的等价关系定理在处可微在处可导，XFF且XAXF3微分形式不变性DUFDY不论U是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。Y22中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1罗尔定理满足条件XF0,3,2,100FBABFAFBA使得存在一点内至少在内可导在上连续；在YXFXFAOBXAOBX2拉格朗日定理满足条件FABFFFBABA,2,100，使得在一点内至少存在内可导；在上连续，在罗必塔法则（型未定式）,0定理和满足条件XFXG1O；）或）或0LIMLIXGFAXAX2O在点A的某个邻域内可导，且；0XG3O）（或,LIMAXGFAX则）（或,LILIAXGFXGFAXAX注意1O法则的意义把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2O若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是型或型时，不可求导。03O应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4O若和还满足法则的条件，XFXG可以继续使用法则，即）（或AXGFXGFXGFAXAXAXLIMLIMLIM5O若函数是型可采用代数变,0形，化成或型；若是型可0,1采用对数或指数变形，化成或型。0导数的应用1切线方程和法线方程设,0YXMXFY切线方程000XFY法线方程0,10000XFXXFY2曲线的单调性,0BAXXF内单调增加；在,BAXF,F内单调减少；在,BAXF,0F内严格单调增加；在,BA,0BAXXF内严格单调减少。在,BA3函数的极值极值的定义设在内有定义，是内的一点；XF,BA0X,BA若对于的某个邻域内的任意点，都有0000XFXFXFXF或则称是的一个极大值（或极小值），0FF称为的极大值点（或极小值点）。0XXF极值存在的必要条件定理02100000XFXFXFF存在。存在极值称为的驻点0XF极值存在的充分条件定理一是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在00000000321XFXFFXFXF当渐增通过时，由（）变（）；X0XXF则为极大值；0F当渐增通过时，由（）变（）；则为极小值。X0XXF0XF定理二是极值点。是极值；存在。；0000021XFXFF若，则为极大值；0F0F若，则为极小值。0XF0XF注意驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点若；则在内是上凹的（或凹的），BAXXF,0XF,BA（）；若；则在内是下凹的（或凸的），（）；BAXXF,0XF,BA的拐点。为称时变号。过，,201000000XFFXFF5。曲线的渐近线水平渐近线的水平渐近线。是或若LIMLIXFAYAXFFXX铅直渐近线的铅直渐近线。是或若LIMLIXFCXXFFCXX第三章一元函数积分学31不定积分一、主要内容重要的概念及性质1原函数设DXFXF,若FF则称是的一个原函数，XXF并称是的所有原函数,CFF其中C是任意常数。2不定积分函数的所有原函数的全体，XF称为函数的不定积分；记作XFCXFDF其中称为被积函数；XF称为被积表达式；D称为积分变量。X3不定积分的性质XFDXF或DFFCXFDXF或FFDXFXFXFN21DXFXFDFN21分项积分法K为非零常数DFKXKF4基本积分公式换元积分法第一换元法（又称“凑微元”法）DXXFXDXF凑微元CTFDTFXT令XXT回代常用的凑微元函数有1O11BAXDAXDDX0,ABA为常数，2O1111BAXDMADXMDXMMM为常数）（3O1BAEDEDXEXX1,0,LN1AADDXAX4OL1XDX5OSINCOSCOSSINXDXCOTTANEC22XDX6OARCOSARCSIN12XDXDXCOTARCTN12XARDXDX2第二换元法TDTFDXFT令CTFDXTFTFXT11反代第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换1O0,TNTX为偶数时当被积函数中有时X2O20,COS,SINTXATAX或当被积函数中有时22X3O0,0,COT,TAN22TTAX或当被积函数中有时22X4O0,0,CS,SEC22TTTATAX或当被积函数中有时22AX分部积分法1分部积分公式VDXUVUDXVU2分部积分法主要针对的类型XDPXDPCOS,SINEXDPLNXDXPARCOS,ARCSIXDXPT,TNBXDEBEAXACOS,SI其中（多项式）NNNAXAXP1103选U规律在三角函数乘多项式中，令，UP其余记作DV简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令，X其余记作DV简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令，ULN其余记作DV简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为U，其余记作DV简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为U，其余记作DV简称“指三任选”。简单有理函数积分1有理函数XQPXF其中是多项式。