常系数线性常微分方程

常系数高阶线性微分方程一常系数线性齐次微分方程二常系数线性非齐次微分方程第六章常系数齐次线性微分方程基本思路求解常系数线性齐次微分方程求特征方程代数方程之根转化第六章二阶常系数齐次线性微分方程和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,1当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解因此方程的通解为R为待定常数,所以令的解为则微分其根称为特征根2当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解UX待定代入方程得是特征方程的重根取UX,则得因此原方程的通解为3当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解因此原方程的通解为小结特征方程实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程若特征方程含K重复根若特征方程含K重实根R,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程例1的通解解特征方程特征根因此原方程的通解为例2求解初值问题解特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例3的通解解特征方程特征根因此原方程通解为例4解特征方程特征根原方程通解不难看出,原方程有特解例5解特征方程即其根为方程通解例6解特征方程特征根为则方程通解内容小结特征根1当时,通解为2当时,通解为3当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解思考与练习求方程的通解答案通解为通解为通解为思考题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解解根据给定的特解知特征方程有根因此特征方程为即故所求方程为其通解为常系数非齐次线性微分方程一、二、第六章二阶常系数线性非齐次微分方程根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据FX的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数待定系数法一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得1若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为M次多项式QX为M次待定系数多项式2若是特征方程的单根,为M次多项式,故特解形式为3若是特征方程的重根,是M次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程即即当是特征方程的K重根时,可设特解例1的一个特解解本题而特征方程为不是特征方程的根设所求特解为代入方程比较系数,得于是所求特解为例2的通解解本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例3求解定解问题解本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路第一步将FX转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第一步利用欧拉公式将FX变形第二步求如下两方程的特解是特征方程的K重根K0,1,故等式两边取共轭为方程的特解设则有特解第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解原方程均为M次多项式第四步分析因均为M次实多项式本质上为实函数,小结对非齐次方程则可设特解其中为特征方程的K重根K0,1,上述结论也可推广到高阶方程的情形例4的一个特解解本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5的通解解特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例6解1特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为2特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式思考与练习时可设特解为时可设特解为提示1填空设2求微分方程的通解其中为实数解特征方程特征根对应齐次方程通解时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解解将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解原方程通解为振动问题当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1质量为M的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图设时刻T物位移为XT1自由振动情况弹性恢复力物体所受的力有虎克定律成正比,方向相反建立位移满足的微分方程据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程阻力2强迫振动情况若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程例2解由例1知,位移满足质量为M的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设T0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,方程特征方程特征根利用初始条件得故所求特解方程通解1无阻尼自由振动情况N0解的特征简谐振动A振幅,初相,周期固有频率仅由系统特性确定方程特征方程特征根小阻尼NK临界阻尼NK解的特征解的特征解的特征NK大阻尼解的特征1无振荡现象此图参数2对任何初始条件即随时间T的增大物体总趋于平衡位置NK临界阻尼解的特征任意常数由初始条件定,最多只与T轴交于一点即随时间T的增大物体总趋于平衡位置2无振荡现象例3求物体的运动规律解问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当PK时,齐次通解非齐次特解形式因此原方程之解为例1中若设物体只受弹性恢复力F和铅直干扰力代入可得当干扰力的角频率P固有频率K时,自由振动强迫振动当PK时,非齐次特解形式代入可得方程的解为若要利用共振现象,应使P与K尽量靠近,或使随着T的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象可无限增大,若要避免共振现象,应使P远离固有频率KPK自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理求电容器两两极板间电压例4联组成的电路,其中R,L