第四章声波的辐射4.1概述4.1.1声波的辐射过程辐射器振动表面推动

第四章声波的辐射41概述411声波的辐射过程辐射器振动表面推动周围介质振动，由于介质的惯性和弹性，使得振动向远处传播。412本章学习的内容（1）介质对辐射器振动表面的作用辐射阻抗的概念；（2）辐射声场的空间分布轴向远近场的概念，瑞利距离周向远场指向性的概念（3）辐射声场的数学处理方法分离变数法求解（要求辐射面规则）；亥姆霍兹方程的积分解亥姆霍兹积分公式；413辐射声场的定解问题亥姆霍兹方程边条件（振源边条件和无穷远边条件）波动方程，如果时间函数为简谐振动,略记,可得亥姆霍兹方程辐射声场的定解问题（41）42辐射阻抗如果，辐射器的机械振动系统的等效集总参数系统如下图C/K,RPKR其中022）射条件的表现形式不同（不同解法，无穷远辐表面振速）场法向振速等于辐射器在辐射器振动表面的声满足无穷远辐射条件其中/,022RSNPVUCKRPKR图41（42）（43）（44）（45）（46）力；机转换元件的等效施加是电取辐射器表面某点振速振速；是等效系统参考点处的其中运动方程为系统在无介质环境下的FUFCMJRMM,10000,100SASMMDSRUZDSRPFFFUFFUCMJR阻阻阻阻动表面的压力，所以是声压作用在辐射器振又，因为统的阻力；是介质对辐射器振动系施加力；是电机转换元件的等效振速；是等效系统参考点处的其中程为系统在介质中的运动方，得此式代入到运动方程中所以速分布函数）是辐射器振动表面的振又面处的振速。是声场在辐射器振动表是波阻抗；上式中阻0000,SASASSADSVRZDSRUZDSRPFSVSVRURZ（47）（48）（49）定义辐射阻抗，介质对辐射器振动表面的阻力作用，相当于在辐射器的机械振动系统中增加了一个机械阻抗。此机械阻抗称为辐射器的辐射阻抗。记ZS；单位机械欧姆。（410）分析1）辐射器的辐射阻抗与辐射器的振动表面及其振速分布、介质的特性阻抗以及等效系统的参考点选择有关。2）（411）辐射阻，RS是耗能元件；将机械振动系统中的机械振动能转化为声场中的声能。所以，辐射阻的消耗功率就是辐射器的辐射声功率。辐射抗，XS是储能元件；不断进行机械振动系统中的机械振动能与声场中的声能的相互转化。FUDSVRZCMJRJDSVRZFFUJRSAMMSSAMM11000000阻程为系统在介质中的运动方0SASDSUVRZ，辐射抗；，辐射阻；SSSSSASXRJRDUVRZ0图42辐射声功率（412）机械振动系统总消耗功率（413）所以，机/声转换效率（414）43球形声源的声辐射431均匀脉动球面的声辐射（一）方程和边条件及其解（415）（416）（417）（418）（419）201URWSA2021URSM1/SMAMAW无关。、无关；所以，声场与、球坐标系下，边条件与满足无穷远辐射条件略其中RANTJPVUECKRK/,0022221,1,0,01,KRTJKRTJTJJKRJKRJKRJKREACJKRDTRPTRUPBEEATRPBEAPPRKRR条件，得又由；有，亥姆霍兹方程为KRTJKAJKRTJKAJKAJTJKATJERCJEKCAVT,RURT,RPKATGEKCAVAEVT,RU1111100020200200压场和振速场为均匀脉动球源的辐射声有代入球面处的边条件，（420）（421）（422）（423）（424）这是点声源辐射场。；时，有讨论；压场可表示为均匀脉动球源的辐射声面积振动面球面振速均匀脉动球源。声源强度，记的幅值为，排开介质的体积速度定义谐合律振动声源源的概念（二）声源强度和点声KRTJKRTJKAJTJERQCKJT,RPKAEECKQT,RPVAA,EV,Q411444020220KRTJKRTJERQDT,RPT,RECKJT,RP41421点声源速度势场；可得由点声源声压场。）辐射的声场各向均匀（中波长；）声源尺度远小于介质（点声源（三）均匀脉动球面声源的辐射阻抗（425）（426）（427）图43均匀脉动球面声源的辐射阻和辐射抗随KA的变化曲线分析2222222001414141100KACXKACRKAJKACAJKADSVCJKRDSUVT,RZZCJKRT,RUP,RZSSSSSASA辐射抗辐射阻抗为均匀脉动球源的辐射阻波阻抗0144111222122KASKASCAXCCRKAA辐射抗；辐射阻高频），大球辐射时（四）均匀脉动球面声源的辐射声功率图44（428）（429）（430）（403003122212233441412M,AMMAKACXCSKACRKASSS。