不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉

不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉第28卷第9期2007年9月哈尔滨丁程大学JOURNALOFHARBINENGINEERINGUNIVERSITYVO1289SEP2007不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉王勇,唐立强,杨勇哈尔滨工程大学建筑工程学院,黑龙江哈尔滨150001摘要利用YCGAO给J_的一类应变能函数,分析了不可压缩橡胶圆柱受静载荷作用时在等温条件下及有温度场分布时空穴产生的问题,给出了存在分叉解的条件,确定了外载荷与空穴半径的丽数关系,研究了空穴形成时应力的分布,讨论了本构参数和温度对极限载荷和应力分布的影响结果表明当本构参数满足O1时,橡胶圆柱体存在分叉解由NEOHOOKEN材料构成的圆柱体将会很稳定而不存在分叉解本构参数“越大,材料越不容易发生孔洞化不稳定现象温度越高,材料越稳定关键词不可压缩橡胶圆住分叉应变能函数中图分类号034文献标识码A文章编号10067043200709098005CAVITYANDBIFURCATIONINANINCOMPRESSIBLERUBBERCYLINDERWANGYONGTANGIIQIANG,YANGYONG7OLLEGEOFCIVILENGINEERING,HARBINENGINEERINGUNIVERSITY,HARBIN150001,CHINAABSTRACTWITHTHESTRAINENERGYFUNCTIONPROPOESDBYYCGAO,THEADVENTOFCAVITYWASANALYSEDINTHEINCOMPRESSIBLERUBBERCYLINDERSUBJECTEDTOSTATICLOADALONGWITHTHETHEEXISLENCEOFISOTHERMALCONDITIONORTEMPERATUREFIELDTHECONDITIONUNDERWHICHABIFURCATEDSOLUTIONEXISTEDWASGIVENTHERELATIONSHIPBETWEENEXTERNALLOADANDCAVILYRADIUSWASDETERMINEDTHESTRESSDISLRIBUTIONWHENTHECAVITYFORMEDWASSTUDIEDTHEEFFECTSOFCONSTITUTIVECONSTANTSANDTHETEMPERATUREONTHECRITICALLOADANDTHESTRESSDISTRIBUTIONWEREDISCUSSEDTHERESULTSINDICATETHATTHERUBBERCYLINDERHASABIFURCATIONSOLUTIONWHENTHECONSTITUTIVEPARAMETERIS0,21THERUBBERCYLINDERMADEUPOFNEOHOOKENMATERIALISQUITESTABLEANDDOESNOTHAVEABIFURCATIONSOLUTIONTHEBIGGERTHECONSTILUTIVEPARAMETERIS,THEMOREDIFFICULTLYTHEUNSTABLEPHENOMENAOCCURRSFORTHISMATERIAL,THEHIGHERTHETEMPERATUREIS,THEMOREUNSTABLETHEMATERIALISKEYWORDSINCOMPRESSIBILITYRUBBERCYLINDERBIFURCATIONSTRAINENERGYFUNCTION近年,以橡胶材料和生物组织材料为代表的超弹性材料应用越来越广泛,这类材料的空穴萌生和增长问题已经引起了人们的极大关注研究表明对于某些内部性质均匀的超弹性材料,如果变形前其内部没有微空穴,当外载荷低于某临界值时,只存在一个平凡解,该解对应着材料发生与外载荷成比例的均匀变形而当外载荷达到或超过临界值时,会得收稿