P和2简单有理函数21,1XPXFXXFBXAXPFBAXF232定积分FX一主要内容（一）重要概念与性质1定积分的定义OAX1X2XI1IXIXN1BXIIIBANIIINXXFDXF,110LM定积分含四步分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义是介于X轴，曲线YFX,直线XA,XB之间各部分面积的代数和。X轴上方的面积取正号，YX轴下方的面积取负号。A0BX2定积分存在定理BAXFY,设若FX满足下列条件之一,2,1点上有有限个第一类间断在连续，BAXF上可积。在则上单调有界在BAXF,3O若积分存在，则积分值与以下因素无关上任意选取。可以在的选取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，IIIIBABAXBADTFDXF,13,21有关。与区间积分值仅与被积函数,BAXF3牛顿莱布尼兹公式,AFBXFDXFAFFBABA则上的任意一个原函数在是连续函数若牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4原函数存在定理,XFDTFXBAFBAXDTFXBAXFXA且上的一个原函数，在是则连续，若5定积分的性质上可积，则在设,BXGFABADXFKDKF1BBAXFXF2043DXFDXGDXFDGFABABAB5BCADXFDXFFBCCABABDXBA16YYYFXGX1FX0ACBX0ABX0ABXDXGDXFBAGFBABA,7则O上的最小值和最大值。在分别为其中估值定理BAXFMMMDFABBA,8YYMFXFXM0ABX0ABX,9ABFDXFBAAFBA使则必存在一点连续若积分中值定理O（二）定积分的计算1换元积分,TXBAXXF，连续，设,TT连续，若,BABATT变到单调地从时，变到从且当DTTFDXFBA则2分部积分BABABAVDUVUD3广义积分00DXFDXFDXF4定积分的导数公式1XFDTFXAX（O2XFTFXXAO3112221XXFXXFDTFXXO三定积分的应用1平面图形的面积,01BABXAXXFY由O与X轴所围成的图形的面积YFXBADXFS,221GFXGYFY由ODXGXFSBAXBA,所围成的图形的面积与,321YY由ODYYSDCYDC,所围成的图形的面积与求平面图形面积的步骤4求出曲线的交点，画出草图；确定积分变量，由交点确定积分上下限；应用公式写出积分式，并进行计算。2旋转体的体积及X轴所围图形绕X轴旋转所BXAXXFY,01与曲线O得旋转体的体积DXFVBAX20ABX及Y轴所围成图形绕Y轴旋转DYCYYX,2与由曲线O所得旋转体的体积DYVDCY2第四章多元函数微积分初步41偏导数与全微分一主要内容1多元函数的概念3二元函数的定义DYXYXFZ,FD定义域4二元函数的几何意义二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）2二元函数的极限和连续1极限定义设ZFX,Y满足条件的某个领域内有定义。在点,10YX可除外）（点,0AYXFYX,LIM20。极限存在，且等于在则称AYXYFZ,02连续定义设ZFX,Y满足条件的某个领域内有定义。在点,10YX,LIM200YXFFYX处连续。在则称,0YXYFZ偏导数点在定义,0YXYXFXYFYXFYXFX,LIM,00000YYXFYXFYXFYY,LI,0000的偏导数。处对在分别为函数YXYXYXFXFFY,000处的偏导数记为内任意点在,YXDYFZXXZXYFYF,YYZYFXF,全微分1定义ZFX,Y,YXFYXFZ若OYBA）是比（无关，、与、其中，OX较高阶的无穷小量。22YXYBXADFZ,则在点X,Y处的全微分。,YXFZ是3全微分与偏导数的关系,DYXYXFYFYX连续，定理若处可微且在点则,FZDYXFDXYFDYX,复全函数的偏导数1,YXVYXUVUFZ设,YXFXVZXUZXZ则YVZYUZYZ2,XVXUVUF设,XFY隐含数的偏导数10,0,ZFYXFZZYXF且设DXVYDXUYDXZYZXFYFXZ,则20,0,YXFY且设YXFDX则二阶偏导数,2XZXZYXF,2YZYZYXFY,2XZYYXZYXFY,2YZXYZYXFY的连续函数时，为和结论当YXFXFYXY,FFYXXY则二元函数的无条件极值1二元函数极值定义某一个邻域内有定义，在设,0YXYXZ,00YXZYXZZ或若,0值或极小的一个极大是则称YXZYXZ值点。或极小的一个极大是称,0极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2极值的必要条件,00YXYXYXFZ有极值，且在在点若两个一阶偏导数存在，则0,0,00YXFYXFY，的点使,1000YXFFYX的驻点。称为,XFZ的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。例122XYZ002YXYZYX解出驻点10,1,00,2YZYX时，当,02XX时，当驻点不一定是极值点。5极值的充分条件的某个领域内在设函数,0YXYXFY为驻点，有二阶偏导数，且,0,0020YXFYXFYXFPYY若为极小值。时，为极大值。时，且当,0,000YXFYXFP不是极值。当,0F不能确定。当,0P求二元极值的方法一阶偏导数等于零，求一阶偏导数，令两个1解出驻点。判断驻点是否是根据极值的充分条件，求出,2P极值点。极值。