文科导数复习与题型归纳

导数复习知识点一、导数的概念导数。XYF0LIM二、导数的几何意义函数YFX在点处的导数，就是曲线YX在点处的切线的斜率由此，可0,0YXP以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步1求出函数YFX在点处的导数，即曲线YFX在点处的切线的斜率；0X,02在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为00XFY三、常见函数的导数及运算法则1八个基本求导公式C；NX；NQSINX，COSE，XALNX，LOG2导数的四则运算VUXCF，VU0V3复合函数的导数设XU在点X处可导，FY在点XU处可导，则复合函数XF在点X处可导，且F，即XX四、导数的应用（要求明白解题步骤）1函数的单调性（1）设函数YFX在某个区间内可导，若0，则FX为增函数；若/XF/XF0，则FX为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析的定义域；求导数XFYXFY解不等式，解集在定义域内的部分为区间0解不等式，解集在定义域内的部分为区间XF例如求函数的减区间XY12可导函数的极值（采用表格或画函数图象）（1）极值的概念设函数FX在点X0附近有定义，且若对X0附近所有的点都有FXFX0（或FXFX0），则称FX0为函数的一个极大（小）值，称X0为极大（小）值点。（2）求可导函数FX极值的步骤求导数XF；求方程0的；检验F在方程XF0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负先增后减，那么函数YXF在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正先减后增，那么函数YXF在这个根处取得3函数的最大值与最小值设YXF是定义在区间A,B上的函数，YF在A,B内有导数，则函数YXF在A,B上必有最大值与最小值；但在开区间内未必有最大值与最小值2求最值可分两步进行求YXF在A,B内的值；将Y的各值与AF、BF比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值3若函数YXF在A,B上单调递增，则AF为函数的，BF为函数的；若函数Y在A,B上单调递减，则为函数的，为函数的4求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1分析函数（单调性，极值，最值，图象）XY3例题2函数在上为增函数，在上为减函数，求实数A1,1,A例题3求证方程在区间内有且仅有一个实根（分析解本题要用的知识LGX3,2点）一求值1是的导函数，则的值是FX312FX1F2AX33X22，则A4F3已知函数FX的导函数为X,且满足FX3X22XF,则5F4设FX、GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当X0且G30,则不等式FXGX0DB0）有极大值9321FXX（）求M的值；（）若斜率为5的直线是曲线的切线，求此直线方程YFX7已知函数13AXF（）若在实数集R上单调递增，求的范围；A（）是否存在实数使在上单调递减若存在求出的范围，若不存在说AXF1,A明理由09福建理科14若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_3LNFXAXYA20、（本小题满分14分）已知函数,且WWWKS5UCOM321FB10F1试用含的代数式表示B,并求的单调区间；AX（2）令,设函数在处取得极值，记点M,，N,1FX12,1XF2X，P,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的FXMFF位置变化趋势，并解释以下问题（I）若对任意的M,X，线段MP与曲线FX均有异于M,P的公共点，试确定T12的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点QN,FN,XNM,使得线段PQ与曲线FX有异于P、Q的公共点，请直接写出M的取值范围（不必给出求解过程）WWWKS5UCOM09福建文科15若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是2FXAINXYA21（本小题满分12分）已知函数且321,FXAXB10F（I）试用含的代数式表示；（）求的单调区间；WWWKS5UCOMF（）令，设函数在处取得极值，记点1AFX12,X，证明线段与曲线存在异于、的公共点；12,MXFNXFMNFMN08福建理科（11）如果函数YFX的图象如右图，那么导函数YFX的图象可能是（19）（本小题满分12分）已知函数321FX（）设AN是正数组成的数列，前N项和为SN，其中A13若点NN21,NNA在函数YFX的图象上，求证点（N,SN）也在YFX的图象上；（）求函数FX在区间（A1,A）内的极值文科21（本小题满分12分）已知函数的图象过点（1，6），且函数的图32FXMNX6GXFX象关于Y轴对称求M、N的值及函数YFX的单调区间；若A0，求函数YFX在区间（A1,A1）内的极值07福建11已知对任意实数，有，且时，XFFXGX，0，则时（）0FXG，0ABX，0FX，CDF，G，22（本小题满分14分）已知函数EXFKR，（）若，试确定函数的单调区间；FX（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；0K0FK（）设函数，求证FXFX1212ENFNN（全国一文20）设函数在及时取得极值328FXAXBC1X2（）求A、B的值；（）若对于任意的，都有成立，求C的取值范围03，2F陕西文21已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又CXBAXF231,021求的解析式XF若在区间M0上恒有X成立,求M的取值范围,0F12已知函数，若在处取得极值，试321FXBCFX1,3求常数的值；若在上都是单调递增，在上单调递,BCF1,12,X减，且满足，求证21214设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，TTCBXGAXF23与两函数的图象在点P处有相同的切线（）用表示A，B，C；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围XGFYT例1已知曲线S422及点0,P，求过点的曲线S的切线方程正解设过点P的切线与曲线S切于点YXQ，则过点的曲线的切线斜率4200XYKX，又0KP，0024XYX。