日期20060627基金项目黑龙江省自然科学基金资助项目A2000408哈尔滨工程大学基础研究基金资助项目HEUF04005作者简介王勇82一,男,博士研究生,EMAILWANGYONG35O2TOMCORN唐立强1948一,男,教授,博士生导师到一个分叉解该解对应于在材料中形成一个空穴,并迅速增长此临界值是材料所固有的,可称其为极限载荷1958年,GENT和IINDLEYI就在实验中发现了硫化橡胶的空穴萌生现象但其理论的成熟却是在1982年BALL将此类问题归结为非线性分叉问题此后该问题得到了众多学者的青睐HORGAN和ABEYARATNEA研究了可压缩的情形ANTMAN和NEGRONMARREROF研究了各向异性材料的可压缩情形HAUGHTONE研究了不可压缩薄膜的空穴增长而对不可压缩的情形,ABEYARATNE和HOUL6J,HORGAN和PENCE,宁建国等分别考虑了率相关材第9期王勇,等不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉料,材料的不均匀性以及温度对分叉问题的影响文中采用YCGAO_9从形变和体变角度给出的一类应变能函数为基础,深入分析了橡胶圆柱在外表面受外载荷作用时空穴的萌生和增长问题,同时考虑了温度和本构参数的影响1基本方程文中考虑橡胶圆柱在外表面RA处受拉伸载荷P作用的力学模型采用柱坐标系,设物质坐标系和空间坐标系的坐标分别为R,0,Z和R,0,2,则变形前的构形为C一R,0,Z/ORA,0027C,一H/2ZH/2变形模式为【2一Z式中RRR为待定函数若R0一0则认为橡胶圆柱未发生分又,仍为实心若R00,则认为在圆柱体的中心将出现一个圆柱形的空穴由方程1可得变形梯度张量为形,K0表示圆柱体中出现空穴且空穴的半径为K故专一1K2A一6R“在初始构形中的平衡方程为垫DR一7RDRYCGAO在研究橡胶类材料中嘲,给出的应变能函数为WA1538式中A0,N0当AY2,N一1时即可退化为NEOHOOKEN材料因此,方程8较NEOHOOKEN材料更具普遍性CAUCHY应力为一PI2B一29式中P为静水压力,J为单位张量变形不变量为FI一,J一,10IJ一1F一DRP,O专POPO22左,CAUCHYGREEN量分别为IBFF一POP专OL,ICFF一O蠢POP【EOE3式中E,E,E和ER,E,EZ分别为空间坐标系和物质坐标系标准正交基矢量取主伸长为DR一R4一对不可压缩材料有,一DETF一1,即DR一1积分可得一式中K为积分常数,K一0表示圆柱体发生均匀变等温条件下圆柱体空穴的产生考虑到15,DW_0,由,4,9兰主J篓CDD,一二DRR12即时构形中边界条件为A一APO13式中P为初始构型中所施加的拉伸载荷当形成空穴时空穴边界应力自由,边界条件为D,0一O14对式12积分,结合式14得,R一RDR15故A一R堕DR16由式13,16可得哈尔滨工程大学第28卷一丛17利用式6可将式17化为十F十DJAAOA18从而给出商力分布为R簟L攀,一埘2十如“一以十如“一_2等盟J一19式18即为载荷P,与空穴半径K的关系,若令K一十0可得临界载荷为A,A0A2O欲使为有限值,则2,21十23一1,即,2121这说明对于满足YCGAO提出的应变能函数的材料,能否存在分又解是由本构参数单独决定的而与另一本构参数口无关,即只有当O1时,才存在分叉解式20表明对于给定的有限变形材料即N,2已定,P只与有关,而与几何因素如半径等无关当A一/2,一1时则退化为NEOHOOKEN材料,但,21并不满足式21说明由NEOHOOKEN材料构成的圆柱体是不会发生分叉失稳的令A一,为剪切模量则由式20易得P,一间的关系见图1,为方便起见令1由图1可以看出1本构参数,2值越大,/值越大,说明越不容易发生分叉2存在一个临界值,2049,当,2049时,/随的增大而单调递减,2O49,P/随的增大先增大而后递减图1户/T与问的关系FIG1PLOTOFP/VS图2D/,与R/A的关系图FIG2PLOTOFOTVSR/A图3与R/A的关系图FIG