数学理卷·2011届上海市卢湾区4月高考模拟考试（2011.04）

卢湾区2011年高考模拟考试数学试卷（理科）20114（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1不等式1的解集是|2|X2函数的反函数为Y3方程的解集为2SINI0X4若实数对满足，则的最大值为,Y24YXY5若关于X,Y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为则063MN3,4XYMN的值为6在极坐标系中，点A的极坐标为，直线L的2,0极坐标方程为，则点A到直COSIN线L的距离为7某算法的流程图如图所示，则该算法输出的N值是8已知N的展开式中含有常数项，251NX则的最小值是9已知,，且0203COS5，则3TAN4SIN10一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为1,23,5，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是1,611某船在A处看灯塔S在北偏东方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航30行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东方向，则此时该船到灯塔S的75距离约为海里（精确到001海里）12已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物2YPX,P12,LL线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为若某同学已正确求,PQ2L,MN1LK输出N开始否NN12NN2是结束N1（第7题图）得弦的中垂线在Y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在Y轴上的截距为PQ32PK13已知向量，的夹角为，若点M在直线OB上，则OAB3|4OA|1B|M的最小值为14已知集合，当为4022时，集合的元素个数21COS,NAXMZMA为二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15“”是“函数是奇函数”的（）SINFXA充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16已知数列是无穷等比数列，其前N项和是，若，则NANS23A341ALIMNS的值为（）ABCD23438316317已知复数满足（I是虚数单位），若在复平面内复数Z对Z12IZI2应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A双曲线的一支B双曲线C一条射线D两条射线18已知，234101XXF23410XXG若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（）12AB120,X12,01,XCD,1,三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，ABOPA6AB，此圆柱的体积为，求异面直线与所成角的余弦值8AD30ACPB20（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E21（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且E21XYAB03,P12,F126FP（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否,MN5X12FMNC过定点请说明理由22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，参加活动次数123人数235APBCDO第3小题满分9分已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为D（D0）在之间和B,CCBA,BA,之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为QN3N（1）求证；|1Q（2）若，求的值；,AD（3）若插入的N个数中，有S个位于A,B之间，T个位于B,C之间，且都为奇数，,ST试比较S与T的大小，并求插入的N个数的乘积（用表示）,ACN23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一DYFX1XD的满足等式，则称M为函数FX的“均值”2X12FXY（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；1FX（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数A的取值范围；22,FXAA（3）若函数是单调函数，且其值域为区间I试探究函数的“均值”情况FX（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）说明对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分卢湾区2011年高考模拟考试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分）12345,32LOG1YX|,XK24678910577250,1112131443PK16二选择题（每小题5分）15A16D17C18B19解设圆柱下底面圆的半径为，连，ORACAPBCDOXYZ由矩形内接于圆，可知是圆的直径，ABCDOAC于是，得，3分226810R5R又圆柱的体积，可得6分53VP12P分别以直线为轴，建立空间直角坐标,XYZ系，可得，8分AXYZ6806,CB设异面直线与所成角所成的角，向量与的夹角为，ACB则，|35COS|21AP故异面直线与所成角的余弦值为12分B20解（1）3人参加活动次数各不相同的概率为12350C4P故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为5分14（2）由题意知，,12；7分3510C4P；9分27110分1520C49的分布列为11分所以的数学期望13分1472410595E21解（1）设点的坐标分别为，12,F,0C则33,PC故，可得，2分212164C所以，4分212|4316A故，23,8BC所以椭圆的方程为6分E21XY（2）设的坐标分别为，则，,MN5,MN129,1,FMMNN又，可得，即，8分12F1290FN又圆的圆心为半径为，C,|X012P故圆的方程为，C222|5MNXY即，250XYN也就是，11分29令，可得或2，08X故圆必过定点和13分C,0,（另法（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直P径的两端点直接写出圆的方程）22解（1）由题意知，2NCQAD又，可得，2分0,AD1即，故，又是正数，故4分2|NQ2|N|1Q（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，,BCDDCB21,若插入的这一个数位于之间，则，,AB23D消去可得，即，其正根为7分Q32D305若插入的这一个数位于之间，则，,CQD13消去可得，即，此方程无正根3132故所求公差9分25D（3）由题意得，又，1SBADQ1TCADQB0,故，可得，又，20A2AD故，即10STQ1|STQ又，故有，即12分|TT设个数所构成的等比数列为，则，3NNA123,SNACB由，可得4132,4KNAACK，14分32231N1132NNC又，10SBQ0BQT由都为奇数，则Q既可为正数，也可为负数，,T若Q为正数，则，插入N个数的乘积为；23A2N12NAC12NAC若Q为负数，中共有个负数，,故，所插入的数的乘积为32A1222NNC2AC122NC所以当N时，所插入N个数的积为；42NK12NAC当N）时，所插入N个数的积为18分（另法由又，10SBQA01BCQT20NCQA由都为奇数，可知是偶数，Q既可为正数也可为负数,ST23A2N23121NN若Q为正数，则，23A2N11222NNCAQAA故插入N个数的乘积为；15分1C若Q为负数，由是偶数，可知的奇偶性与的奇偶性相同，12N2N可得23A2N21NAC所以当N时，所插入N个数的积为；4K12NAC当N）时，所插入N个数的积为18分）23解（1）对任意的，有，1,X1,X当且仅当时，有，21X22FF故存在唯一，满足，2分,1所以1是函数的“均值”4分FXX另法对任意的，有，令，1,1,21X则，且，2,X22FF若，且，则有，可得，,1X22FF2X故存在唯一，满足，2分2,1FX所以1是函数的“均值”4分）FX（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；5分0A2X3当时，由存在均值，可知对任意的，1FA1X都有唯一的与之对应，从而有单调，2X212FAX故有或，解得或或，9分1A0综上，A的取值范围是或10分12A（另法分四种情形进行讨论）0,（3）当I或时，函数存在唯一的“均值”,AB,FX这时函数的“均值”为；12分FX2AB当I为时，函数存在无数多个“均值”,F这时任意实数均为函数的“均值”；14分FX当I或或或或或时，,A,A,A,B,A函数不存在“均值”16分FX评分说明若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”,AB,FX这时函数的“均值”为；13分FX2当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”,FX这时任意实数均为函数的“均值”；16分FX当且仅当I形如、其中之一时，,A