倍同体积介质球的质量为小球辐射时的伴振质量。记振质量质量元件的质量称作伴辐射器的辐射抗所对应同体积介质球质量）辐射抗；辐射阻低频），小球辐射时（2022020202022011241114111FVSURW,KAACV,KAAVCURW,SSS辐射声功率低频），小球辐射时（辐射声功率高频），大球辐射时（分析辐射声功率率，所以功率全部转化为声场功消耗因为，辐射阻的率用辐射阻抗求辐射声功RRRSAEDEDSEACRIASRATPTRCRISDIWIN21,21,222020而，；）（的球面，有为，取与声源同心，半径闭曲面；波，有对于均匀扩散谐合球面谐合声波，又辐射声功率功率，所以声功率就为声源的辐射通过包围声源闭曲面的用声场求辐射声功率31）（432）（433）CADSINRACSDRIWSA2421200）（434）432声偶极子及摆动球的声辐射声偶极子两个相距较近，强度相等，振动相位相反的点声源构成的声辐射系统。图45（4同前）见前）VKACEKACVWKATGEKACVAKAJAKAJ202220020141241100据迭加原理，有点声源速度势ERQT,RRT,REQT,KRTJKRTJKRTJ4435）声偶极子辐射声场的特点（436）结论1，声偶极子的辐射声场在与声传播方向的垂直方向上声压幅值分布不均匀。定义，声源的指向性在声源辐射声场的远场，声源各方向距声源等距离处声场幅值的不均匀性称作声源的指向性。定义，指向性函数在声源辐射声场的远场，以声源为球心的球面上，在各方向上声场幅值的归一化函数称作声源的指向性函数，声偶极子声源的指向性函数（436）（437）为偶极子矩其中略记）据迭加原理QDA,COSREACOSRERRQRDRQT,RT,RT,EJKJKJKJKRJKRTJ44COS4,REAJRPTJTTTJK声压COS,0PDSINRERACOSRERA,R,RUSR,R,RT,T,UJKJKJK442振速（438）结论2，（439）（440）（441）结论3，复习特殊函数的性质分量。和质点振速有声偶极子的辐射声场的ER,0,SIN4COS4,CO,2RWRIITTRIREAREAJRTRWRTUTPTRRKTJEKTJEKRTJEKJER声强声能流密度矢量分量。只有流矢量的时间均值声偶极子辐射场的声能RE,XEHKRHJ220201的初等函数表示DXHLQLQLXQKRNJLLLLLLL0112021；取等球函数的递推关系、或、132131030PXPXP的多项式表示次勒让德函数前COS4,COSCOS12111PKRHJAERPKRHJRJKRJK速度势函数的偶极子声源辐射声场偶极子矩为由特殊函数性质，可得摆动球的声辐射（442）图46（443）满足无穷远辐射条件略其中RARTJCOSVEC/K,RKR022代入边条件；所以远边条件，得由无关；所以因为，轴对称声场，与这里，记）方程的解为（见前球坐标系下，亥母霍兹02210021082LLL“LL“L“LLLLL“NL“NLLNNLCOSPKRHB,RAKRHBKRHCOSP,RCOSCOSKRHBKRHAP,RCOS,10COSCSOS,21210“20“1021“102“KRHRVRLBRKHVVRKHBPVPRKBRALAALLALA势函数为摆动球的辐射声场速度（444）（445）注KAJEVKRHJVAPKRJRJA244COS,03221012摆动球的偶子极矩为速度势为（见前）的偶极子声源辐射场的偶子极矩为22200122232231111JXJXJXJXJXJXJXJXRARAEEHKRHDEXEEHJEXKHKJJJ又，的初等函数表示3232JXKAJKAJJEXJEK22220011DXDX；图47（446）（447）COS,2IN2S,74COS221,COS4,0DAPADFXSKAJJVARPEAJRPJKR）为球面上圆环，如图方向受力面元摆动球表面的声压声压为（见前）的偶极子声源辐射场的偶子极矩为摆动球的辐射阻抗COSCSDOKAJKAJVCCOSDKJKACVACSCSKJKJCV,DFFXX3231234122002002002（448）（449）（450）44柱形声源的声辐射441均匀脉动柱面的声辐射图48（一）方程和边条件及其解（451）20424013,333XSSSSSSSSFCSJKAJZUVRXCSKACSKAXMCSARKA辐射阻抗球面表面积）辐射阻；辐射抗伴振质量分析大球（高频）小球（低频）4012SF摆动小球的辐射声功率W220,/JTNRAPKKCEUVZZ其中略满足无穷远辐射条件柱坐标系下，边条件与、无关；所以，声场与、无关。