3PLOTOFGO/IVSR/A图4与R/A的关系图FIGPLOTOFG|TLVSR/A若令K一05A,1则由式19得到应力分布曲线,即冈24南图可以看出随着本构参数N第9期王勇,等不可压缩橡胶圆柱的空穴和分叉值的增大,应力值/AE/T,以/均增大3温度场作用下圆柱体空穴的产生该节考虑温度场对橡胶圆柱体空穴产生的影响在材料的变形中本构参数是随温度的变化而变化的由文献8给出一XP一式中为参考温度FLJ变形时材料的剪切模量,为与温度有关的材料参数,K为空穴半径,B为温度的分布系数故本构参数A一一TOEXPC一,一一CKTOEXP一22将式22代人式20并考虑K一0,得PFUO/工21一型一一_一DAJ一23式23即是考虑温度影响时P/一问的关系由式19,22可以得出在温度场中的应力分布见式24一垒一一21一EXP一F僻J/一2CN1KTOEXP一R2“一一垒取C一1,对应不同的N值,P与的变化曲线由图5,6给出由图5,6可以看出温度场只是将P值相应的降低,这与文献8的结论是一致的这就表明KT越高,材料越易发生孔洞化不稳定现象图5一05时,P/与的关系图FIG5PLOTOFP/0V8WHEN一05图6N一03时,P/|LO与A的关系图FIG6PLOTOFP/OV8WHEN一03令N一05,K一05A,一1,BR一1,C一1,A一1CM,应力分布由图79给出如图79所示,随着/的增高,应力值相应的降低984哈尔滨工程大学第28卷图7,/与R的关系图FIG7PLOTOFO“R,VSR图8与R的关系曲线图FIG8PLOTOF6OU,VSR图9/与R的关系曲线图FIG9PLOTOF/I,VSR4结论1在YCGAO提M的应变能函数中,橡胶同柱体能否存在分叉解是由本构参数单独决定的,只有满足0NL时,橡胶圆柱体才会存在分又解而对由NEOHOOKEN材料构成的圆柱体将会很稳定而不存在分叉解2随着本构参数的增大,极限载荷也将不断增大,材料越不容易发生孔洞化不稳定现象计算表明当049时,/随着的增大而单调递减O49,P/随着A的增大先增大而后递减3在温度场中,T/越高,P值相对降低,材料越易于发生孔洞化不稳定现象参考文献R1GENTAN,IINDIEYPBINTERNALRUPTUREOFBONDEDRUBBERCYLINDERSINTENSIONJPROCRSOCLOND,1958,A2491952052BATJMDISCONTINUOUSEQUILIBRIUMSOLUTIONSANDCAVITATIONSINNONLINEARELASTIEITYJPHILTRANSROYIOND,1982,3063557610R3HORGANC,ABEYARATNERABIFURCATIONPROBLEMFORACOMPRESSIBLENONLINEARLYELASTICMEDIUMGROWTHOFAMICROVOIDJJELASTICITY,1986,1621892OOR4ANTMANSS,NEGRNMPVTHEREMARKABLENATUREOFRADIALLYSYMMETRICEQUILIBRIUMSTATESOFAEOLOTROPICNONLINEARLYELASTICBODIESJJELASTICITY,1987,18213116DE5HAUGHTNIMCAVITATIONINCOMPRESSIBLEELASTICMEMBRANEJJOURNALOFENGINEERINGSCIENCE,1990,28216316862ABEYARATNER,HOUHSGROWTHOFANINFINITESIREALCAVITYINARATEDEPENDENTSOLIDJJAPPLMECH,1989,5614046R7HRGANC,PENCETVOIDNUCLEATIONINTENSILEDEADLOADINGOFACOMPOSITEINCOMPRESSIBLENONLINEARLYELASTICSPHEREJJELASTICITY,1989,21161828宁建,李伟,郝玖锋,等平面应变条件下孔洞化不稳定性问题研究J阍体力学,