点Q在曲线S上，430200XXY，代入得002302XX化简，得3420，或430若0X，则4K，过点P的切线方程为XY；若，则85K，过点P的切线方程为835XY过点的曲线S的切线方程为4或3XY例2已知函数12AXF在R上是减函数，求A的取值范围错解,632FXF在上是减函数，0XF在R上恒成立，012XA对一切恒成立，即1236，3A正解F，XF在R上是减函数，XF在上恒成立，0且，即236A且0，A例5函数5,1FGXF，其中F是F的导函数（1）对满足11的一切的值，都有X0，求实数X的取值范围；（2）设A2M，当实数在什么范围内变化时，函数YF的图象与直线Y3只有一个公共点解（1）由题意235GXA令，1A对1，恒有0GX，即010即2308X解得故2,13X时，对满足1A1的一切的值，都有0GX（2）2FM当0时，31FX的图象与直线3Y只有一个公共点当时，列表X,M,MF00XA极大A极小A21FFXM极小又的值域是R，且在,上单调递增当X时函数YFX的图象与直线3Y只有一个公共点当M时，恒有M由题意得F即321解得332,0,综上，M的取值范围是32,例6、（1）是否存在这样的K值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，）上递增，若存在，求出这样的K值；（2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。解（1）由题意，当时，当X2,时，由函数的连续性可知，即整理得解得或验证（）当时，若，则；若，则，符合题意；（）当时，显然不合题意。于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，）上递增。（2）若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，综合可知，当时，恰有三个单调区间减区间；增区间点评对于（1），由已知条件得，并由此获得K的可能取值，进而再利用已知条件对所得K值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4（1）求常数的值；（2）求的极值。解（1），令得方程在处取得极值或为上述方程的根，故有，即又仅当时取得极值，方程的根只有或，方程无实根，即而当时，恒成立，的正负情况只取决于的取值情况当X变化时，与的变化情况如下表11，00极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值。由题意得整理得于是将，联立，解得（2）由（1）知，点评循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。1已知函数213XAXF，若1是XFY的一个极值点，则A值为（）A2B2C7D42已知函数223ABXXF在1处有极值为10，则2F3给出下列三对函数,XGF0AXF，AXGXF31，LOG；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是XF，XG4已知函数12323XAXF有极大值和极小值，求A的取值范围5已知抛物线2XY，过其上一点P引抛物线的切线L，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求L的方程6设431YG在0,1上的最大值为XF，R，（1）求XF的表达式；（2）求XF的最大值设，函数AR23A（）若是函数的极值点，求的值；XXFYA（）若函数，在处取得最大值，求的取值02G，0XA范围解（）236FXAXA因为是函数的极值点，所以，即，因此2YF20F620A1A经验证，当时，是函数的极值点4分2XYFX（）由题设，322632GAAX当在区间上的最大值为时，GX0，0G，即故得9分02245反之，当时，对任意，65AX，23GX，31025X0而，故在区间上的最大值为G，G综上，的取值范围为12分A65，3已知是函数的一个极值点，其中（）求与的关系表达式；（）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3M，求的取值范围。解析（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据的符号，分类讨论的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答（），是函数的一个极值点；（）令，得与的变化如下表100单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；（）由（）即令，且，即M的取值范围是。4已知函数。（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。解析本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，（）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若成立，则二次函数值域必满足关系，从而达到求解目的。解（）由得或。（舍去）则，变化情况表为010因而当时为减函数；当时为增函数；当时，的值域为；（）因此，当时因此当时为减函数，从而当时有又，即当时有任给，存在使得则由（1）得或，由（2）得又故的取值范围为。5已知，函数（1）当为何值时，取得最小值证明你的结论；（2）设在上是单调函数，求的取值范围。解析本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的