（452）其行波场形式解为（453）（454）,PRZPR柱坐标系下，声压场；有，亥姆霍兹方程为210DK220PRPRD为阶贝塞尔方程2100,JTPRTAHKRBKRE代入声源边条件，确定所以；远边条件，得由AEKRRTJ,20，取）推关系；以及汗克尔函数的递利用了注解尤拉公式）有代入柱面处的边条件，0,2122102020KAHXXDCKKAVCJDXVJAERHJTRURTPTKATJARTJAR柱面波场。源的辐射场为均匀扩散可见，均匀脉动柱面声声压场为均匀脉动柱声源的辐射注解毕TJTJARTJARTJEKRHAVCJTRPCKCVKVJAEVJAERDX,202121021002122021（455）（456）（457）（458）（459）（三）均匀脉动柱面声源的单位长度辐射阻抗因为均匀脉动柱面声源为无限长；所以，其辐射面的面积无限大；故，无法求整个声源的辐射阻抗；下面求出单位长度柱面的辐射阻抗（460）（461）（462）（42,1,72212100211210210KRNRJKRNKRJCRZAHVIEKRTRUAVCJTPCHATJTJ详见声强、波阻抗分别为该声场的声压、振速、讨论，这里不再赘述。在第二章第七节有详细均匀扩散柱面波的性质射声场的性质（二）均匀振动柱面辐2,12,2121002110000KANJKANKAJRCRZARZDSVRZDSUVRAAASAASSAS其中位长度的辐射阻抗为均匀脉动柱面声源，单2212100KANJKACXRRSS辐射抗辐射阻63）（464）图49单位长度均匀脉动柱面的等效机械振动类比电路图410单位长度均匀脉动柱面的辐射阻和辐射抗随KA的变化曲线分析2212100KANJKACXMS伴振质量；辐射抗辐射声功率；辐射阻射阻抗表达式中，可得将上面的近似式代入辐）（；）（；）（；）（得的函数近似式）性展开（变量利用贝塞尔函数的奇异低频），细柱辐射时（KACXFRZZNZZNJJZKAASS1LN22LN21011010；辐射抗；辐射阻射阻抗表达式中，可得将上面的近似式代入辐）；（）（）；（）（）；（）（）；（）（得的函数近似式）展开（变量利用贝塞尔函数的渐进高频），粗柱辐射时（0243SIN24SINCOCO2210SSZZZZXCARZNZNJJA（四）单位长均匀脉动柱面声源的辐射声功率（略）图411（465）45亥姆霍兹HELMHOLTZ积分公式及其应用451亥姆霍兹积分公式图412幅值。，均匀脉动柱面振动的面的辐射阻；，单位长度均匀脉动柱的消耗功率位长度的辐射声功率为均匀脉动柱面声源，单0201VRVRWRSSSS/,0122CKVRKRAHSS其中式方程满足势函数中各点的速度的内部是声场中的闭曲面，令0/,02222VDVRRRRABCKVKHR，得内处处成立，作体积分上式，得式式则有其中式方程，令其也满足取辅助函数（466）（467）图413图414（468）的外法线方向；为其中，式又得高公式根据奥SNDSNRRSDDSNRSRRSDAVSSSV00方程处，满足显然，此函数在其中，处的点声源辐射场，有为空间点取辅助函数HRRERMMRJKRMJKMSMSSJKRJKRSSMSVRDNENRVDSNRNRSS其中，式）记作外），有下式成立点在时当式）（见前方程，则满足内为边界的若在以0120,如何作积分方程；点处是奇点，不满足内的在内）函数点在时内）上式的积分点在时下面进一步分析，的作用何在此积分式，对声场计算HMVRERRVRMJKJK图415图416的外法线，为；小球面其中，式，有根据内点不在方程，满足与内之间的区域与；则在的小球面点为球心半径为内取以在012SNRVRDSRNERVMHRSMSMSJKRJKRSSRMJKSSRSIN0220见示意图其中，的球面点为球心半径为是以小球面又RNRDERRNNRMMSSRSJKRJKSSSJKRSJKRSSSSSDERJKRERRDERJKERERJKDRRJKSSJKSMSRJKSSJKSRSJKRJRSSJKRJKRSSIN0INI1IN20020220220LIM；有又，令（469）（470）图417（471）亦44SINLIMLI020MSMJKMJKRRDERJRE421,MSMSSJKRJKRSSMVRDNENRVSS其中，式）记作有下式成立内）点在时当的外法线；边界面为其中，）积分公式（则有其中方程满足度势函数中速，在围区域为是声场中的闭曲面，所如果综上，得结论SVNRDSRNERHCKVRKRVSMSJKRSJRSSSMSM041/,01222条件方程和满足函数外的速度势；的内部为是声场中的闭曲面，令HRSVS满足无穷远辐射条件其中RCKRK/,02图418如何获得此条件下的H积分公式图419（472）图420边界面的外法线；为其中，）有积分公式（方程；由满足度势函数中速，在围区域为是声场中的闭曲面，所；得，利用结论之间的区域与大球面；在，包围的大球面点，半径为取球心为041VNRDSRNERHVSVSRMMSJKRSJKRSSRRSMSRSIN220见示意图其中，的球面点为球心半径为是以大球面计算下面问题；RNRDERRNRRMMSSRRSJKRJKSSSJKRSJKRSRSRSMSRR下面表达形式无穷远条件的；利用声场速度势函数又，令SINI1SIN20220220SRRJKSSJKRSRSJKRJKRSRRSJKRJKRSRDEJREEDR）索末菲远场条件（也称作条件是无穷远声场的熄灭）（）（辐射条件）（有限值条件）常数）（是指满足无穷远条件210SINLIM02SINLIM1,020DRRJKRERRDECRJKRJKR边界面的外法线；为其中，得又04LIM0LILIMLILIVNRDSRNERRRRMSSJKRSJKRSSRRRRSRSRMSMSRLIMLIM04VRRVRNSVRDSRNEMRMRMMSSJKRSJKRSSMS的外法线；边界面为其中，亦图421（473）（473）关于亥姆霍兹HELMHOLTZ积分公式的物理意义讨论的外法线；边界面为其中，）积分公式（则有边界条件满足其中边界条件方程和满足度势函数外速，在围区域为是声场中的闭曲面，所如果综上，得结论SVNRDSRNEHRCKVRKVSMSJKRSJKRSSSMS042/,0222法线；由有源区指向无源区的为边界面其中，有源区有源区积分公式则有边界条件满足其中有源区边界条件；亦满足区；同时声场分为无源区和有源是声场中的闭曲面，将如果的统一（合并）与结论结论SNRDSRNRERHCKRKRSMSMJKSJKRSSSS04/,02122限场不能唯一确定源。）源可唯一确定场；有（修正的惠更斯原理）源和偶极子声源点声声源包括两类辐射场迭加构成。（子）场值由边界处子声源（边条件可求场）场值。（方程）可由场的边界值求出（有源区有源区积分公式32104MSSMJKRSJKRSSRDNENRHSS2亥姆霍兹积分公式在计算声辐射问题中的应用1）无限大刚性障板上辐射器的辐射声场的瑞利公式表示图4222）无限大刚性障板上圆面活塞辐射器的辐射声场1远场速度势函数由瑞利公式图423图424辐射面到场点的距离；辐射微元声源的振速分布；式中瑞利公式SDSRSVREOSOSJKTJS2表示；（的位置用球坐标变量场点的距离；到场点面积微元的圆面；半径为,20RMMDSRASDSEVRRASJKTJSOJKTJASDXJXDEXJRVDSERRRRDSOJXAJKKTJSAJKRTJAA212SINCOSINC010COS002SINCO00又得取中，在被积函数的指数因子取在被积函数的分母上，有又若，极坐标，有在辐射器振动圆面上取SIN2SINISISINNII21S202112000210200COS000COSINVAQKAJRQEKAJRVEDXJXKDKJRVEDEXJKRVRTJKTJAKTJAKTJJXAKRTJAJKKTJ（474）2远场声压和指向性函数（475）分析指向性函数图425SIN20,0,SIN2SIN21101KAJRPRDKAJQEJTRRPVKAJQERRTJRTJ远场指向性函数远场声压函数XJY21关于函数有指向性图，取极坐标远场指向性函数0SIN1D