若驻点是极值点，求出3二倍角公式含万能公式21COSIN2SITG222221SIN1CSICOTG21TGTCOIN22TG2COS1CS21、数列极限的存在准则定理13（两面夹准则）若数列XN,YN,ZN满足以下条件（1），（2），则定理14若数列XN单调有界，则它必有极限。2、数列极限的四则运算定理。（1）（2），（3）当时，3、当XX0时，函数F（X）的极限等于A的必要充分条件是这就是说如果当XX0时，函数F（X）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。反之，如果左、右极限都等于A，则必有。4、函数极限的定理定理17（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理18（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件（1），（2），则有。推论（1）（2），（3）5、无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。6、等价无穷小量代换定理如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。7、重要极限8、重要极限是指下面的公式9、（2）（3）（4）10、函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理112（四则运算）设函数F（X），G（X）在X0处均连续，则（1）F（X）G（X）在X0处连续，（2）F（X）G（X）在X0处连续（3）若G（X0）0，则在X0处连续。定理113（复合函数的连续性）设函数UG（X）在XX0处连续，YF（U）在U0G（X0）处连续，则复合函数YFG（X）在XX0处连续。定理114（反函数的连续性）设函数YF（X）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数XF1（Y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）闭区间上连续函数的性质在闭区间A，B上连续的函数F（X），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理115（有界性定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则F（X）必在A，B上有界。定理116（最大值和最小值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理117（介值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且其最大值和最小值分别为M和M，则对于介于M和M之间的任何实数C，在A，B上至少存在一个，使得F（）C11、闭区间上连续函数的性质在闭区间A，B上连续的函数F（X），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理115（有界性定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则F（X）必在A，B上有界。定理116（最大值和最小值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理117（介值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且其最大值和最小值分别为M和M，则对于介于M和M之间的任何实数C，在A，B上至少存在一个，使得F（）C12、推论（零点定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且F（A）与F（B）异号，则在A，B内至少存在一个点，使得F（）013、初等函数的连续性定理118初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知如果F（X）是初等函数，且X0是定义区间内的点，则F（X）在X0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。14、可导与连续的关系定理21如果函数YF（X）在点X0处可导，则它在X0处必定连续。15、由这个定理可知若函数F（X）在X0不连续，则F（X）在X0处必定不可导。16、导数的计算1基本初等函数的导数公式（1）（C）0（2）（X）X1（3）（4）（5）（AX）AXLNA（A0,A1）（6）（EX）EX（7）（8）（9）（SINX）COSX（10）（COSX）SINX（11）（12）（13）（SECX）SECXTANX（14）（CSCX）CSCXCOTX（15）（16）（17）（18）2导数的四则运算法则设UU（X），VV（X）均为X的可导函数，则有（1）（UV）UV（2）（UV）UVUV（3）（CU）CU（4）（5）（6）（UVW）UVWUVWUVW3复合函数求导法则如果U（X）在点X处可导，而YF（U）在相应的点U（X）处可导，则复合函数YF（X）在点X处可导，且其导数为同理，如果YF（U），U（V），V（X），则复合函数YF（X）的导数为4反函数求导法则如果X（Y）为单调可导函数，则其反函数YF（X）的导数17、微分的计算DYFXDX求微分DY只要求出导数FX再乘以DX，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则（1）D（C）0（C为常数）（2）（为任意实数）（6）D（EX）EXDX（7）D（